Евклид. Геометрия

Что может служить гарантией существования точки С по Евклиду? Ничего, кроме рисунка, иллюстрирующего доказательство. Но это неприемлемо, так как рисунок может считаться правильным, только если точка С существует (вспомним изображения невозможных треугольников, использующиеся в доказательствах методом доведения до абсурда).

ИСКРИВЛЕНИЕ ФИГУР

Вопрос искривления возникает в «Началах» неявно. Перед тем как перейти к постулату о параллельных прямых, Евклид устанавливает очень интересный результат:

Книга I, предложение 17. Во всяком треугольнике сумма двух любых углов меньше двух прямых углов.

Чтобы правильно понять эту задачу, мы должны внимательно следовать за рассуждениями Евклида. Он хочет доказать, что сумма углов

1. Он делит сторону AG пополам и получает точку Е (Книга I, предложение 10).

2. Соединяет В и Е (постулат 1) и удваивает этот отрезок (постулат 2 и книга I, предложение 2). Получается точка Z.

3. Соединяет ее с точкой G (постулат 1). Евклид получает два равных треугольника (книга I, предложение 4), так как стороны ZE и EG треугольника ZEG равны сторонам BE и ЕА треугольника БЕЛ соответственно, по построению, а углы

Евклид получил такой результат, поскольку точка Z располагается внутри угла

В постулате 5 Евклид утверждает, что при некоторых условиях две прямые пересекаются: «Существует точка, принадлежащая им обеим». А в случае с окружностями он принимает это за такой очевидный факт, что не считает нужным говорить об этом. Здесь мы опять сталкиваемся со скрытым постулатом.

Равносторонний треугольник, построенный на отрезке АВ в первом предложении, существует, поскольку построение Евклида верно; но оно зависит от существования точки С. В реальности, в которой этой точки нет, не будет и треугольника. От этого зависят многие из первых доказательств Евклида. Возможность построения в «Началах» зависит от возможности построения точек. Ученый определяет необходимые и достаточные условия, при которых две прямые пересекаются, и правильно обозначает точки, появляющиеся таким образом. Но при этом он не говорит, при каких условиях пересекаются прямая и окружность, и следовательно, точки, получающиеся в местах их пересечения, как бы не существуют.

Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка.

Карл Фридрих Гаусс

Хотя он мог бы сделать это очень просто, достаточно было уточнить, например в случае с окружностями, следующее.

Постулат о пересечении двух окружностей. Если расстояние между центрами двух окружностей меньше половины суммы их диаметров [то есть меньше суммы радиусов этих окружностей]_, то эти окружности пересекаются в двух точках.

Аналогичным образом можно определить условие, позволяющее выявить существование двух точек, образованных в результате пересечения окружности и прямой: прямая и окружность пересекаются [в двух точках], если перпендикуляр, идущий от центра окружности к прямой, меньше ее радиуса. Но Евклид ничего не говорит по этому поводу.

ПОСТУЛАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

Все ученые, занимающиеся «Началами», согласны в том, что их структура и, в частности, постулат 5 (мы будем кратко обозначать его П5) принадлежат самому Евклиду. Это знаменитый постулат о параллельных прямых, который в формулировке Евклида гласит, что «в определенных условиях две прямые неизбежно пересекутся». Евклид впервые применяет его только в предложении 29 первой книги. Та часть геометрии, которая не зависит от этого постулата, получила название абсолютной геометрии. Дословно в пятом постулате говорится следующее.