Евклид. Геометрия

НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Уже в пифагорейской школе обозначился кризис, позже названный некоторыми историками первым кризисом устоев математики. Ранее считалось, что два отрезка всегда соизмеримы. Если даны два отрезка АВ и CD, всегда можно найти общий для них обоих (с точки зрения их размера) отрезок UV] другими словами, всегда существует отрезок UV, который точно измеряет эти два отрезка. Следовательно, АВ = m х UV, a CD = n х UV. Мы также можем сказать, что между АВ и CD есть отношение, которое выражается как m/n, или m : n. Понятие отношения имеет огромное значение, поскольку позволяет обойтись без конкретного мерного отрезка UV. Не важно, какую меру длины мы используем — метры, сантиметры или километры, — отношение двух длин не меняется в зависимости от изменения единицы их измерения. Но не всегда мы можем выразить это отношение в виде чисел: не все можно свести к числовым вычислениям (с натуральными числами, то есть положительными и целыми). Если взять теорему Пифагора, можно вычислить диагональ АС квадрата с произвольной стороной АВ (см. рисунок 1). Поскольку АС = АВ,

АС^² = АВ^² + ВС^² = АВ^²+АВ^² = 2хАВ^².

Предположим, что АВ и АС несоизмеримы. Мы получим: АВ = m х UV, АС = n х UV. Следовательно, АВ^² = m^² х UV^², АС^² = n^² х UV^². Отсюда n^² х UV^² = 2 х m^² х UV^² и, следовательно, n^² = 2 х m^², что невозможно. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Все, что мы только что рассмотрели (это не объясняется отдельно в «Началах», но позволяет лучше понять результаты и пределы такого объяснения), стало трагедией для пифагорейской школы, которая утверждала, что «[натуральное] число есть отношение всего ко всему».

РИС. 1

По мнению пифагорейцев, все можно было измерить натуральными числами, другими словами, все величины соизмеримы между собой. Но, как мы только что увидели, существуют отрезки, у которых нет никакой общей единицы измерения. Более того, Феодор Киренский разработал метод для геометрического построения бесконечного числа несоизмеримых отрезков — спираль Феодора Киренского. Она строится начиная с отрезка, длина которого принимается за единицу. С помощью итеративного алгоритма затем строится последовательность прямоугольных треугольников с общей вершиной, а первоначальный отрезок остается коротким катетом первого из них (см. рисунок 2).

РИС. 2

Гипотенузы прямоугольных треугольников, составляющих спираль, последовательно равны квадратному корню из 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 (хотя третье число в этой последовательности является натуральным — 2). Большая часть этих чисел иррациональные, то есть их нельзя записать как отношение двух натуральных чисел. Сегодня мы бы сказали, что любое действительное число (этого понятия в Древней Греции не существовало), выраженное как √n, где n — натуральное число, не являющееся идеальным квадратом (то есть квадратом без десятичных долей другого целого числа), иррациональное. Изучению несоизмеримых линий Евклид посвятил книгу X.

ИТЕРАТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ СТОРОН И ДИАГОНАЛЕЙ КВАДРАТА

Несоизмеримость стороны и диагонали квадрата можно доказать чисто геометрически, в том числе и методом доведения до абсурда. Для этого надо применить итеративный алгоритм: исходя из конкретного случая строятся другие, более мелкие фигуры, сохраняющие такие же соотношения. Рассмотрим квадрат ABCD со стороной а=АВ и диагональю d = АС.