Евклид. Геометрия

Древнегреческий математик и астроном Евдокс (ок. 408-355 до н.э.) родился и умер в Книде. Он был сыном Эсхина и учеником Платона, происходил из семьи медиков и также несколько лет занимался медициной. В возрасте 23 лет Евдокс уехал в Афины и поступил в Академию Платона, где изучал философию. Несколько лет спустя он узнал об астрономических исследованиях, проводимых в то время в Египте. Питая огромный интерес к этой дисциплине, Евдокс решил переехать в Гелиополь. Благодаря поддержке и покровительству царя Агесилая у него был доступ к результатам исследований и теориям священнослужителей города. Вернувшись в Грецию, Евдокс основал собственную школу философии, астрономии и математики. Впоследствии он написал свою первую книгу «Явления», в которой рассматривал восходы и закаты звезд. Его геометрия (в частности, теория отношений и метод исчерпывания) оказала большое влияние на Евклида.

Теория отношений была самым древним решением проблемы иррациональных чисел, а метод исчерпывания позволил ему решать задачи нахождения площадей и объемов, напримерплощади круга, пропорциональной квадрату его диаметра, и объема пирамиды, который равен трети призмы с таким же основанием и такой же высотой. Большой интерес представляют определения 3 и 4. Выражение «некоторая зависимость» не имеет смысла. К тому же Евклид пишет об отношении по количеству, которого в случае несоизмеримости не существует. Четвертое определение заслуживает более пристального анализа:

Величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. 

Это определение устанавливает, при каких условиях две величины «имеют отношение между собой»; если они не выполнены, между ними не будет отношения. Сравним это определение со следующими.

Утверждение	Определение
Две прямые параллельны друг другу,	если они, продленные бесконечно, не встречаются.
Одна прямая перпендикулярна другой,	если при их пересечении образуются прямые углы.
Две величины имеют отношение между собой,	если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга.
Число является простым,	если измеряется только единицей.
Два числа простые между собой,	если их единственная общая часть — единица.

ПОНЯТИЕ ПРОПОРЦИИ

Для математика не так важен онтологический аспект («что это?»), сколько методологический («как это работает?»). Следовательно, его интересует, одинаковы два соотношения, или одно больше другого, даже если ему и не совсем ясно, что такое, собственно, соотношение. Именно об этом говорится в определениях 5, 6 и 7.

Определение 5. Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.