Евклид. Геометрия

Применение теории отношений в геометрии
Предложение	Название	Содержание
2	Теорема Фалеса	Если в треугольнике параллельно одной из сторон проведена некоторая прямая, то она рассечет стороны треугольника пропорционально.
19	Теорема сторон	Подобные треугольники находятся друг к другу в двойном отношении соответственных сторон.
5, 6 и 7	Теоремы площадей	Критерий пропорциональности трех сторон; критерий пропорциональности двух сторон и критерий равенства одного угла.
11 и 13	Критерий подобия треугольников	Треугольники могут быть построены, исходя из двух данных прямых.
12	Третья и средняя пропорциональная (теорема высот прямоугольных треугольников)	Треугольник может быть построен, исходя из трех данных прямых.
8 (вывод)	Четвертая пропорциональная	Если в прямоугольном треугольнике из прямого угла к основанию проведен перпендикуляр, то треугольники при перпендикуляре подобны и целому, и между собой.

МЕТОД ИСЧЕРПЫВАНИЯ

У теории отношений открылся огромный — и неожиданный, что говорит о гениальности Евдокса,— математический потенциал для определения площадей и объемов. Для этого метод танграма должен был применяться до бесконечности, что невозможно из-за наложенного Аристотелем ограничения. Следовательно, необходимо прибегать к двойному методу доведения до абсурда — в XVII веке его назвали методом исчерпывания. Евклид использовал его для доказательства следующих предложений.

Книга XII, предложение 2. Круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров.

S₁/S₂ - d₁²/d₂²

Книга XII, предложение 7. Всякая призма, имеющая треугольное основание, разделяется на три равные друг другу пирамиды, имеющие треугольные основания.

P₁/П₁ = 1/3

Книга XII, предложение 18. Сферы находятся друг к другу в тройном отношении собственных диаметров.

Е₁/Е₁ = d₁³/d₂³

АРХИМЕД И КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ

Рассмотрим, как Архимед использовал метод исчерпывания для решения задачи о квадратуре параболы. В некотором смысле оно похоже на решение задачи о квадратуре круга, предложенное Евклидом. Его основная цель — вписать в площадь параболы треугольники и сложить их площади, уже известные нам. Архимед писал:

Квадратура параболы. Площадь сегмента параболы относится к площади вписанного в нее треугольника как один к трем.

Рассмотрим треугольник АСВ, вписанный в сегмент параболы ADCEBA, где вершина С — точка, через которую проходит касательная к параболе, параллельная хорде АВ. В этом случае Архимед утверждал, что площадь S (ADCEBA) равна 4/3 площади треугольника Т = АСВ. То есть

S(ADCEBA) = 4/3 x S(ΔABC) = 4/3 х Т,