Евклид. Геометрия

Предложение 1. Отношение L/d, возникающее между длиной окружности L и ее диаметром d, будет равно величине, находящейся между 223/71 и 22/7.

Предложение 2. Площадь круга S равна площади прямоугольного треугольника T, катеты которого равны радиусу r круга и длине L его окружности.

В доказательстве предложения 2 Архимед использовал метод исчерпывания, как и Евклид в предложении 2 книги XII. Он предположил, что

(1) S > T, и (2) S < T,

а затем показал: оба варианта ведут к противоречию. Следовательно, S должно непременно равняться Т. Но каким образом он догадался о существовании этого соотношения? Об этом мы никогда не узнаем.

Что касается предложения 1, Архимед использовал длины сторон l₆, l₁₂, l₂₄, l₄₈, l₉₆; L₆, L₂₄, L₁₂, L₄₈, L₉₆, соответствующих вписанным и описанным многоугольникам с 6, 12, 24, 48 и 96 сторонами. Для расчета этих длин он предложил итеративный алгоритм, с помощью которого начиная с ln можно было вычислить длину l_2n, а с помощью L_n — L_2n, где n равно 6. В конце Архимед выразил отношение L₉₆ < L < L₉₆ и пришел к следующему результату:

223/71 < L/d < 22/7

Математик сделал важное наблюдение: соотношение между площадью круга S и радиусом в квадрате r² и соотношение между длиной L окружности и ее диаметром d=2r равны. Числовое значение этого соотношения обозначается буквой π.

Другими словами, Архимед установил, что

S/r2 = L/d = π

Открытия, совершенные Евдоксом и систематизированные Евклидом, позволяют добиться значительных результатов в изучении круга и окружности. Необходимо также учесть, что Архимед использовал периметры, в то время как в папирусе Ринда и тексте Евклида говорится о площадях.

НЕСБЫТОЧНАЯ МЕЧТА

Решение задачи квадратуры круга «по-гречески», то есть при помощи линейки и циркуля, ускользало от геометров на протяжении нескольких столетий. В 414 году до н. э. афинский драматург Аристофан назвал своего персонажа, который хвалился тем, что построил квадратуру круга, шарлатаном. Но трудности не помешали многим выдающимся математикам делать попытки там, где потерпели поражение предшественники. Николай Кузанский (1401-1464), Оронций Финеус (1494-1555) и Грегуар де Сен-Венсан (1584-1667) опубликовали фантастические методы получения квадратуры круга, которые оказались ложными. В то же самое время Джеймс Грегори (1638-1675) и Иоганн Бернулли (1667-1748) разработали различные способы, позволяющие подойти к решению этой задачи с другой стороны. Немецкий ученый Иоганн Ламберт (1728-1777) первым доказал, что число π является иррациональным. Его соотечественник Фердинанд фон Линдеман (1852-1939) в 1880 году открыл, что π — еще и трансцендентное число, то есть не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Это делало невозможным построение квадратуры круга при помощи только линейки и циркуля. Так пришлось отказаться от решения тысячелетней задачи, а мечты легиона искателей квадратуры круга, среди которых были английский философ Томас Гоббс и даже Наполеон, пошли прахом.

ГЛАВА 7 Арифметика в «Началах»

В «Началах» говорится преимущественно о геометрии.

Однако это сочинение также содержит три книги, написанные под явным влиянием пифагорейской школы и не зависящие от остальных. В них Евклид рассказывает об элементарных результатах теории делимости, в том числе о знаменитом алгоритме нахождения наибольшего общего делителя.

Для того чтобы понять книги VII, VIII и IX, необходимо владеть некоторыми основными понятиями. В книге VII Евклид дает все арифметические определения, которыми пользуется позже, но не представляет ни одного постулата. Самыми важными определениями являются следующие.

1 .Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым.

2. Число — множество, составленное из единиц.

3. Часть есть число в числе, меньшее в большем, если оно измеряет большее.

4. «Части же — если оно его не измеряет».

5. Кратное же — большее от меньшего, если оно измеряется меньшим.

6. Четное число есть делящееся пополам.

7. Нечетное число есть [...] отличающееся на единицу от четного числа.

8. Четно-четное число есть четным числом измеряемое четное число раз.

9. Четно же нечетное есть четным числом измеряемое нечетное число раз.

10. Нечетно-четное есть нечетным числом измеряемое четным числом раз.

12. Простое число есть измеряемое только единицей.

13. Простые между собой числа суть измеряемые только единицей как общей мерой.

14. Составное число есть измеряемое некоторым числом.

21. Числа будут пропорциональны, когда первое от второго, а третье от четвертого будут или равнократными, или той же частью, или теми же частями.

23. Совершенное число есть то, которое будет равным своим частям (делителей).