Читаем Евклид. Геометрия полностью

Книга IX, предложение 36. Если от единицы откладывается сколько угодно последовательно пропорциональных чисел в двойном отношении до тех пор, пока вся их сумма не станет первым числом, [...] то возникающее число будет совершенным.

Евклид имеет в виду следующее:

Если 1,2, 22, 23, ..., 2n последовательно удваивать, то их сумма будет

Sn=1 + 2 + 22 + 23+...+ 2n = 2n+1 -1; если Sn — простое число, то Рn = 2n x Sn = 2nx(2n+1-1) — совершенное число (четное).

Евклиду удалось получить этот результат, потому что в предложении 35 книги IX он уже дал формулу, необходимую для сложения чисел из последовательности 1, 2, 22, 23, ..., 2n. Он также обратил внимание, что единственные рассмотренные делители Р, 1, 2, 22, 23,..., 2n и Sn, 2 х Sn, 22 х Sn, 23 x Sn,..., 2n-1 x Sn. Он сложил их и получил результат теоремы: сумму делителей 1, 2, 22, 23, ..., 2n,

равную Sn = 2n + 1 - 1, и сумму делителей Sn, 2 x S ,22 x S ,23 x S ,..., 2n-1 x S и (2n - 1) x S . Сумма двух результатов — Рn = Sn + (2n- 1) х Sn = 2n х Sn = 2n х (2n + 1 - 1). Ч. Т. Д.


Первые примеры

В «Арифметике» Никомах Герасский устанавливает, что совершенными числами являются 6,28,496 и 8126. Из этого он делает следующие выводы.

1. Совершенные числа (четные) оканчиваются на 6 и 8 (верно).

2.Они чередуются (неверно).

3.Существует одно совершенное число на каждый десятичный порядок — среди единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее (неверно).

В XVIII веке Эйлер доказал теорему, взаимодополняющую теорему Евклида: каждое совершенное число (четное) имеет вид 2n х (2n+1-1), где 2n+1-1 — простое число. На сегодняшний день все еще существуют нерешенные вопросы относительно совершенных чисел: неизвестно, бесконечен ли их ряд и существуют ли совершенные нечетные числа.



Начнем с последовательности нечетных чисел.

357911131517192123252729313335
3739414345474951535557596163656769
717375777981838587899193959799101103

Начиная с 3 уберем третьи числа через каждые два.

357 1113 1719 2325 2931 35
37 4143 4749 5355 5961 6567 
7173 7779 8385 8991 9597 101103

Начиная с 5 уберем пятые числа через каждые пять и получим следующее.

357 1113 1719 23  2931  
37 4143 4749 53  5961  67 
7173 7779 83  8991  97 101103

И так далее. Вот список простых чисел до тысячи.

23571113171923293137414347
53596167717379838997101103107109113
127131137139149151157163167173179181191193197
199211223227229233239241251257263269271277281
283293307311313317331337347349353359367373379
383389397401409419421431433439443449457461463
467479487491499503509521523541547557563569571
577587593599601607613617619631641643647653659
661673677683691701709719727733739743751757761
769773787797809811821823827829839853857859863
877881883887907911919929937941947953967971977
983991997 


ПИФАГОРОВА ТРОЙКА

Перейти на страницу:

Все книги серии Наука. Величайшие теории

Похожие книги

Как изменить мир к лучшему
Как изменить мир к лучшему

Альберт Эйнштейн – самый известный ученый XX века, физик-теоретик, создатель теории относительности, лауреат Нобелевской премии по физике – был еще и крупнейшим общественным деятелем, писателем, автором около 150 книг и статей в области истории, философии, политики и т.д.В книгу, представленную вашему вниманию, вошли наиболее значительные публицистические произведения А. Эйнштейна. С присущей ему гениальностью автор подвергает глубокому анализу политико-социальную систему Запада, отмечая как ее достоинства, так и недостатки. Эйнштейн дает свое видение будущего мировой цивилизации и предлагает способы ее изменения к лучшему.

Альберт Эйнштейн

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Политика / Образование и наука / Документальное / Публицистика
Ешь правильно, беги быстро
Ешь правильно, беги быстро

Скотт Джурек – сверхмарафонец, то есть соревнуется на дистанциях больше марафонских, вплоть до 200-мильных. Эта книга – не просто захватывающая автобиография. Это еще и советы профессионала по технике бега и организации тренировок на длинные и сверхдлинные дистанции. Это система питания: Скотт при своих огромных нагрузках – веган, то есть питается только натуральными продуктами растительного происхождения; к этому он пришел, следя за своим самочувствием и спортивными результатами. И это в целом изложение картины мира сверхмарафонца, для которого бег – образ жизни и философия единения со всем сущим.Это очень цельная и сильная книга, которая выходит за рамки беговой темы. Это книга о пути к себе.На русском языке издается впервые.

Скотт Джурек , Стив Фридман

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература