Евклид. Геометрия

Наполеон Бонапарт любил вывозить из завоеванных городов самые разные сокровища и украшать ими французские музеи. Например, так он поступил с Розеттским камнем и квадригой лошадей с собора Святого Марка в Венеции, которая несколько лет венчала Триумфальную арку. После вторжения в Италию Наполеон увез в Париж рукопись «Начал» Евклида, хранившуюся в библиотеке Ватикана. Несколько лет спустя, в 1804 году, парижанин Франсуа Пейрар, вдохновившись этим манускриптом, опубликовал «Начала евклидовой геометрии». Он обратил внимание на то, что этот текст основан не на версии Теона Александрийского, как все остальные, а на каком-то более древнем источнике, из-за чего можно предположить: он больше соответствует оригиналу. Позже рукопись была возвращена в библиотеку Ватикана.

Эпилог

XIX век в геометрии завершился появлением фундаментального труда гениального немецкого математика Давида Гильберта «Основания геометрии» (Grundlagen der Geometrie). С ним сформировался (хотя может показаться, что еще формируется) определенный подход к пониманию математики. Гильберт аксиоматизировал евклидову геометрию, но сделал это, не прибегая к геометрической интуиции. Он говорил:

«Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины «точка, прямая, плоскость» другими, столь же условными: «стул, стол, пивная кружка»!»

Разница между этими текстами Евклида и Гильберта состоит в использовании интуиции и наглядных соображений. Гильберт пытается избавиться от субъективности в науке. Для этого он прибегает к строгому формализму: аксиомы определяют отношения между геометрическими объектами (и они не требуют других определений, кроме самих этих аксиом), и на их основе, используя инструментарий формальной логики, создаются теоремы. При этом подходе невозможно вывести утверждение и его опровержение (на этой особенности основан метод доведения до абсурда), и непротиворечивость теории, построенной таким образом, подразумевает существование гео-

метрических объектов. Гильберт попытался создать твердую основу математики, после того как потерпел поражение подход, основанный на теории типов Рассела. Вдохновившись этим новым веянием в математической науке, выдающийся французский ученый Жан Дьёдонне во время семинара в 1969 году воскликнул: «Долой Евклида!» Этими словами он вовсе не принижал заслуги гениального александрийского математика, но стремился раскритиковать чрезмерное насаждение его геометрического учения в школах того времени. Так в начале 1970-х зарождалась наука, позже названная современной математикой, — новый подход к математике, имевший невероятный успех. Гильберт говорил:

«Моя мысль заключается в следующем: несмотря на высокую педагогическую и эвристическую ценность генетического метода, аксиоматический метод [...] предпочтительнее, поскольку дает окончательную картину наших знаний и их безупречной логической точности».

И все же спустя 20 лет его метод оказался «слишком современным». Через 2000 лет после написания «Начал» дискуссия о педагогической ценности евклидовых теорий — с точки зрения генетического метода — открыта снова.

Список рекомендуемой литературы

Bell, Е.Т., Losgrandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.

Eggers Lan, C., El nacimiento de la matemdtica en Grecia, Buenos Aires, Eudeba, 1995.

Hilbert, D., Fundamentos de geometria, Madrid, Centro Superior de Investigaciones Cientificas, 1953 (reeditado en 2010).

Kline, M., Matemdticos. Laperdida de la certidumbre, Madrid, Siglo XXI, 1985.

Korner, S., Introduccion a la filosofia matemdtica, Mexico, Siglo XXI, 1967.

Puertas Castanos, M.L., Elementos, tres volumenes, Madrid, Gredos, 1991,1994 у 1996.