Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства

Теорема Пифагора в данном случае говорит нам, что сумма квадратов горизонтальной и вертикальной сторон, х 2 + у 2, есть квадрат длины гипотенузы. Если принять определение, что расстояние между двумя точками А и В есть длина линии, соединяющей их, то мы только что установили, что квадрат расстояния между А и В есть х 2 + у 2. А теперь представим любые две точки А и В на плоскости. Мы вполне можем изобразить оси х и у так, чтобы получилась та же ситуация, которую мы только что рассмотрели: А размещается на горизонтальной оси, а В – на вертикальной. Это означает, что квадрат расстояния [122] между любыми двумя точками А и В есть попросту сумма квадратов разниц между их соответствующими координатами.

* * *

Декартова формула для определения расстояния [123] имеет глубокие связи с евклидовой геометрией, и нам еще предстоит в этом убедиться. Но его представление о расстояниях как о функции разниц координат и в общем случае состоятельно; именно оно позднее стало ключевым для понимания природы и евклидовой, и неевклидовой геометрий.

Декарт применил свои прозрения в геометрии ко многим своим знаменитым трудам в физике. Он первым сформулировал закон рефракции света в его современном тригонометрическом виде; ему же принадлежит первое исчерпывающее объяснение физики радуги. Его геометрические методы оказались настолько всеобъемлющими для всех его представлений, что он сам писал: «Вся моя физика есть не что иное как геометрия» [124] . И тем не менее Декарт откладывал издание своих трудов по геометрии координат целых девятнадцать лет, да и вообще ничего не публиковал до своих сорока. Чего он боялся? Да как обычно – Католической церкви.

По многократному настоянию друзей Декарт уже готов был обнародовать свои работы несколькими годами ранее – в 1633-м. И тут этот итальянец по имени Галилей издал труд под названием «Диалог о двух главнейших системах мира» [125] . Симпатичная такая пьеска – трое болтунов разговаривают об астрономии. Явно внебродвейское нечто. Но почему-то отцы Церкви решили разобраться, что к чему, и как-то не впечатлились. Быть может, сочли, что актер, представлявший их птолемеевские воззрения, получил слишком мало реплик. К сожалению, в те дни, если Церковь бралась рецензировать книгу, она рецензировала и автора, а результатом такой рецензии – и для книги, и для автора – мог стать костер. В случае с Галилеем сожгли книгу, а самому Галилею пришлось от нее отречься и – ах да! – от Инквизиции ему еще и достался тюремный срок без возможности откинуться. Декарт фанатом Галилея не был. Он даже написал свою рецензию на книгу итальянца: «Сдается мне, ему [Галилею] не достает вот чего: он постоянно отвлекается и все никак не раскроет во всей полноте ту или иную тему, а это говорит о том, что он в ней не разобрался по порядку…» [126] И все же он разделял гелиоцентрические представления Галилея, а также и другие разумные соображения, и потому принял тяжкую участь Галилео близко к сердцу. Хоть он и жил в протестантской стране, издание своей книги все равно отменил [127] .

Но все-таки Декарт наконец собрался с духом и в 1637 году обнародовал первую работу, позаботившись о том, чтобы его труд никоим образом не задевал Церковь. К сорока годам Декарту было что сказать далеко не только о геометрии, и он объединил все накопившееся одном томе. Под предисловие потребовалось 78 страниц. Оригинальная рукопись носила не слишком хлесткое название: «Рассужденье о вселенской науке, что могла бы возвысить нашу природу до величайших вершин совершенства; далее о диоптрике, о метеорах и геометрии, где любопытнейшие соображения, какие автор смог добыть, дабы доказать вселенскую науку, кою он предлагает, объясняются таким манером, что даже и те, кто никогда не учился, смогут их постичь» [128] . При издании название слегка подсократили – видимо, сотрудники той службы, что в XVII веке выполняла функции отдела издательского маркетинга. И все равно получилось длинновато. Время обточило название до совсем краткого, и ныне эту работу Декарта обычно именуют «Рассуждением» или «Рассуждением о методе».

«Рассуждение о методе» – протяженный трактат, описывающий философию Декарта и его рациональный подход к решению научных задач. «Геометрия», третье приложение, была призвана показать результаты, каких удалось добиться методами, предложенными Декартом. Свое имя он с титульного листа убрал – и не потому, что название заняло всю страницу, а из-за неизбывной боязни преследования. К сожалению, его друг Марен Мерсенн написал вступление и в нем не оставил никаких сомнений в личности автора книги.