Эврика! Радость открытия. Архимед

Архимед знал, что тело, погружаясь в воду (здесь и далее под водой понимается любая среда, будь то жидкость или газ), должно вытеснить равное объему погруженного тела количество воды. Вот почему рассказ о ванной служит хорошей иллюстрацией для закона гидростатики: если поместить тело в ванну, полную воды, часть жидкости выльется, то есть отправной пункт такой: V_{погруженной} части = V_{вытесненной воды}

С точки зрения приложения сил получается, что вода (или другая среда) действует выталкивающей силой на погруженное тело (см. рисунок на стр. 42). То есть сила F_E по модулю равна весу F_p вытесненной воды. Это значит F_E = F_Р(воды). Вес (сила действия тела на опору или подвес) вытесненной воды равен произведению ее массы на земное ускорение (значение которого у поверхности земли составляет примерно 9,8 м/с^2): F_Р(воды) ^{= m}_воды • g. Добавив математическую формулу расчета плотности, то есть d_воды = m_воды/V_воды , можно резюмировать: F_Р(воды) = V_воды • d_воды • g. Мы уже говорили, что объем вытесненной воды равен объему погруженной части тела, из чего выводится F_Р(воды) ⁼ V_тела • d_воды • g. Наконец, опустив нижние индексы, поскольку вес вытесненной воды равен выталкивающей силе, действующей на тело, мы можем сформулировать закон гидростатики с помощью уравнения F_E= V • d • g, где F_E — это выталкивающая сила, которую испытывает тело, измеряющаяся в ньютонах (Н, данная единица измерения названа в честь Ньютона); V — объем погруженной части тела, измеряемый в м^3; d — плотность среды, измеряемая в кг/м^3; a g — ускорение свободного падения.

От мифа к реальности

Как это бывает с любой легендой, история короны тирана Гиерона — отчасти правда, а отчасти миф. Можно утверждать, что элемент выдумки есть даже в самом методе, приписываемом Архимеду, с помощью которого он раскрыл обман хитрого ювелира.

Конечно, Архимед мог вывести ремесленника на чистую воду, но с помощью другого, более сложного метода, использовав для этого не только закон гидростатики, но и закон рычага. Посмотрим описание данного открытия, сделанное Марком Витрувием:

«Тогда, исходя из этого открытия, он, говорят, сделал два слитка одинакового веса с короной — один из золота, другой из серебра. Сделав это, он взял объемистый сосуд, наполнил его до самых краев водой и опустил в него серебряный слиток, при погружении которого вода вытекла в количестве, равном величине слитка. Вынув затем слиток, он долил воды, отмерив ее секстарием, так, чтобы она опять сравнялась с краями, как и раньше. Так он определил, что серебро по весу соответствует известному количеству воды. Проделав этот опыт, он подобным же образом опустил в наполненный сосуд золотой слиток и, вынув его, нашел посредством прежнего измерения, что воды убавилось не столько же, а меньше, насколько меньше был объем золотого слитка сравнительно с равным ему по весу серебряным. После же этого, вновь наполнив сосуд и опустив в то же количество воды саму корону, он нашел, что воды вытекло больше, чем при погружении золотого слитка такого же веса; и таким образом, исходя из того, что корона вытеснила больше воды, чем слиток, он показал примесь в золоте серебра и обнаружил покражу подрядчика».

Хотя метод теоретически совершенно правильный, заметим, что вряд ли Архимед пользовался именно таким способом, как описано выше. Сложность состоит в измерении объемов. Сначала для лучшего понимания проблемы упорядочим шаги, описанные Витрувием.

1. Архимед взял два куска материала, про весу идентичные короне, — кусок серебра (m_р) и золота (mo).

2. Затем он погрузил серебро в определенное количество воды, из-за чего вылился некоторый ее объем V_p, который ученый измерил.

3. Потом он погрузил золото в такое же количество воды, отчего вылился объем Vo жидкости, который он также измерил.

4. Архимед обнаружил, что V_p больше, чем V_o.