Эврика! Радость открытия. Архимед

5. Наконец, он опустил настоящую корону в то же количество воды, и она вытеснила объем V_o этой воды, который он тоже измерил.

Иллюстрация к легенде, согласно которой Архимед нашел решение задачи с короной Гиерона,когда находился в общественной бане. 1575 год.

Среди фраз, которые приписывают Архимеду, самая известная — «Дайте мне точку опоры,и я переверну Землю». Ее цитирует Папп Александрийский в VIII книге «Математического собрания». Рисунок воспроизводит гравюру из берлинского издания Фридриха Отто Хулча 1878 года.

6. Ученый выяснил, что объем V, вытесненный короной, больше, чем объем воды, вытесненной золотом, и меньше, чем объем, вытесненный серебром ( V_p > V_c > V_o). Это доказало, что в короне была примесь серебра, то есть она состояла не из одного золота.

Теперь давайте воспроизведем этот опыт на наиболее правдоподобном примере, исходя из реальных данных, которыми мы располагаем, и следуя изложенному выше алгоритму, чтобы выявить, если необходимо, противоречия. Мы помним, что, как было отмечено ранее, любой погруженный в воду предмет вытесняет количество воды, равное его объему. Объем предмета можно вычислить исходя из его плотности и массы по известной формуле: d = m/V.

1. Чтобы не мелочиться, возьмем в качестве примера самую большую из сохранившихся золотых корон эпохи Архимеда. Речь идет о «венце из Вергины» (город в нынешней греческой Центральной Македонии), датированном IV веком до н. э. Этот венец имеет массу 714 г и диаметр 18,5 см. Учитывая, что некоторые из его листьев утеряны, и для облегчения расчетов примем массу короны за 1000 г. Итак, для опыта у нас есть 1000 г серебра, 1000 г золота и корона аналогичного веса, состав которой и является предметом эксперимента.

2. Теперь, в качестве второго шага, мы опускаем 1000 г серебра в воду. Так как плотность серебра равна 10,5 г/см^3, объем вытесненной воды будет 95,2 см^3:

3. Третьим шагом будет погружение в воду 1000 г золота. Поскольку его плотность составляет 19,3 г/см^3, вытесненный объем воды будет 51,8 см^3:

4. Объем воды, вытесненной 1000 г серебра, больше, чем объем воды, вытесненной 1000 г золота, так как плотность серебра меньше, и та же его масса занимает больше места.

5. Наконец, в воду опускается корона, и замеряется количество вытесненной ею воды. Тут надо сделать еще одно добавление. Предположим, что к золоту короны примешано 30 % серебра.

6. После погружения короны в воду можно заметить, что она вытесняет большее количество воды по сравнению с золотом и меньшее — по сравнению с серебром. Согласно нашему предположению, 30% от 1000 г короны составляет серебро и 70 % — золото:

Объем воды, вытесненной короной (64,8 см^3), больше, чем вытесненной золотом (51,8 см^3), что могло бы доказать обман ювелира.

Но как измерить столь малые объемы? Заметьте: разница составляет всего 13 см^3, что примерно равно объему пары орехов.

В истории предлагались разные методы измерения, рассмотрим два из них — измерить уровень оставшейся в сосуде воды или собрать вытесненную воду в другой сосуд. Первый вариант, по-видимому, невероятен для той эпохи и выглядит приемом, далеким от возможностей Архимеда. Согласно первому способу, после погружения короны и других металлов в сосуд вода поднимется на некоторую высоту. Если сосуд цилиндрический (см. рисунок), то и поднимающаяся вода имеет форму цилиндра. Предположим, диаметр сосуда равен 20 см, тогда поверхность воды имеет площадь 314 см^2. С этими данными мы можем вычислить высоту (А), на которую поднимется вода в каждом из случаев:

Объем цилиндра высчитывается умножением площади его основания на высоту.

Это означает, что разница в уровнях между короной из золота и короной из сплава составит (h_o - h_о = 0,4 мм), то есть меньше чем полмиллиметра! Напомним, что представленные расчеты приблизительны, но в любом случае от перемены изначальных допущений разница в результатах изменилась бы очень мало. Кроме того, допущения были сделаны таким образом, чтобы получить самые поддающиеся измерению величины. Возможно ли, чтобы Архимед смог измерить эту разницу? Вряд ли, ведь столь малая величина еще и сочетается с мениском, искривлением поверхности жидкости в сосуде из-за взаимодействия со стенками данного сосуда.