Эврика! Радость открытия. Архимед

Спирали — это кривые, образуемые точкой, совершающей вращение вокруг некоего центра, одновременно удаляясь от него с каждым оборотом. Разнообразные спирали можно наблюдать в природе: у растений, в раковинах моллюсков и так далее — неудивительно, что математики давно заинтересовались ими. Среди творений рук человеческих тоже часто встречаются спирали — например, на виниловых дисках или в виде пружин. Вот некоторые типы спиралей:

РИС. 1

РИС. 2

РИС.З

РИС. 4

— архимедова, или арифметическая спираль (рисунок 1). Она описывается уравнением r=а + b;

— спираль Ферма, или параболическая спираль (рисунок 2): r= ^1/2 ;

— гиперболическая спираль (рисунок 3). Это инверсия архимедовой спирали, ее уравнение: r=а/;

— логарифмическая, или изогональная спираль (рисунок 4): r=log_b(r/a).

Две древние проблемы

Тремя знаменитыми проблемами древности были удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга. Некоторые специалисты утверждают, что глубинной целью, которую Архимед преследовал в своем трактате «О спиралях», было найти решение двух из этих задач. Действительно, с помощью спирали можно справиться с трисекцией угла и квадратурой круга, хотя при этом придется пренебречь одним из начальных условий. Задачу надо было решать исключительно с помощью циркуля и линейки, а построение спирали нуждается в кинематических операциях. В 1837 году французский математик Пьер Ванцель доказал невозможность трисекции угла и удвоения куба при помощи только линейки и циркуля. Потом в 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал, что — иррациональное число, а следовательно, и решение задачи квадратуры круга с помощью этих инструментов тоже невозможно. Если же выйти за пределы условий и применить архимедову спираль, то трисекцию угла можно выполнить следующим образом (рисунок 8).

РИС. 8

РИС. 9

— Угол, который предстоит делить, образован лучами ОА и ОВ.

— Луч О А вращается вокруг точки О, по нему равномерно перемещается точка Р, образуя таким образом архимедову спираль.

— При совпадении лучей ОА и ОВ отрезок ОР делится на три равные части точками R и Q.

— Проводятся окружности с центром О и радиусами OR и OQ которые пересекают спираль соответственно в точках U и V.

— Проводятся лучи из точки О, проходящие через U и V. Так мы получили трисекцию угла.

Задача о квадратуре круга, которая заключается в требовании построить квадрат, равный по площади заданному кругу, тоже может быть решена с помощью архимедовой спирали, хотя и опять же с некоторым нарушением условий (рисунок 9).

— Через точку Р проводится касательная к спирали PQ.

— Строится отрезок, соединяющий Р и центр спирали О.

— Из точки О проводится перпендикуляр к отрезку ОР до пересечения с прямой PQ в точке Q.

— Строится сегмент окружности PS с центром О и радиусом ОР.

— Можно доказать, что отрезок OQ равен по длине кривой PS.

— Отсюда выводится, что касательная к спирали в точке R будет пересекаться с горизонтальной осью, причем длина отрезка, образованного точкой О и точкой пересечения касательной и оси, будет равна четверти длины окружности с радиусом OR.

— С учетом утверждения о площадях круга и прямоугольного треугольника (см. стр. 88) задача о квадратуре круга решена.

Квадратура параболы

В трактате «О квадратуре параболы» Архимед излагает различные теоремы, ранее, как он пишет во введении, еще не изученные. Это значит, что он их сформулировал сам. Из утверждений, изложенных Архимедом в данном труде, популярная литература чаще всего упоминает утверждение 24, касающееся квадратуры параболы:

«Площадь поверхности, ограниченной параболой и пересекающей ее прямой, на 1/3 больше площади треугольника с основанием, равным отрезку данной прямой и высотой, равной параболе» (рисунок 10).