Эврика! Радость открытия. Архимед

Когда Ахиллес достигнет позиции АВ/2, где сначала находилась черепаха, она уже будет в точке АВ/4. В тот момент, когда Ахиллес добежит до позиции АВ/4, которую занимала черепаха, она будет уже в АВ/В и так далее.

Скоро потом ты увидишь Тринакрию остров;

Издавна Гелиос тучных быков и баранов пасет там на пышных,

Искусство нарезки параболоидов

В трактате «О коноидах и сфероидах» Архимед исследует тела, образованные сечением фигур вращения. Этот текст также предваряется письмом Досифею, в котором дается краткое резюме того, что адресат найдет в книге, — типичное вступление для Архимеда. После начальных определений и одной леммы видим 32 утверждения.

Параболоид (рисунок 14) — это трехмерная фигура, образованная вращением параболы вокруг своей оси; гиперболоид (рисунок 15) — трехмерная фигура, образованная вращением вокруг своей оси гиперболы; а эллипсоид (рисунок 16) — трехмерная фигура, которую образует вращающийся вокруг своей оси эллипс.

Иллюстрация утверждения 19 из трактата «О коноидах и сфероидах». Здесь можно видеть, как вписывается в параболоид и описывается вокруг него множество цилиндров одинаковой высоты.

Первые 20 утверждений носят вспомогательный характер. Утверждения 21-32 представляют собой самую важную часть трактата. В трактате «О коноидах и сфероидах» даются начала интегрального исчисления. Вводятся базовые принципы вычисления объемов криволинейных фигур вращения. Тем не менее до самого понятия интегрирования дело не дошло, потому что еще не была сформулирована концепция предела. Таким образом, основная идея текста состоит в приведении фигур вращения ко все более маленьким цилиндрам, как можно полнее вписывающимся в их объем (исчерпывание) или как можно ближе «облегающим» их снаружи (сжатие). Архимедов метод исчерпывания предстает здесь во всем своем блеске. Ученому нужно показать, что он может эффективно ограничить параболоид изнутри и снаружи. Это он и делает в утверждении 19: «Можно вписать в параболоид и описать вокруг него две фигуры, состоящие из цилиндров одинаковой высоты, так, чтобы описанная фигура превышала по объему вписанную на величину, меньшую любой заранее заданной». Это значит, что параболоид вписывается в «стопку» цилиндров-дисков» одинаковой толщины (узкие уплощенные цилиндры, ширина которых больше высоты, как у таблеток). И еще одна «стопка» цилиндров той же высоты вписывается в параболоид изнутри. Таким образом, объем параболоида будет больше общего объема вписанных в него цилиндров и меньше объема описанных. Как показано на рисунке, чем больше число таких «дисков» (при уменьшении их высоты), тем более приближается их общий объем к искомой величине. Принцип тут весьма похож на тот, что использовался при решении задачи квадратуры круга.

Сапожный нож и солонка

Трактат, известный как «Книга лемм», отличается от других трудов Архимеда одной важной особенностью: у нас нет его греческого текста. Он дошел до наших дней только благодаря переводу на арабский язык, который сделал астроном, математик и переводчик IX века Сабит ибн Курра. Таким образом, у нас есть единственное свидетельство того, что это действительно труд Архимеда, — факт, который вызывает некоторые сомнения в его авторстве. Данная книга считается учебником из-за элементарности или вторичности многих содержащихся в ней утверждений. В частности, утверждение 7 гласит, что площадь круга, описанного вокруг квадрата, в два раза больше площади круга, вписанного в него. Текст состоит из 15 утверждений, причем в нем упоминается и сам Архимед: например, в утверждении 4, где представлена геометрическая фигура арбелос, что по-гречески означает «сапожный нож», так как она формой напоминает этот инструмент. Арбелос представляет собой область плоскости, ограниченную тремя касающимися друг друга половинами окружностей. На приведенном здесь рисунке арбелос соответствует затемненной части. У этой фигуры есть некоторые любопытные свойства, которые можно было бы включить в начальный курс геометрии. Возможно, самая интересная из них — это так называемые «круги-близнецы Архимеда» (см. рисунок на следующей странице): из точки С достраивается перпендикуляр к прямой АВ до пересечения с окружностью наибольшего диаметра. Данный перпендикуляр делит арбелос на две фигуры. Затем в каждую из этих получившихся фигур вписываются окружности С1 и С2 так, чтобы они касались с двух сторон перпендикуляра и каждая из них касалась большой и малой окружности.