Фейнмановские лекции по физике 1. Современная наука о природе, законы механики

Мы хотим знать, какова должна быть тяжесть W, чтобы уравновесить груз 1 кг. Рассуждаем так. Если грузы W и 1 кг уравновешены, то это – обратимое состояние, и веревку можно двигать вверх–вниз. Пусть же вначале (фиг. 4.3,а) 1 кг находится внизу плоскости, а груз W – наверху. Когда W соскользнет вниз, груз 1 кг окажется наверху, a W опустится на длину склона (фиг. 4.3,6), т. е, на 5 м. Но ведь мы подняли 1 кг только на высоту 3 м, хотя опустили W на 5 м. Значит, W=³/₅ кг. Заметьте, что этот ловкий вывод получен не из разложения сил, а из сохранения энергии. Ловкость, впрочем, относительна. Существует другой вывод, куда красивее. Он придуман Стевином и даже высечен на его надгробии. Фиг. 4.4 объясняет, почему должно получиться ³/₅кг: цепь не вращается и нижняя ее часть уравновешена сама собой, значит сила тяги пяти звеньев с одной стороны должна уравнять силу тяги трех звеньев с другой (по длине сторон).

Фиг. 4.4. Это выгравировано на надгробии Стевина.

Глядя на диаграмму, становится очевидно, что W = ³/₅кг. (Неплохо было бы, если бы когда–нибудь что–нибудь подобное высекли и на вашем надгробном камне.)

А вот задача посложнее: домкрат, показанный на фиг. 4.5.

Фиг. 4.5. Домкрат.

Посмотрим, как в таком случае применять этот принцип. Для вращения домкрата служит ручка длиной 1 м, а нарезка винта имеет 4 витка на 1 см. Какую силу нужно приложить к ручке, чтобы поднять 1 m. Желая поднять 1 т на 1 см, мы должны обойти домкрат четырежды, каждый раз делая по 6,28 м (2?r), а всего 25,12 м. Используя различные блоки и т. п., мы действительно можем поднять 1 т с помощью неизвестного груза W, приложенного к концу ручки. Ясно, что W равно примерно 400 г. Это – следствие сохранения энергии.

И еще более сложный пример (фиг. 4.6).

Фиг. 4.6. Нагруженный стержень, подпертый с одного конца.

Подопрем один конец стержня (или рейки) длиной 8 м. Посредине рейки поместим груз весом 60 кг, а в 2 м от подпорки – груз весом 100 кг. Сколько надо силы, чтобы удержать рейку за другой конец в равновесии, пренебрегая ее весом? Пусть мы прикрепили блок и перекинули через него веревку, привязав ее к концу рейки. Каков же должен быть вес W, уравновешивающий стержень? Представим, что вес опустился на произвольное расстояние (для простоты пусть это будет 4 см); на сколько тогда поднимутся наши два груза? Середина рейки на 2 см, а второй груз (он лежит на четверти длины рейки) на 1 см. Значит, в согласии с правилом, что сумма весов, умноженных на высоты, не меняется, мы должны написать: вес W на 4 см вниз плюс 60 кг на 2 см вверх плюс 100 кг на 1 см вверх, что после сложения должно дать нуль:

— 4W+2x60+1x100=0, W=55кг. (4.5)

Выходит, чтобы удержать рейку, хватит 55 кг. Таким же путем можно разработать законы «равновесия» – статику сложных мостовых сооружений и т. д. Такой подход именуют принципом виртуальной (т. е. возможной или воображаемой) работы, потому что для его применения мы обязаны представить себе, что наша система чуть сдвинулась, даже если она в действительности не двигалась или вовсе неспособна двигаться. Мы используем небольшие воображаемые движения, чтобы применить принцип сохранения энергии.

§ 3. Кинетическая энергия

Чтобы рассказать о другом виде энергии, рассмотрим маятник (фиг. 4.7).

Фиг. 4.7. Маятник.

Отведем его в сторону и затем отпустим. Он начнет качаться взад и вперед. Двигаясь от края к середине, он теряет высоту. Куда же девается потенциальная энергия? Когда он опускается до самого низа, энергия тяготения пропадает, однако он вновь взбирается вверх. Выходит, что энергия тяготения должна превращаться в другую форму. Ясно, что способность взбираться наверх остается у маятника благодаря тому, что он движется; значит, в наинизшей точке качания энергия тяготения переходит в другой вид энергии.

Мы должны получить формулу для энергии движения. Вспоминая наши рассуждения о необратимых машинах, мы легко поймем, что, двигаясь мимо наинизшей точки, маятник должен обладать некоторым количеством энергии, которая позволит ему подняться на определенную высоту, и при этом независимо от механизма подъема или пути подъема. Возникает формула, выражающая равноценность обоих видов энергии, подобная той, которую писала мама, подсчитывая кубики. Получается другая форма представления энергии: Легко понять, какой она должна быть. Кинетическая энергия внизу равна весу, умноженному на высоту, на которую этот вес может подняться из–за своей скорости:

к. э. = WH.