Фейнмановские лекции по физике 1. Современная наука о природе, законы механики

Геометрически эта вероятность [запишем ее в виде P(x1

Площадь же ограничения всей кривой просто равна вероятности того, что D принимает какое–то значение между -? и +?. Ясно, что она должна быть равна единице, т. е.

(6.19)

Ну а поскольку ширина кривых на фиг. 6.7 пропорциональна N, то, чтобы сохранить ту же площадь, их высота должна быть пропорциональна 1/N.

Плотность вероятности, которую мы только что описали, встречается наиболее часто. Она известна также под названием нормальной, или гауссовой, плотности вероятности и записывается в виде

(6.20)

причем величина ? называется стандартным отклонением.

В нашем случае ?=N или NSC–K, если средняя квадратичная длина шага отлична от единицы.

Мы уже говорили о том, что движения молекул или каких–то других частиц в газе похожи на случайные блуждания. Представьте себе, что мы открыли в комнате пузырек с духами или каким–то другим органическим веществом. Тотчас же молекулы его начнут испаряться в воздух. Если в комнате есть какие–то воздушные течения, скажем циркуляция воздуха, то они будут переносить с собой пары этого вещества. Но даже в совершенно спокойном воздухе молекулы будут распространяться, пока не проникнут во все уголки комнаты. Это можно определить по запаху или цвету. Если нам известен средний размер «шага» и число шагов в секунду, то можно подсчитать вероятность обнаружения одной или нескольких молекул вещества на некотором расстоянии от пузырька через какой–то промежуток времени. С течением времени число шагов возрастает и газ «расползается» по комнате, подобно нашим кривым на фиг. 6.7. Длина шагов и их частота, как вы узнаете впоследствии, связаны с температурой и давлением воздуха в комнате.

Вы знаете, что давление газа вызывается тем, что молекулы его бомбардируют стенки сосуда. Позднее, когда мы подойдем к количественному описанию этого явления, нам понадобится знать, с какой скоростью движутся молекулы, ударяясь о стенку, поскольку сила их ударов зависит от скорости. Однако говорить о какой–то определенной скорости молекул совершенно невозможно. В этом случае необходимо использовать вероятностное описание. Молекула может иметь любую скорость, но некоторые скорости предпочтительнее других. Все происходящее в газе можно описать, сказав, что вероятность того, что данная молекула движется с какой–то скоростью между v и v+?v, будет равна p(v)?v, где р(v) – плотность вероятности, которая зависит от скорости v. Позднее я расскажу, как Максвелл, используя общие понятия и идеи теории вероятности, нашел математическое выражение для функции p(v). Примерный вид функции p(v) показан на фиг. 6.9.

Фиг. 6.9. Распределение молекул газа по скоростям.

Скорость может иметь любую величину, однако больше шансов за то, что она окажется где–то в окрестности наиболее вероятного или ожидаемого значения .

О кривой, показанной на фиг. 6.9, часто говорят в несколько ином смысле. Если мы возьмем газ, заключенный в каком–то сосуде (скажем, объемом 1 л), то окажется, что в нем имеется огромное количество молекул (N?1022). Поскольку р(v)?v – вероятность того, что первая попавшаяся молекула будет лететь со скоростью, находящейся в интервале ?v, то, по определению, ожидаемое число молекул со скоростью, находящейся в этом же интервале, будет равно

<?N>=Np(v) ?v. (6.21)

Поэтому Np(v) можно назвать «распределением молекул по скоростям». Площадь под кривой между двумя значениями скоростей v1 и v2 [заштрихованная область на фиг. 6.9 для кривой Np(v)] представляет ожидаемое число молекул со скоростями между v1 и v2. Но в газе, который содержит обычно огромное число молекул, отклонения от ожидаемого значения будут очень малы (порядка 1/N), поэтому часто мы выбрасываем слово «ожидаемое» и говорим просто: «Число молекул со скоростями между v1 и v2 равно площади заштрихованного участка». Однако нужно все–таки помнить, что речь в таких случаях всегда идет о вероятном числе.

§ 5. Принцип неопределенности

Понятия вероятности оказались очень полезны при описании поведения газа, состоящего из огромного количества молекул. Немыслимо же в самом деле пытаться определить положение и скорость каждой из 1022 молекул! Когда впервые теория вероятности была применена к таким явлениям, то это рассматривалось просто как удобный способ работы в столь сложной обстановке. Однако теперь мы полагаем, что вероятность существенно необходима для описания различных атомных процессов. Согласно квантовой механике, этой математической теории малых частичек, при определении положения частички и ее скорости всегда существует некоторая неопределенность. В лучшем случае мы можем только сказать, что существует какая–то вероятность того, что частица находится вблизи точки х.

Для описания местоположения частицы можно ввести плотность вероятности p1(x), так что p1(x)?x будет вероятностью того, что частица находится где–то между х и х+?x. Если положение частицы установлено достаточно хорошо, то примерный вид функции P1(x) может иллюстрировать график, приведенный на фиг. 6.10, а.

Фиг. 6.10. Плотности вероятности координаты, (а) и скорости (6) частицы.

Точно такое же положение и со скоростью частицы: она тоже неизвестна нам точно. С некоторой вероятностью p2(v)?v частица может двигаться со скоростью, находящейся в интервале между v и v+?v.

Один из основных результатов квантовой механики состоит в том, что эти две плотности р₁(х) и р₂(v) не могут быть выбраны независимо в том смысле, что они обе не могут быть сколь угодно узкими. Если мы возьмем «полуширины» кривых p1(x) и p2(v) и обозначим их соответственно [?x] и [?v] (см. фиг. 6.10), то природа требует, чтобы произведение этих двух полуширив было не меньше величины h/m, где m – масса частицы, a h – некоторая фундаментальная физическая постоянная, называемая постоянной Планка. Это соотношение записывается следующим образом:

[?x][?v]>=h/m (6.22)

и называется принципом неопределенности Гейзенберга.

Чтобы это соотношение выполнялось, частица должна себя вести очень курьезно. Вы видите, что правая часть соотношения (6.22) постоянна, а это означает, что если мы попытаемся «приколоть» частицу в каком–то определенном месте, то эта попытка окончится тем, что мы не сможем угадать, куда она летит и с какой скоростью. Точно также если мы попытаемся заставить частицу двигаться очень медленно или с какой–то определенной скоростью, то она будет «расплываться», и мы не сможем точно указать, где она находится.

Принцип неопределенности выражает ту неясность, которая должна существовать при любой попытке описания природы. Наиболее точное и полное описание природы должно быть только вероятностным. Однако некоторым физикам такой способ описания приходится не по душе. Им кажется, что о реальном поведении частицы можно говорить только, когда одновременно заданы импульсы и координаты. В свое время на заре развития квантовой механики эта проблема очень сильно волновала Эйнштейна. Он часто качал головой и говорил: «Но ведь не гадает же господь бог «орел – решка», чтобы решить, куда должен двигаться электрон!» Этот вопрос беспокоил его в течение очень долгого времени, и до конца своих дней он, по–видимому, так и не смог примириться с тем фактом, что вероятностное описание природы – это максимум того, на что мы пока способны. Есть физики, которые интуитивно чувствуют, что наш мир можно описать как–то по–другому, что можно исключить эти неопределенности в поведении частиц. Они продолжают работать над этой проблемой, но до сих пор ни один из них не добился сколько–нибудь существенного результата.

Эта присущая миру неопределенность в определении положения частицы является наиболее важной чертой описания структуры атомов. В атоме водорода, например, который состоит из одного протона, образующего ядро, и электрона, находящегося где–то вне его, неопределенность в местонахождении электрона такая же, как и размеры самого атома! Мы не можем поэтому с уверенностью сказать, где, в какой части атома находится наш электрон, и уж, конечно, не может быть и речи ни о каких «орбитах». С уверенностью можно говорить только о вероятности p(r)?V обнаружить электрон в элементе объема ?V на расстоянии r от протона. Квантовая механика позволяет в этом случае вычислять плотности вероятности p(r), которая для невозмущенного атома водорода равна Ae–r2a2.

Это – колоколообразная функция наподобие изображенной на фиг. 6.8, причем число а представляет собой характерную величину радиуса, после которого функция очень быстро убывает. Несмотря на то что существует вероятность (хотя и небольшая) обнаружить электрон на большем, чем а, расстоянии от ядра, мы называем эту величину «радиусом атома». Она равна приблизительно 10–10 м.

Если вы хотите как–то представить себе атом водорода, то вообразите этакое «облако», плотность которого пропорциональна плотности вероятности. Пример такого облака показан на фиг. 6.11.

Фиг. 6,11, Воображаемый атом водорода.

Плотность («белизна») облачка пропорциональна плотности вероятности обнаружения электрона.

Такая наглядная картинка, пожалуй, наиболее близка к истине, хотя тут же нужно помнить, что это не реальное «электронное облако», а только «облако вероятностей». Где–то внутри него находится электрон, но природа позволяет нам только гадать, где же именно он находится.

В своем стремлении узнать о природе вещей как можно больше современная физика обнаружила, что существуют вещи, познать которые точно ей никогда не удастся. Многому из наших знаний суждено навсегда остаться неопределенным. Нам дано знать только вероятности.

* Максвелл получил выражение pv=Cv2e–av2, где а – некоторая связанная с температурой постоянная, а С выбирается таким образом, чтобы полная вероятность была равна единице.

* Эти последние 97 экспериментов проводились следующим образом. Ящик, в котором находились 30 монет, энергично встряхивался; затем подсчитывалось число выпадений «орла».

Глава 7 ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ

§ 1. Движение планет

В этой главе речь пойдет об одном из самых далеко идущих обобщений, сделанных когда–либо человеческим разумом. Мы заслуженно восхищаемся умом человека, но неплохо было бы постоять некоторое время в благоговении и перед природой, полностью беспрекословно подчиняющейся такому изящному и такому простому закону – закону тяготения. В чем же заключается этот закон? Каждый объект Вселенной притягивается к любому другому объекту с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Математическая запись этого утверждения такова:

F=Gmm'r2.

Если к этому добавить, что любое тело реагирует на приложенную к нему силу ускорением в направлении этой силы, по величине обратно пропорциональным массе тела, то способному математику этих сведений достаточно для вывода всех дальнейших следствий.

Но поскольку, как мы предполагаем, вы еще не столь талантливы, вооружим вас не только этими двумя аксиомами. Давайте вместе разберем следствия из них. Мы изложим вкратце историю открытия закона тяготения, остановимся на некоторых выводах из него и на его влиянии на историю, на загадках этого закона и на уточнении его Эйнштейном; мы «хотим еще обсудить связь закона тяготения с другими законами физики. Всего этого в одну главу не уложишь, но в надлежащих местах других глав мы снова будем возвращаться к этому.

История начинается с древних; наши предки наблюдали движение планет среди звезд и в конце концов поняли, что планеты движутся вокруг Солнца – факт, заново открытый позже Коперником. Немного больше труда потребовалось, чтобы открыть, как именно они вращаются. В начале XV столетия шли большие дебаты о том, действительно ли планеты обращаются вокруг Солнца или нет. У Тихо Браге на этот счет было свое представление, далекое от того, что думали древние: мысль его состояла в том, что все споры о природе движения планет разрешатся, если достаточно точно измерить положение планет на небе. Если измерения точно установят, как движутся планеты, то не исключено, что из двух точек зрения удастся отобрать одну. Это была неслыханная идея – чтобы открыть что–то, лучше–де проделать тщательные опыты, чем приводить глубокие философские доказательства. Следуя ей, Тихо Браге многие годы изучал положения планет в своей обсерватории на острове Фюн, близ Копенгагена. Он составил объемистые таблицы, впоследствии, после смерти Тихо, изученные математиком Кеплером. Из его данных Кеплер и извлек замечательные, очень красивые и простые законы, управляющие движением планет.

§ 2. Законы Кеплера

Прежде всего Кеплер понял, что все планеты движутся вокруг Солнца по кривой, называемой эллипсом, причем Солнце находится в фокусе эллипса. Эллипс – это не совсем овал, это особым образом точно определяемая кривая. Получить такую кривую можно, воткнув в фокусы по булавке, к которым привязана нить, натянутая карандашом. Выражаясь математически, это– геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) постоянна. Или, если угодно, это – окружность, видимая под углом к своей плоскости (фиг. 7.1).

Фиг. 7.1. Эллипс.

Другое наблюдение Кеплера состояло в том, что планеты движутся не с постоянной скоростью: поблизости от Солнца– быстрее, а удаляясь – медленнее. Более точно: пусть планета наблюдается в два последовательных момента времени, скажем на протяжении недели, и к каждому положению планеты проведен радиус–вектор. Дуга орбиты, пройденная планетой за неделю, и два радиус–вектора ограничивают некоторую площадь, заштрихованную на фиг. 7. 2.

Фиг. 7.2. Кеплеров закон площадей.

Если такие же наблюдения в течение недели проделать в другое время, когда планета движется по дальнему участку орбиты (т. е. медленнее), то построенная таким же способом фигура окажется по площади равной прежней. Итак, в соответствии со вторым законом орбитальная скорость любой планеты такова, что радиус «заметает» равные площади в равные интервалы времени.

Третий закон был открыт Кеплером гораздо позже; он другого рода, нежели первые два: он уже касается не одной планеты, а связывает между собой разные планеты. Закон утверждает, что если сравнить между собой период обращения и размеры орбиты двух планет, то периоды пропорциональны полуторной степени размеров орбит. Здесь период – это время, нужное планете для того, чтобы обойти всю орбиту; размер же измеряется длиной наибольшего диаметра эллиптической орбиты, ее большой оси. Считая орбиты кругами (чем они почти и являются), можно сказать проще: время одного оборота по кругу пропорционально его диаметру (или радиусу) в степени 32. Итак, три закона Кеплера таковы:

1. Все планеты движутся вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус–вектор от Солнца до планеты «заметает» равные площади в равные интервалы времени.

3. Квадраты времен обращения двух планет пропорциональны кубам больших полуосей их орбит: T2~a3.

§ 3. Развитие динамики

В то время, когда Кеплер открывал эти законы, Галилей изучал законы движения. Он пытался выяснить, что заставляет планеты двигаться. (В те дни одна из предлагавшихся теорий утверждала: планеты движутся потому, что за ними летят невидимые ангелы, которые взмахами своих крыльев гонят планеты вперед. Ныне эта теория, как вы вскоре увидите, несколько видоизменена! По–видимому, чтобы заставить планеты вращаться, невидимые ангелы обязаны витать во всевозможных направлениях и обходиться без крыльев. В остальном эти теории схожи!) И Галилей открыл одно знаменательное свойство движения, достаточное, чтобы понять эти законы. Это – принцип инерции: если при движении тела его ничто не касается, ничто не возмущает, то оно может лететь вечно с постоянной скоростью и по прямой. (А почему это так? Мы этого не знаем, но так уж оно повелось.)

Ньютон затем видоизменил эту мысль, говоря, что единственный способ изменить движение тела – это применить силу. Если тело разгоняется, значит сила была приложена в направлении движения. Если тело повернуло в сторону, то сила была приложена сбоку. Если, например, привязать камень к бечевке и вертеть им по кругу, то, чтобы удержать его на окружности, нужна сила. Мы должны все время натягивать бечевку. Закон состоит в следующем: ускорение, производимое силой, обратно пропорционально массе. Или иначе: сила пропорциональна массе и ускорению. Чем массивнее тело, тем большая сила необходима, чтобы создать нужное ускорение. (Массу можно измерить, привязав к веревке другой камень и вертя им по тому же кругу с той же скоростью. Так можно обнаружить, что массивным телам нужна большая сила.) Из этих рассуждений последовала блестящая мысль: чтобы удержать планету на ее орбите, никакой касательной силы не нужно (ангелам нет нужды летать по касательной), потому что планета и так будет лететь в нужном направлении. Если бы ничего ей не мешало, она бы удалилась по прямой линии. Но истинное движение уклоняется от этой прямой и отклоняется как раз поперек движения, а не по движению. Иными словами, благодаря принципу инерции сила, потребная для управления движением планет вокруг Солнца, это не сила, вращающая их вокруг Солнца, а сила, направленная к Солнцу (ну, а раз сила направлена к Солнцу, то, бесспорно, это и есть тот самый ангел!).

§ 4. Ньютонов закон тяготения

Лучше других поняв природу движения, Ньютон прикинул, что именно Солнце может явиться источником, штаб–квартирой сил, управляющих движением планет. Он убедился (вскоре, быть может, убедимся в этом и мы), что «заметание» равных площадей в равные интервалы времени есть верный знак того, что все отклонения от прямой в точности радиальны, или что закон площадей есть прямое следствие того, что все силы направлены точно к Солнцу.

Кроме того, из анализа третьего закона Кеплера можно вывести, что чем дальше от Солнца планета, тем слабее сила. Из сравнения двух планет на разных расстояниях следует, что силы обратно пропорциональны квадратам относительных расстояний. Сочетая оба закона, Ньютон пришел к заключению, что должна существовать сила, обратная квадрату расстояния и направленная по прямой между Солнцем и планетой.

Будучи человеком, склонным к обобщениям, Ньютон, конечно, предположил, что эта связь применима не только к Солнцу, удерживающему планеты, но что она носит более общий характер. Уже было известно, к примеру, что вокруг Юпитера обращаются луны, подобно тому как Луна ходит вокруг Земли, и Ньютону казалось естественным, что и планеты силой держат свои луны возле себя. Тогда он уже знал о силе, удерживающей нас на Земле, и предположил, что эта сила всеобщая и что все притягивается ко всему.

Тогда он спросил себя: притягивает ли Земля людей так же, как Луну («так же» значит обратно пропорционально квадрату расстояния). Если тело у поверхности Земли падает в первую секунду (из состояния покоя) на 4,9 м, то на сколько падает Луна? Можно возразить, что Луна вообще не падает. Но если бы на Луну не действовала сила, она бы унеслась по прямой линии, а на самом деле она обращается по круговой орбите; следовательно, она падает с того места, где она должна была бы быть, если бы сила на нее не действовала. Зная радиус орбиты Луны (около 384 000 км) и время ее оборота вокруг Земли (около 29 дней), можно подсчитать, сколько она проходит за 1 сек и затем на сколько за это время она падает. Оказывается, что это расстояние примерно равно 1,36 мм. Это хорошо укладывается в закон обратных квадратов, потому что радиус Земли 6370 км, и если на этом расстоянии тела, падая, проходят в первую секунду 4,9 м, то на расстоянии в 384 тыс. км, т. е. в 60 раз дальше от центра Земли, они должны падать на 1/3600 от 4,9 м, или как раз на 1,36 мм. Желая подтвердить свою теорию тяготения подобными расчетами, Ньютон их аккуратно проделал и… получил сильнейшее несовпадение цифр. Он счел, что теория противоречит фактам, и не опубликовал ее. Шестью годами позже новые измерения радиуса Земли показали, что принятое в ту пору астрономами расстояние до Луны было неверным. Услышав об этом, Ньютон провел новый расчет с исправленными цифрами и получил уже превосходное совпадение.

Мысль, что Луна «падает», несколько смущает; почему же она тогда не приближается? Эта мысль настолько интересна, что заслуживает дальнейшего пояснения: Луна «падает» в том смысле, что отклоняется от прямой линии, по которой она бы двигалась, не будь больше никаких сил.

Рассмотрим другой, уже чисто земной пример. Тело, выпущенное из рук у земной поверхности, упадет в первую секунду на 4,9 м. Тело, брошенное горизонтально, также падает на 4,9 м.

На фиг. 7.3 показан прибор, демонстрирующий это явление.

Фиг. 7.3. Прибор для демонстрации независимости вертикальных и горизонтальных движений.

Из горизонтального желоба выскакивает и летит вперед шарик. С той же высоты вертикально падает вниз другой шарик (имеется электрическая схема, выпускающая второй шар как раз в тот момент, когда первый соскальзывает с желоба). Они сталкиваются в воздухе, т. е. это значит, что они за одинаковое время снижаются одинаково. Пуля, выпущенная горизонтально, может пройти за 1 сек даже полкилометра, а вниз за это время она упадет на 4,9 м. Что случится, если пуля будет вылетать из ствола все быстрее? Не забудьте, что поверхность Земли кривая. Пуля может вылететь с такой скоростью, что, упав на 4,9 м, она все равно останется по отношению к Земле на первоначальной высоте. Может ли такое быть? Да; хотя она падает, но и Земля искривляется, вот и получается падение «вокруг» Земли. Надо только узнать, на каком расстоянии поверхность Земли окажется на 4,9 м ниже горизонта. На фиг. 7.4 изображена Земля с ее радиусом (6370 км) и касательный прямой путь пули (в отсутствие сил).

Фиг. 7.4. Ускорение к центру на круговом пути.

Из планиметрии x/s = (2R–s)/x ? 2R/x, где R – радиус Земли (6370 км); х – расстояние, «пройденное горизонтально» за 1 сек; s – длина пути «падения» за 1 сек (4,9 м).

Остается вспомнить одну из занятных геометрических теорем о том, что длина полухорды, перпендикулярной диаметру, равна среднему геометрическому между длинами отрезков диаметра. Значит, расстояние, пройденное пулей, есть среднее пропорциональное между 4,9 м падения и 12 740 км диаметра Земли, т. е.

0,049?12740?7,9 км.

Итак, если пуля движется с быстротой 7,9 км/сек, она будет по–прежнему падать каждую секунду на 4,9 м, но никогда не приблизится к поверхности, уходящей от нее вследствие своей кривизны. Так было и с космонавтом Гагариным, который держался на одной высоте, делая примерно 8 км в секунду, т. е. 40 000 км за оборот (на самом деле чуть побольше, так как и летел он повыше).

Любое открытие нового закона полезно лишь тогда, когда из него можно извлечь больше того, что в него было вложено. Ньютон применил второй и третий законы Кеплера для того, чтобы вывести закон тяготения. Что же он предсказал? Первым предсказанием был его анализ движения Луны: движение это увязывалось с падением тел на Земле. Вторым был ответ на вопрос, являются ли орбиты эллипсами. Можно точно рассчитать движение, можно доказать и то, что это эллипс; стало быть, никаких добавочных фактов для доказательства первого закона Кеплера не нужно. Так Ньютон сделал свое первое мощное предсказание.

Закон тяготения объяснил многие явления, прежде непонятные. Например, притяжение Луны вызывает на Земле приливы – явление дотоле таинственное. Люди и раньше догадывались, что Луна притягивает воду под собой и получается прилив, но они не были так умны, как Ньютон, и думали, что должен быть только один прилив в сутки. Считалось, что Луна притягивает воду, вызывая прилив, но так как Земля вращается, то в каждом месте вода должна раз в сутки подняться и опуститься. А на самом деле прилив бывает каждые 12 часов. Была и другая школа передовой мысли; по ее мнению, прилив должен быть и на противоположной стороне Земли, потому что Луна всегда отрывает сушу от воды! Обе эти теории неверны. Настоящее объяснение примерно таково: притяжение Луной суши и воды «уравновешено» в центре. Но притяжение Луной тех масс воды, которые находятся на «лунной» стороне Земли, сильнее, чем среднее притяжение всей Земли, а притяжение масс воды на обратной стороне Земли слабее среднего. Кроме того, вода в отличие от суши может течь. Истинная причина приливов и определяется этими двумя факторами.

Что мы понимаем под словом «уравновешено»? Что именно уравновешивается? А вот что. Если Луна притягивает к себе всю Землю, то почему Земля не падает «вверх» на Луну? По той же причине, почему и Луна не падает на Землю: Земля вращается вокруг точки, которая находится внутри Земли (но не в ее центре). Не Луна вращается вокруг Земли, а обе они вращаются вокруг общего центра и обе падают на него, как показано на фиг. 7.5.

Фиг. 7.5. Система Земля–Луна с приливами.

Это движение вокруг общего центра и уравновешивает падение каждого из двух небесных тел. Так что и Земля тоже движется не по прямой линии, а по круговой орбите. Массы воды на дальней стороне отбрасываются из–за «центробежной силы» сильнее, чем центр Земли, который как раз уравновешен притяжением Луны. Притяжение Луны на дальней стороне слабее и «центробежная сила» больше. В итоге равновесие воды нарушается: она удаляется от центра Земли. На ближней стороне Луна притягивает сильнее, но из–за меньшей величины радиус–вектора оказывается меньше и «центробежная сила», равновесие нарушается в обратную сторону, но по–прежнему от центра Земли. В итоге появляются два приливных «горба».

$ 5. Всемирное тяготение

Что же еще можно понять, зная о существовании тяготения? Всем известно, что Земля круглая. А почему? Ну, это понятно: конечно, благодаря тяготению. Земля круглая просто потому, что между всеми телами существует притяжение, и все, из чего возникла Земля, тоже взаимно притягивалось до тех пор, пока было куда притягиваться! Точнее говоря, Земля не совсем шар; она ведь вращается, и центробежная сила на экваторе противодействует тяготению. Выходит, что Земля должна быть эллипсоидом, и можно даже получить правильную его форму. Итак, из закона тяготения следует, что и Солнце, и Луна, и Земля должны быть (приблизительно) шарами.

Что же еще следует из закона тяготения? Наблюдая за спутниками Юпитера, можно понять все законы их движения вокруг планеты. В этой связи стоит рассказать об одной заминке, которая вышла у закона тяготения с лунами Юпитера. Эти спутники очень подробно изучались Рёмером, и вот он заметил, что временами они нарушают расписание: то опаздывают, то приходят в назначенное место раньше времени (расписание можно составить, понаблюдав за ними достаточно долго и подсчитав по многим оборотам средний период обращения). Более того, он заметил, что опоздания случаются, когда Юпитер удален от Земли, а когда мы от Юпитера близко, то движение лун опережает расписание. Такую вещь очень трудно было уложить в закон тяготения, и ему бы угрожала безвременная кончина, не найдись другого объяснения. Ведь если закону противоречит хотя бы один случай, то закон неверен. Но причина расхождения оказалась очень естественной и красивой: дело просто в том, что необходимо какое–то время, чтобы увидеть луну на нужном месте, ведь свет от нее до нас доходит не мгновенно. Время это небольшое, когда Юпитер находится близко к Земле, но оно затягивается, когда Юпитер удалится от нее. Вот почему кажется, что луны в среднем торопятся или отстают в зависимости от того, близко ли или далеко они находятся от Земли. Это явление доказало, что свет распространяется не мгновенно, и снабдило нас первой оценкой его скорости (было это в 1676 г.).

Если все планеты притягиваются друг к другу, то сила, управляющая, скажем, обращением Юпитера вокруг Солнца, это не совсем сила притяжения к Солнцу; ведь есть еще и притяжение, например, Сатурна. Оно невелико (Солнце куда больше Сатурна), но оно есть, и потому орбита Юпитера не может быть точным эллипсом; она чуть колеблется относительно эллиптической траектории, так что движение несколько усложняется. Были предприняты попытки проанализировать движение Юпитера, Сатурна и Урана на основе закона тяготения. Чтобы узнать, удастся ли мелкие отклонения и неправильности в движении планет полностью объяснить только на основе одного этого закона, рассчитали влияние каждой из них на остальные. Для Юпитера и Сатурна все сошло как следует, но Уран – что за чудеса! – повел себя очень странно. Он двигался не по точному эллипсу, чего, впрочем, и следовало ожидать из–за влияния притяжения Юпитера и Сатурна. Но и с учетом их притяжения движение Урана все равно было неправильным; таким образом, законы тяготения оказались в опасности (возможность эту нельзя было исключить). Двое ученых, Адаме и Леверрье в Англии и Франции, независимо задумались об иной возможности: нет ли там еще одной планеты, тусклой и невидимой, пока еще не открытой. Эта планета, назовем ее N, могла притягивать Уран. Они рассчитали, где эта планета должна находиться, чтобы причинить наблюдаемые возмущения пути Урана. В соответствующие обсерватории они разослали письма, в которых говорилось: «Господа, направьте свои телескопы в такое–то место – и вы увидите там новую планету». Обратят ли на вас внимание или нет, часто зависит от того, с кем вы работаете. На Леверрье обратили внимание, послушались его и обнаружили планету N! Тогда и другая обсерватория поспешила начать наблюдения – и дело увенчалось успехом.

Это открытие показывает, что в солнечной системе законы Ньютона абсолютно верны. Но верны ли они на расстояниях, больших, чем относительно малые расстояния до планет? Во–первых, можно поставить вопрос: притягивают ли звезды друг друга так же, как планеты? Положительные доказательства этого мы находим в двойных звездах. На фиг. 7.6 показана двойная звезда – две близкие звезды (третья звезда нужна, чтобы убедиться, что фотография не перевернута); вторая фотография сделана через несколько лет.

Фиг. 7.6. Система двойной звезды.

Сравнивая с «фиксированной» звездой, мы видим, что ось пары повернулась, т. е. звезды ходят одна вокруг другой. Вращаются ли они в согласии с законами Ньютона? Тщательные замеры относительной позиции двойной звезды Сириус даны на фиг. 7.7.

Фиг. 7.7. Орбита Сириуса В по отношению к Сириусу А.

Получается превосходный эллипс (измерения начаты в 1862 г. и доведены до 1904 г.; с тех пор был сделан еще один оборот). Все сходится с законами Ньютона, кроме того, что Сириус А получается не в фокусе. В чем же дело? А в том, что плоскость эллипса не совпадает с «плоскостью неба». Мы видим Сириус не под прямым углом к плоскости его орбиты, а если на эллипс посмотреть сбоку, то он не перестанет быть эллипсом, но фокус может сместиться. Так что и двойные звезды можно анализировать в согласии с требованиями закона тяготения.

Справедливость закона тяготения на больших дистанциях видна из фиг. 7.8.

Фиг. 7.8. Шаровое звездное скопление.

Нужно быть лишенным воображения, чтобы не увидеть здесь работы тяготения. Здесь показано одно из красивейших небесных зрелищ – шаровое звездное скопление. Каждая точка – это звезда. Нам кажется, будто у центра они набиты вплотную; происходит это из–за слабой чувствительности телескопа; на самом деле промежутки между звездами даже в середине очень велики, а столкновения крайне редки. Больше всего звезд в центре, а по мере удаления к краю их все меньше и меньше. Ясно, что между звездами действует притяжение, т. е. что тяготение существует и на таких гигантских расстояниях (порядка 100 000 диаметров солнечной системы).

Но отправимся дальше и рассмотрим всю галактику (фиг. 7.9).

Фиг. 7.9. Галактика.

Форма ее явственно указывает на стремление ее вещества стянуться. Конечно, доказать, что здесь действует закон обратных квадратов, нельзя; видно только, что и на таком протяжении есть силы, удерживающие всю галактику от развала. Вы можете сказать: «Ладно, все это разумно, но почему же эта штука, галактика, уже не похожа на шар?» Да потому, что она вертится, что у нее есть момент количества движения (запас вращения); если она сожмется, ей некуда будет его девать; ей остается только сплюснуться. (Кстати, вот вам хорошая задача: как образуются рукава галактики? Чем определяется ее форма? Детального ответа на эти вопросы еще нет.) Ясно, что очертания галактики определяются тяготением, хотя сложности ее структуры пока невозможно полностью объяснить. Размеры галактик – около 50 000–100 000 световых лет (Земля находится на расстоянии 813 световых минут от Солнца).

Но тяготение проявляется и на больших протяжениях. На фиг. 7.10 показаны какие–то скопления мелких пятен.

Фиг. 7.10. Облако галактик.

Это облако галактик, подобное звездному скоплению. Стало быть, и галактики притягиваются между собой на таких расстояниях, иначе бы они не собрались в «облако». По–видимому, и на расстояниях в десятки миллионов световых лет проявляется тяготение; насколько ныне известно, всюду все еще действует закон обратных квадратов.

Закон тяготения ведет не только к пониманию природы туманностей, но и к некоторым идеям о происхождении звезд. В большом облаке пыли и газа, подобном изображенному на фиг. 7.11, притяжение частиц пыли соберет их в комки.

Фиг. 7.11. Межзвездное пылевое облако.

На фигуре видны «маленькие» черные пятнышки – быть может, начало скопления газа и пыли, из которых благодаря их притяжению начинает возникать звезда. Приходилось ли нам когда–либо видеть рождение звезды – вопрос спорный. На фиг. 7.12 дано некоторое свидетельство того, что приходилось.

Фиг. 7.12. Образование новых звезд?

Слева показан светящийся газ, а внутри него – несколько звезд. Это снимок 1947 г. Снимок справа сделан через 7 лет; теперь видны уже два новых ярких пятна. Уж не скопился ли здесь газ, не вынудило ли его тяготение собраться в шар, достаточно большой, чтобы в нем началась звездная ядерная реакция, превращая его в звезду? Может быть, да, а может, и нет. Маловероятно, что нам повезло увидеть, как всего за семь лет звезда стала видимой, но еще менее вероятно увидать рождение сразу двух звезд.

§ 6. Опыт Кавендиша

Итак, тяготение распространяется на огромные расстояния. Но если существует притяжение между любыми двумя объектами, то должна существовать и возможность измерить силу, действующую между ними. И не обязательно следить за движением звезд; почему бы не взять два шара, свинцовый и мраморный, и не проследить, как один будет двигаться к другому? Трудность столь простого по идее опыта заключается в крайней слабости, незаметности сил. Проводить его следует с исключительной осторожностью: сначала выкачать из аппарата воздух, убедиться, что нигде нет электрических зарядов и т. д., и только тогда можно попытаться измерить силу. Впервые она была измерена Кавендишем при помощи устройства, схематически изображенного на фиг. 7.13.

Фиг. 7.13. Упрощенная схема прибора, использованного Кавендишем для проверки закона всемирного тяготения для малых тел и измерения постоянной тяготения G.

Опыт Кавендиша доказал, что существует сила, действующая между двумя большими закрепленными свинцовыми шарами и двумя меньшими (тоже из свинца); в опыте шары размещались на концах коромысла, висящего на очень тонкой упругой нити. Измеряя, насколько закрутится нить, можно было узнать величину силы и убедиться, что она обратно пропорциональна квадрату расстояния. Таким образом точно определялся коэффициент G в формуле

F=Gmm'r2

ибо все массы и расстояния здесь известны. Вы можете возразить: «Все это для Земли было известно и раньше». Все, кроме массы Земли. Определив из этого опыта величину G и зная силу притяжения Земли, можно было косвенно определить ее массу! Опыт поэтому называют «взвешиванием Земли». Кавендиш утверждал, что он взвесил Землю, хотя он только измерил коэффициент G; но это единственный способ определить массу Земли. Коэффициент G оказался равным

6,670?10–11 ньютон?м2/кг2.

Трудно преувеличить силу влияния теории тяготения, ее величественных успехов на историю науки. Вместо царивших в прежние века неуверенности, сомнений, неполноты знаний, бесконечных споров и парадоксов перед людьми предстал новый закон во всей своей четкости и простоте. Как важно было то, что все луны, все планеты, все звезды подчиняются столь простому правилу! Но еще важнее то, что человек оказался в состоянии понять это правило и предсказывать на будущее пути планет! Это определило быстрый, успешный рост науки в последующие годы; у людей появилась надежда, что и в других явлениях мира прячутся такие же простые закономерности.

§ 7. Что такое тяготение?

Но почему закон так прост? Что можно сказать о причине этого? До сих пор мы только описывали, как Земля обращается вокруг Солнца, но ни слова не сказали о том, что заставляет ее двигаться. Ньютон не строил догадок об этом; ему было достаточно открыть, что происходит, не входя в механизм происходящего. Но и никто другой с тех пор никакого механизма не открыл. Все физические законы отличаются в этом отношении своим абстрактным характером. Закон сохранения энергии – это теорема о величинах, которые нужно вычислить и сложить, не думая о причине этого; точно так же и великие законы механики представляют собой количественные математические закономерности, о внутреннем механизме работы которых никаких данных нет. Почему мы можем пользоваться математикой для описания законов, не зная их причины? Никто и этого не знает. Мы продолжаем идти по этой дороге, потому что на ней все еще происходят открытия.

Предлагались многие механизмы тяготения. Интересно рассмотреть один из них, ибо до него время от времени додумывались то один, то другой ученый. Причем каждый сперва воспрянет духом и ходит осчастливленный своим «открытием», но потом начинает понимать, что тут что–то не так. Впервые это открытие произошло примерно в 1750 г. Представьте себе, что в пространстве носится в разных направлениях с огромной скоростью множество частиц, лишь слегка поглощаемых веществом. Поглощаясь, они передают свой импульс Земле. Но так как во всех направлениях их количество одинаково, то все импульсы уравновешиваются. Когда же неподалеку находится Солнце, то частицы, приближающиеся к Земле сквозь Солнце, частично им поглощаются, так что от Солнца их проходит меньше, чем с обратной стороны. Следовательно, Земля ощутит импульс, направленный к Солнцу, и нетрудно видеть, что он будет обратным квадрату расстояния: таков закон изменения пространственного угла, под которым видимо Солнце, с ростом расстояния. Что же плохо в этом механизме? Неверны те выводы, которые из него следуют. Появляется новая забота: Земля в своем движении вокруг Солнца будет испытывать больше столкновений с частицами спереди, чем сзади (когда бежишь навстречу дождю, лицо мокнет больше, чем затылок!). Поэтому спереди Земля получит больше импульсов, чем сзади, и должна почувствовать сопротивление своему движению, а это сказалось бы на замедлении ее движения по орбите. Можно подсчитать, сколько времени понадобится Земле, чтобы в результате такого сопротивления остановиться; оказывается, не так уж много; а раз Земля все же движется по своей орбите, то вся эта механика не годится. И не было предложено ни одного механизма, «объясняющего» тяготение, который бы не предсказывал добавочных, несуществующих явлений.

Рассмотрим еще возможную связь тяготения с прочими силами. В нынешнее время не удается свести тяготение к другим силам. Тяготение отнюдь не проявление электричества или чего–либо подобного; этим его не объяснишь. И все же тяготение похоже на другие силы, и любопытно посмотреть, в чем. К примеру, электрическая сила между двумя заряженными телами чрезвычайно похожа на тяготение: она равна со знаком минус постоянной величине, умноженной на величины зарядов тел, и изменяется обратно квадрату расстояния. Правда, она действует в обратную сторону, т. е. отталкивает. Но замечательно не столько это, сколько одинаковая зависимость от расстояния, входящая в оба закона. Не исключено, что тяготение и электричество связаны значительно сильнее, чем мы думаем. Было сделано много попыток объединить их; так называемая единая теория поля – лишь одна из очень изящных попыток сочетать электричество с тяготением. Но самая интересная вещь в сопоставлении их друг с другом – это относительная величина этих сил. Любая теория, в которой появятся обе силы, обязана будет также объяснить величину тяготения (константу G).

Если мы измерим в естественных единицах отталкивание двух электронов (возникающее из–за того, что у них есть заряд) и их притяжение (возникающее оттого, что у них есть масса), то мы можем получить и отношение электрического отталкивания к гравитационному притяжению. Отношение это не зависит от расстояния, это фундаментальная мировая константа. Изображена она на фиг. 7.14.

Фиг. 7.14. Относительная сила электрического и гравитационного взаимодействия двух электронов.

Гравитационное притяжение составляет 1/4,17?1042 от электрического отталкивания! Откуда же может возникнуть такое исполинское число в знаменателе? Оно же не случайно, ведь это не отношение объема Земли к объему тли. Мы рассматриваем два естественных свойства одного и того же предмета – электрона. Это фантастическое число есть естественная константа, и в нем таятся какие–то глубинные свойства природы. От каких же свойств оно зависит? Некоторые надеются, что если кто–нибудь однажды напишет «универсальное уравнение», то одним из его корней будет это число. Но очень трудно найти уравнение, в котором корнем было бы такое немыслимое число. Были придуманы и другие возможности; одна связывает его с возрастом Вселенной. Иначе говоря, необходимо найти в природе еще одно такое огромное число. При этом не собираются выражать возраст в годах, нет, ведь год – не «естественная» величина, она введена людьми.

Как пример чего–то естественного выберем время, за какое свет проходит сквозь протон, 10–24 сек. Разделив это число на возраст Вселенной (1?1010 лет, ?1018 сек), получим 10–42 – число со столькими же нулями; потому и предлагают считать постоянную всемирного тяготения связанной с возрастом всего мира. Если бы это было так, то она изменялась бы со временем: по мере старения Вселенной отношение ее лет к промежутку, в течение которого свет проносится мимо протона, возрастало бы. Возможно ли, что постоянная тяготения и впрямь меняется с годами? Ясно, что изменения столь малы, что в этом убедиться нелегко.

Вот один из способов проверить эту мысль. Зададим вопрос: что при этом должно было измениться за последние 109 лет (время появления жизни на Земле), т. е. за 110 возраста Вселенной? За это время постоянная тяготения выросла бы на 10%. Оказывается, что если рассмотреть структуру Солнца – баланс между его массой и степенью генерации излучательной энергии внутри Солнца, – то при росте тяжести на 10% Солнце оказалось бы не на 10% ярче, а значительно больше: яркость его возросла бы как шестая степень постоянной тяготения! Можно подсчитать и то, на сколько при таком изменении тяжести Земля приблизится к Солнцу. В итоге выясняется, что Земля стала бы более чем на 100° горячее и, следовательно, вся вода из морей превратилась бы в пар. Поэтому мы сейчас не верим, что постоянная тяготения изменяется по мере того, как мир стареет. Все же приведенный нами аргумент не очень убедителен, и вопрос до конца не выяснен.

Как известно, сила тяготения пропорциональна массе, т. е. мере инерции тела, или мере того, насколько трудно удержать тело, вращающееся по кругу. Поэтому два тела, тяжелое и легкое, движущиеся бок о бок вокруг массивного тела по одному и тому же кругу с одной скоростью под действием тяготения, будут все время оставаться рядом, потому что движение по кругу требует для большего тела и большей силы. Иначе говоря, тяжесть у большей массы больше как раз в нужной пропорции, так что два тела будут вращаться, не удаляясь одно от другого. Если же одно тело находится внутри другого, то оно и останется там; равновесие является совершенным. Поэтому Гагарин и Титов наблюдали невесомость всех предметов внутри космического корабля; выпущенный из руки карандаш, например, вращался вокруг Земли по той же траектории, что и весь корабль, поэтому он замирал, повиснув в воздухе. Любопытно, что эта сила в точности пропорциональна массе; если бы это было не так, то должны были бы наблюдаться явления, в которых инерция и вес отличаются. Отсутствие подобных явлений было с огромной точностью проверено на опыте, выполненном впервые

Этвешем в 1909 г., а позже повторенном Дикке. У всех веществ масса и вес пропорциональны с точностью 1/1 000 000 000 или даже более того. Не правда ли, замечательный эксперимент?

§ 8. Тяготение и относительность

Заслуживает еще обсуждения видоизменение ньютонова закона тяготения, сделанное Эйнштейном. Оказывается, несмотря на вызванное им воодушевление, ньютонов закон тяготения все же неверен! Учтя требования теории относительности, Эйнштейн видоизменил этот закон. Согласно Ньютону, тяготение действовало мгновенно. Это значит вот что: сдвинув массу, мы должны в тот же миг почувствовать изменение силы в результате смещения; стало быть, таким способом можно посылать сигналы с бесконечной скоростью. А Эйнштейн выдвинул доводы, что невозможно посылать сигналы быстрее скорости света; закон тяготения, таким образом, должен быть ошибочным. Если исправить его, учтя запаздывание, то получится уже новый закон, закон тяготения Эйнштейна. Одна из особенностей нового закона легко укладывается в голове: по теории относительности Эйнштейна все, любой объект, обладающий энергией, обладает и массой в том смысле, что он должен тяготеть к другим объектам. Даже световой луч имеет «массу», ибо он обладает энергией. И когда луч света, неся с собой энергию, проходит мимо Солнца, то Солнце его притягивает. И луч уже идет не по прямой, а искривляется. Например, во время солнечных затмений звезды, окружающие Солнце, кажутся сдвинутыми с того места, где они наблюдались бы, если бы Солнца не было. И это явление и впрямь наблюдалось.

И наконец, сопоставим тяготение с другими теориями. В последние годы выяснилось, что любая масса обязана своим происхождением мельчайшим частицам и что существует несколько видов взаимодействия, например ядерные силы и т. п. Ни одна из этих ядерных или электрических сил пока тяготения не объясняет. Квантовомеханические стороны природы мы еще пока не распространили на тяготение. Когда на малых расстояниях начинаются квантовые эффекты, то тяготение оказывается еще настолько слабым, что нужды в квантовой теории тяготения не возникает. С другой стороны, для последовательности наших физических теорий было бы важно понять, должен ли закон Ньютона с внесенным Эйнштейном видоизменением быть изменен и дальше с тем, чтобы согласовываться с принципом неопределенности. Это последнее видоизменение пока не сделано.

* В нашем курсе нет этого доказательства.

* Иначе говоря, на сколько окружность (орбита Луны) отходит от касательной к ней на протяжении пути, проходимого Луной за 1 сек.

* Отрезок, соединяющий Солнце с точкой орбиты.

Глава 8 ДВИЖЕНИЕ

§ 1. Описание движения

Чтобы найти законы, управляющие различными изменениями, происходящими с течением времени, нужно сначала описать эти изменения и придумать какой–то способ их записи. Начнем с самого простого изменения, которое происходит с телом, – с изменения его положения в пространстве, т. е. то, что мы называем движением. Рассмотрим движущийся предмет, на который нанесена маленькая отметка; ее мы будем называть точкой. Неважно, будет ли это кончик радиатора автомобиля или центр падающего шара. Мы будем пытаться описать тот факт, что она движется и как это происходит.

На первый взгляд это кажется совсем просто, однако в описании изменения есть много хитростей. Некоторые изменения описать труднее, нежели движение точки на твердом предмете. Например, как описать движение облака, которое не только медленно перемещается, но вдобавок еще изменяет свои очертания или испаряется? Или как описать капризы женского ума? Впрочем, поскольку изменения облака хотя бы в принципе можно описать с помощью движения всех отдельных молекул его составляющих, то вполне возможно, что и изменения мыслей обусловлены тоже какими–то перемещениями атомов в мозгу, хотя мы еще не знаем простого способа их описания.

По этой причине мы начнем с движения точек. Пожалуй, еще можно считать эти точки атомами, но сначала, вероятно, лучше не гнаться за точностью, а просто представлять себе точку как какой–то маленький объект, маленький по сравнению с тем расстоянием, которое он проходит. Например, если говорят об автомобиле, прошедшем 100 км, то какая разница, имеется ли в виду его мотор или багажник. Конечно, небольшая разница есть, но обычно мы просто говорим «автомобиль», и то, что он не является абсолютной точкой, не имеет значения. Для наших целей не нужна абсолютная точность. Ради простоты забудем на время также и о том, что наш мир трехмерный, а сконцентрируем все свое внимание на движении в одном направлении (автомобиль движется по прямой дороге). Мы еще вернемся к понятию трех измерений, когда поймем, как описывается движение в одном измерении. Вы, вероятно, скажете, что это тривиально. Действительно, это так. Как описать движение в одном измерении, скажем движение автомобиля. Это проще простого. Приведу один из многих возможных способов. Чтобы определить положение автомобиля в различные моменты времени, мы измеряем расстояние его от начальной точки и записываем наши наблюдения. В табл. 8.1 буква s означает расстояние автомобиля от начальной точки в метрах, a t – время в минутах. Первая строка – нулевое расстояние и нулевой момент времени. Автомобиль еще не начал двигаться.

Таблица 8.1 расписание движения автомобиля

Через минуту после начала движения он проходит уже 380 м. Через две минуты он продолжает двигаться. Заметьте, что за вторую минуту он прошел большее расстояние, чем за первую, – автомобиль ускоряет свое движение, но между третьей и четвертой минутами что–то произошло, более того, на пятой минуте он остановился. По–видимому, у светофора, потому что дальше он опять набирает скорость и к концу шестой минуты проходит 4050 м, к концу седьмой – 5550, а к концу восьмой – 7050. Но в течение девятой минуты опять происшествие – автомобиль прошел всего лишь 450 м и остановился. Водитель нарушил правила движения и был остановлен полицейским.

Это один способ описать движение. Есть и другой способ – графический. Если по горизонтали откладывать время, а по вертикали – расстояние, то получим кривую, подобную изображенной на фиг. 8.1.

Фиг. 8.1. График зависимости расстояния, пройденного машиной, от времени.

Из рисунка видно, что с увеличением времени расстояние тоже увеличивается, сначала очень медленно, а затем все быстрее и быстрее. В районе четырех минут происходит замедление, а затем расстояние опять увеличивается в течение нескольких минут, и, наконец, на девятой минуте машина останавливается. Все эти сведения можно получить прямо из графика, не используя таблицы. Конечно, для построения нашего графика необходимо знать, где находится автомобиль не только каждую минуту, но и каждые полминуты, а может быть, и еще точнее. Кроме того, мы предполагаем, что машина где–то находится в любой момент времени.

Так что движение автомобиля выглядит все же сложно. Давайте рассмотрим что–нибудь попроще, с более простым законом движения: например, падающий шар. В табл. 8.2 даны значения времени в секундах и расстояния в метрах.

Таблица 8.2 расписание движения падающего шара

За нулевой момент выберем момент начала падения. Через 1 сек после начала падения шарик пролетает 5м, через 2 сек – 20 м, через 3 сек – 45м. Если отложить эти числа на графике, то получим параболическую кривую зависимости расстояния от времени для падающего тела (фиг. 8.2), которая описывается формулой

s=5t2. (8.1)

Фиг. 8.2. График зависимости расстояния, пройденного падающим шаром, от времени.

Эта формула позволяет вычислить расстояние для любого момента времени. Вы скажете, что для первого графика (см.фиг. 8.1) тоже должна быть какая–то формула. Действительно это так. Ее можно записать в таком абстрактном виде:

s=f(t) (8.2)

Это означает, что s – величина, зависящая от t, или, как говорят математики, s есть функция t. Однако мы не знаем, что это за функция, точнее, мы не можем записать ее через какие–то известные нам функции.

На этих двух примерах видно, что любое движение можно описать в общей и простой форме. Казалось бы, нет ничего хитрого! Однако хитрости все же есть, и не одна! Во–первых, что мы понимаем под пространством и временем? Это, оказывается, очень глубокие философские вопросы, которые нужно внимательно проанализировать, что не так–то легко. Теория относительности показывает, что понятия пространства и времени не так просты, как это кажется на первый взгляд. Впрочем, сейчас для начала нам не нужна такая скрупулезность в определении этих понятий. Возможно, вы скажете: «Странно, мне всегда говорили, что в науке все должно определяться точно». Это не так. Мы не можем определить точно все без исключения! Если бы мы пытались это сделать, то получилось бы нечто похожее на спор двух «философов», где один говорит: «Вы сами не знаете, о чем говорите»; а второй отвечает: «А что такое «знать»? Что такое «говорить»? Что такое «вы», наконец?» Ну и так до бесконечности. Так что для пользы дела лучше сначала условиться, что мы будем говорить хотя бы приблизительно об одних и тех же вещах. Сейчас вы достаточно много знаете о времени, но помните, что здесь есть некоторые тонкости, которые мы еще обсудим в дальнейшем.

Другая хитрость (мы уже упоминали о ней) – это правильно ли думать, что наблюдаемая нами движущаяся точка всегда находится в каком–то определенном месте (т. е. где–то локализована). Разумеется, когда мы смотрим на нее, она находится в определенном месте; но можно ли это утверждать в те моменты, когда мы отвернулись. И вот оказывается, что при изучении движения атомов так думать нельзя. Невозможно посадить метку на атом и наблюдать за его движением. С этой тонкостью мы вплотную столкнемся в квантовой механике. Но сначала давайте рассмотрим те проблемы, которые возникают до введения этих усложнений, а уж после этого учтем те поправки, на которые нас вынуждают новейшие сведения о природе вещей. Итак, примем наиболее простую точку зрения о пространстве и времени. Мы приблизительно понимаем, что означают эти понятия, а тот, кому доводилось управлять автомобилем, знает и что такое скорость.

§ 2. Скорость

Хотя мы примерно представляем себе, что такое «скорость», однако здесь есть одна очень важная тонкость. Заметьте, что древние греки так и не смогли до конца разобраться в проблеме скорости. Тонкость, о которой идет речь, дает себя знать, когда пытаешься точно определить, что же подразумевается под понятием «скорость». Этот вопрос был камнем преткновения для древних греков, и потребовалось открытие новой области математики, помимо геометрии и алгебры, которые были известны и грекам, и арабам, и вавилонянам. Попробуйте–ка с помощью одной лишь алгебры решить следующую задачу. Воздушный шар надувается таким образом, что его объем увеличивается со скоростью 100 см³/сек. С какой скоростью увеличивается его радиус, когда объем шара достигает 1000 см³? Задачи такого рода были неразрешимы для древних греков. Кроме того, их сбивали с толку многочисленные «парадоксы». Вот один из них, придуманный Зеноном, который хорошо показывает, насколько была сложна в то время проблема скорости движения. «Предположим, – говорит он, – что Ахиллес бегает в десять раз быстрее черепахи. Но тем не менее он никогда не перегонит ее. Действительно, пусть в начале состязания черепаха находилась в 100 метрах впереди Ахиллеса. Тогда ко времени, когда Ахиллес пробежит эти 100 метров, черепаха окажется в 10 метрах впереди него. Пробежав и эти 10 метров, Ахиллес увидит черепаху в 1 метре впереди себя. За то время, пока он пробежит этот метр черепаха пройдет 10 сантиметров и так далее … до бесконечности. Следовательно, в любой момент черепаха будет впереди Ахиллеса, и он никогда не сможет перегнать ее». В чем здесь ошибка? Конечный интервал времени можно разделить на бесконечное число частей точно так же, как и конечный отрезок длины, если последовательно делить его пополам. Но бесконечное число этапов до того места, где Ахиллес поравняется с черепахой, вовсе не означает бесконечное количество времени. Этот пример хорошо показывает, с какими трудностями приходилось сталкиваться в проблеме определения скорости.

Чтобы еще яснее представить себе эти трудности, вспомним старую шутку, которую вы наверняка слышали. Вы помните, что автомобиль, о котором мы говорили в начале этой лекции, был остановлен полицейским. Он подходит к машине и говорит: «Мадам (ибо за рулем была женщина), Вы нарушили правила уличного движения. Вы ехали со скоростью 90 километров в час». Женщина отвечает: «Простите, это невозможно. Как я могла делать 90 километров в час, если я еду всего лишь 7 минут!» Как бы вы ответили на месте полицейского? Конечно, если вы действительно настоящий полицейский, то такими хитростями вас не запутаешь. Вы бы твердо сказали: «Мадам, оправдываться будете перед судьей!» Но предположим, что у вас нет такого выхода. Вы хотите честно доказать нарушительнице ее вину и пытаетесь объяснить ей, что означает скорость 90 км/час. Как это сделать? Вы скажете: «Я имел в виду, мадам, что если бы вы продолжали ехать таким те образом, то через час Вы бы проехали 90 километров». «Да, но я ведь затормозила и остановила машину, – может ответить она, – так что теперь–то я уж никак не могла бы проехать 90 километров в час».

Аналогичная проблема возникает и в случае падающего шарика. Предположим, что мы хотим определить его скорость через 3 сек, если бы он двигался таким же образом. Но что означает «двигался таким же образом»? Сохранял бы ускорение, двигался быстрее, что ли? Конечно, нет! Сохранял бы ту же самую скорость. Но ведь это как раз то, что мы пытаемся определить! Если бы шарик продолжал двигаться «таким же образом», то он падал бы так же, как падает. Так что нужно придумать что–то лучшее для определения скорости. Что же все–таки должно сохраняться? Нарушительница могла бы вам еще ответить и так: «Если бы я продолжала ехать, как ехала, еще час, то налетела бы на стену в конце улицы!» В общем, как видите, полицейский оказался бы в очень трудном положении, пытаясь объяснить, что он имел в виду.

Многие физики думают, что единственным определением любого понятия является способ его измерения. Но тогда при объяснении вы должны прибегнуть к прибору, измеряющему скорость. «Смотрите, – скажете вы в этом случае, – ваш спидометр показывает 60». «Мой спидометр сломан и давно не работает», – ответит она. Но достаточно ли этого, чтобы поверить, что машина не двигалась? Мы полагаем, что как–то нужно было бы определять скорость и без помощи спидометра. Только при этих условиях можно сказать, что спидометр не работает, что он сломан. Это было бы абсурдным, если бы скорость не имела смысла без спидометра. Очевидно, что понятие «скорость» не зависит от спидометра. Спидометр нужен только для того, чтобы измерять ее. Давайте посмотрим, нельзя ли придумать лучшее определение понятия «скорость». Вы скажете: «Разумеется, мадам, если бы вы ехали таким же образом в течение часа, то налетели бы на стену, но за 1 секунду вы бы проехали 25 метров, так что вы делали 25 метров в секунду, и если бы продолжали ехать таким же образом, то в следующую секунду опять проехали бы 25 метров, а стена стоит гораздо дальше». «Но правила запрещают делать 90 километров в час, а не 25 метров в секунду». «Да ведь это то же самое, что и 90 километров в час», – ответите вы. А если это то же самое, то к чему тогда все длинные разговоры о 25 м/сек? В действительности же падающий шар не может двигаться одинаковым образом даже 1 сек, так как он постоянно ускоряется, и, следовательно, нужно определить скорость как–то точнее.

Но теперь мы, кажется, находимся на правильном пути, который приводит нас вот к чему. Если бы машина продолжала двигаться таким же образом следующую тысячную долю часа, то она прошла бы тысячную долю 90 км. Другими словами, нет никакой необходимости ехать целый час с той же быстротой, достаточно какого–то момента. Это означает, что за какой–то момент времени машина проходит такое же расстояние, как я идущая с постоянной скоростью 90 км/час. Наши рассуждении о 25 м/сек, возможно, и правильные; мы отмечаем, сколько машина прошла в следующую секунду, и если получается расстояние 25 м, то это означает, что скорость достигает 90 км/час.

Другими словами, можно определить скорость следующим образом. Определяем расстояние, которое было пройдено за очень малый отрезок времени, и, разделив его на этот отрезок времени, получаем скорость. Однако этот отрезок должен быть как можно меньше, и чем меньше, тем лучше, потому что в этот период могут произойти снова изменения. Смешно, например, для падающего тела в качестве такого отрезка принять час. Принять в качестве отрезка секунду, может быть, удобно для автомобиля, так как за секунду его скорость изменяется не слишком сильно, но этот отрезок велик для падающего тела. Таким образом, чтобы вычислить скорость более точно, нужно брать все меньшие и меньшие интервалы времени. Если на миллионную долю секунды мы разделим расстояние, которое было пройдено в течение этого времени, то получим расстояние в секунду, т.е. как раз то, что мы понимаем под скоростью. Именно это нужно было сказать нашей нарушительнице, т. е. дать то определение; скорости, которое мы и будем использовать.

Такое определение содержит некую новую идею, которая была недоступна грекам в ее общей форме.

Она заключается в том, чтобы малые расстояния разделить на соответствующие малые отрезки времени и посмотреть, что произойдет с частным, если отрезок времени брать все меньше и меньше (иными словами, брать предел отношения пройденного расстояния к интервалу времени при неограниченном уменьшении последнего). Впервые эта идея была высказана независимо Ньютоном и Лейбницем и явилась основой новой области математики – дифференциального исчисления. Оно возникло в связи с описанием движения, и первым его приложением был ответ на вопрос: «Что означает 90 км/час?»

Попытаемся теперь точнее определить скорость. Пусть за некоторое малое время ? машина или какое–то другое тело прошли малое расстояние х; тогда скорость v определяется как

v=x/?,

причем точность будет тем больше, чем меньше ?. Математики записывают это следующим образом:

(8.3)

т. е. скорость есть предел отношения x/? при ?, стремящемся к нулю. Для нашей машины–нарушительницы невозможно точно вычислить скорость, так как таблица неполная. Ее положение известно нам только через интервалы 1 мин. Приближенно, конечно, можно сказать, что в течение седьмой минуты, например, она шла со средней скоростью 90 км/час, однако о ее скорости в конце шестой минуты ничего сказать невозможно. Может быть, она ускорялась и скорость с 40 км/час в начале шестой минуты возросла до 90 км/час в конце ее, а может быть, она двигалась иначе. Мы не знаем этого точно, так как у нас нет детальной записи ее движения между шестой и седьмой минутами. Только когда таблица будет пополнена бесконечным числом данных, из нее можно будет действительно вычислить скорость. Если, однако, нам известна полная математическая формула, как, например, в случае падающего тела [уравнение (8.1)], то можно подсчитать скорость. Ведь по формуле можно найти положение тела в любой момент времени.

В качестве примера давайте найдем скорость падающего шара через 5 сек после начала падения. Один способ – это посмотреть по табл. 8.2, что происходило с шариком на пятой секунде. В течение этой секунды он прошел 45 м, так что, казалось бы, он падал со скоростью 45 м/сек. Однако это неверно, поскольку скорость его все время изменялась. Конечно, в среднем в течение этой секунды она составляла 45 м/сек, но в действительности шар ускорялся и в конце пятой секунды падал быстрее 45 м/сек. Наша задача состоит в том, чтобы определить скорость точно. Сделаем это следующим образом. Нам известно, где шарик находился через 5 сек. За 5 сек он прошел расстояние 125 м. К моменту 5,1 сек общее расстояние, которое прошел шарик, составит, согласно уравнению (8.1), 130,05 м. Таким образом, за дополнительную десятую долю секунды он проходит 5,05 м. А поскольку 5,05м за 0,1 сек то же самое, что и 50,5 м/сек, то это и будет его скорость. Однако это все еще не совсем точно. Для нас совершенно неважно, будет ли это скорость в момент 5 сек, или в момент 5,1 сек, или где–то посредине. Наша задача вычислить скорость точно через 5 сек, а этого мы пока не сделали. Придется улучшить точность и взять теперь на тысячную долю больше 5 сек, т. е. момент 5,001 сек, Полное расстояние, пройденное за это время, составляет

s=5?5,0012=5?25,010001=125,050005 м.

Следовательно, в последнюю тысячную долю секунды шарик проходит 0,050005 м, и если разделить это число на 0,001 сек, то получим скорость 50,005 м/сек. Это уже очень близко, но все же еще не точно. Однако теперь уже ясно, как поступить, чтобы найти скорость точно. Удобнее решать эту задачу в несколько более общем виде. Пусть требуется найти скорость в некоторый момент времени t0 (например, 5 сек). Расстояние, которое пройдено к моменту t0 (назовем его s0), будет 5t02 (в нашем случае 125 м). Чтобы определить расстояние, мы задавали вопрос: где окажется тело спустя время t+ (небольшой добавок), или t0+?? Новое положение тела будет 5(t0+?)2=5t02+10t0?+5?2. (Это расстояние больше того расстояния, которое шарик прошел за t0 сек, т. в. больше 5t02). Назовем это расстояние s0+ (небольшой добавок), или s0+x. Если теперь вычесть из него расстояние, пройденное к моменту t0, то получим х – то дополнительное расстояние, которое шарик прошел за добавочное время ?, т. е. x=t0?+5?2. Так что в первом приближении скорость будет равна

v=x/?=10t0+5?. (8.4)

Теперь мы уже знаем, что нужно делать, чтобы получить скорость точно в момент t0: нужно брать отрезок ? все меньше и меньше, т. е. устремлять его к нулю. Таким путем из уравнения (8.4) получим

v (в момент t0) = 10t0,

В нашей задаче t0=5 сек, следовательно, скорость равна v=10?5=50 м/сек. Это и есть нужный ответ. Раньше, когда ? бралось равным 0,1 и 0,001 сек, получалась несколько большая величина, чем 50 м/сек, но теперь мы видим, что в действительности она в точности равна 50 м/сек.

§ 3. Скорость как производная

Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин ? и x: было придумано специальное обозначение: ? обозначается как ?t, а х – как ?s. Величина ?t означает «небольшой добавок к t», причем подразумевается, что этот добавок можно делать меньше. Значок ? ни в коем случае не означает умножение на какую–то величину, точно так же как sin? не означает sin?. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок ? напоминает нам о его особом характере. Ну, а если ? не множитель, то его нельзя сократить в отношении ?s/?t. Это все равно, что в выражении sin?/sin2? сократить все буквы и получить 12. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения ?s/?t при ?t, стремящемся к нулю, т. е.

(8.5)

Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно величины изменяются.

Существует еще один закон, который выполняется с хорошей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скорости, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. ?s=v?t. Это правило строго справедливо только тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала ?t, а это, вообще говоря, происходит, только когда ?t достаточно мало. В таких случаях обычно пишут ds=vdt, где под dt подразумевают интервал времени ?t при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал ?t достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение ?s = v?t будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt, то при этом подразумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds=vdt точное. В новых обозначениях выражение (8.5) имеет вид

Величина ds/dt называется «производной s no t» (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный процесс нахождения производной называется, кроме того, дифференцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds/dt, то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5t2, или просто производную от 5t2. Она оказалась равной 10t. Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте найдем производную более сложной функции. Рассмотрим выражение s=At3+Bt+C, которое может описывать движение точки. Буквы А, В, С, так же как и в обычном квадратном уравнении, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t. Рассмотрим для этого момент t+?t, причем к s прибавится некоторая добавка ?s, и найдем, как выражается ?s через ?t. Поскольку

s+?s=A(t+?t)2+Bt+?t+C=At3+Bt+C+3At2?t+B?t+3At+3At(?t)2+A(?t)3

а

s=At3+Bt+C,

то ?s=3At2?t+B?t+3At+3At(?t)2+A(?t)3.

Но нам нужна не сама величина ?s, а отношение ?s/?t. После деления на ?t получим выражение

?s/?t=3At2+B+3At?t+A(?t)2, которое после устремления ?t к нулю превратится в

?s/?t=3At2+B.

В этом состоит процесс взятия производной, или дифференцирования функций. На самом деле он несколько легче, чем это кажется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, подобных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (?t)2 или (?t)3 или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем ?t устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8,3.

Таблица 8.3 некоторые производные

s, u, v, w – произвольные функции;

а, b, с, n – произвольные постоянные.

§ 4. Расстояние как интеграл

Обсудим теперь обратную проблему. Пусть вместо таблицы расстояний нам дана таблица скоростей в различные моменты времени, начиная с нуля. В табл. 8.4 представлена зависимость скорости падающего шара от времени. Аналогичную таблицу можно составить и для машины, если записывать показания спидометра через каждую минуту или полминуты. Но можно ли, зная скорость машины в любой момент времени, вычислить расстояние, которое ею было пройдено?

Таблица 8.4 скорость падающего шара

Эта задача обратна той, которую мы только что рассмотрели. Как же решить ее, если скорость машины непостоянна, если она то ускоряется до 90 км/час, то замедляется, затем где–то останавливается у светофора и т.д.? Сделать это нетрудно. Нужно использовать ту же идею и выражать полное расстояние через бесконечно малые его части. Пусть в первую секунду скорость будет v₁ , тогда по формуле ?s= v₁?t можно вычислить расстояние, пройденное за эту секунду. В следующую секунду скорость будет несколько другой, хотя, может быть, и близкой к первоначальной, а расстояние, пройденное машиной за вторую секунду, будет равно новой скорости, умноженной на интервал времени (1 сек). Этот процесс можно продолжить дальше, до самого конца пути. В результате мы получим много маленьких отрезков, которые в сумме дадут весь путь. Таким образом, путь является суммой скоростей, умноженных на отдельные интервалы времени, или s = ?v?t, где греческая буква ? (сигма) означает суммирование. Точнее, это будет сумма скоростей в некоторые моменты времени, скажем t_i, умноженные на ?t:

(8.6)

причем каждый последующий момент t_i+1 находится по правилу t_i+1=t_i+?t. Но расстояние, полученное этим методом, не будет точным, поскольку скорость за время ?t все же изменяется. Выход из этого положения заключается в том, чтобы брать все меньшие и меньшие интервалы ?t, т. е. разбивать время движения на все большее число все меньших отрезков. В конце концов мы придем к следующему, теперь уже точному выражению для пройденного пути:

(8.7)

Математики придумали для этого предела, как и для дифференциала, специальный символ. Значок ? превращается в d, напоминая о том, что интервал времени сколь угодно мал, а знак суммирования превращается в ? – искаженное большое S, первая буква латинского слова «Summa». Этот значок назван интегралом. Таким образом, мы пишем

s=?v(t)dt, (8.8)

где v(t) – скорость в момент t. Сама же операция суммирования этих членов называется интегрированием. Она противоположна операции дифференцирования в том смысле, что производная этого интеграла равна v(t), так что один оператор (d/dt) «уничтожает» другой (?). Это дает возможность получать формулы для интегралов путем обращения формул для дифференциалов: интеграл от функции, стоящей в правой колонке табл.8.3, будет равен функции, стоящей в левой колонке. Дифференцируя все виды функций, вы сами можете составить таблицу интегралов.

Любая функция, заданная в аналитическом виде, т. е. выражающаяся через комбинацию известных нам функций, дифференцируется очень просто – вся операция выполняется чисто алгебраически, и в результате мы всегда получаем какую–то известную функцию. Однако интеграл не от всякой функции можно записать в аналитическом виде. Разумеется, для каждого частного интеграла всегда сначала пытаются найти такую функцию, которая, будучи продифференцирована, давала бы функцию, стоящую после знака интеграла (она называется подынтегральной). Однако это не всегда удается сделать. В таких случаях интеграл вычисляют просто суммированием, т. е. вычисляют суммы типа (8.6) со все меньшими и меньшими интервалами, пока не получат результат с достаточной точностью.

§ 5. Ускорение

Следующий шаг на пути к уравнениям движения – это введение величины, которая связана с изменением скорости движения. Естественно спросить: а как изменяется скорость движения? В предыдущих главах мы рассматривали случай, когда действующая сила приводила к изменению скорости. Бывают легковые машины, которые набирают с места за 10 сек скорость 90 км/час. Зная это, мы можем определить, как изменяется скорость, но только в среднем. Займемся следующим более сложным вопросом: как узнать быстроту изменения скорости. Другими словами, на сколько метров в секунду изменяется скорость за 1 сек. Мы уже установили, что скорость падающего тела изменяется со временем по формуле v=9,8t (см. табл. 8.4), а теперь хотим выяснить, насколько она изменяется за 1 сек. Эта величина называется ускорением.

Таким образом, ускорение определяется как быстрота изменения скорости. Всем сказанным ранее мы уже достаточно подготовлены к тому, чтобы сразу записать ускорение в виде производной от скорости, точно так же как скорость записывается в виде производной от расстояния. Если теперь продифференцировать формулу v=9,8 t, то получим ускорение падающего тела

a=dv/dt=9,8. (8.9)

(При дифференцировании этого выражения использовался результат, полученный нами раньше. Мы видели, что производная от Bt равна просто В (постоянной). Если же выбрать эту постоянную равной 9,8, то сразу находим, что производная от 9,8 t равна 9,8.) Это означает, что скорость падающего тела постоянно возрастает на 9,8 м/сек за каждую секунду. Этот же результат можно получить и из табл. 8.4. Как видите, в случае падающего тела все получается довольно просто, но ускорение, вообще говоря, непостоянно. Оно получилось постоянным только потому, что постоянна сила, действующая на падающее тело, а по закону Ньютона ускорение должно быть пропорционально силе.

В качестве следующего примера найдем ускорение в той задаче, с которой мы уже имели дело при изучении скорости:

s=At³+Bt+C.

Для скорости v–ds/dt мы получили формулу

v=3At²+B.

Так как ускорение – это производная скорости по времени, то для того, чтобы найти его значение, нужно продифференцировать эту формулу. Вспомним теперь одно из правил табл. 8.3, а именно что производная суммы равна сумме производных. Чтобы продифференцировать первый из этих членов, мы не будем проделывать всю длинную процедуру, которую делали раньше, а просто напомним, что такой квадратичный член встречался нам при дифференцировании функции 5t², причем в результате коэффициент удваивался, a t² превращалось в t. Вы можете сами убедиться в том, что то же самое произойдет и сейчас. Таким образом, производная от ЗAt² будет равна 6Аt. Перейдем теперь к дифференцированию второго слагаемого. По одному из правил табл. 8.3 производная от постоянной будет нулем, следовательно, этот член не даст в ускорение никакого вклада. Окончательный результат: a=dv/dt=6At.

Выведем еще две полезные формулы, которые получаются интегрированием. Если тело из состояния покоя движется с постоянным ускорением g, то его скорость v в любой момент времени t будет равна

v=gt,

а расстояние, пройденное им к этому моменту времени,

s=¹/₂gt².

Заметим еще, что поскольку скорость – это ds/dt, а ускорение – производная скорости по времени, то можно написать

Так что теперь мы знаем, как записывается вторая производная.

Существует, конечно, и обратная связь между ускорением и расстоянием, которая просто следует из того, что a=dv/dt. Поскольку расстояние является интегралом от скорости, то оно может быть найдено двойным интегрированием ускорения.

Все предыдущее рассмотрение было посвящено движению в одном измерении, а теперь мы коротко остановимся на движении в пространстве трех измерений. Рассмотрим движение частицы Р в трехмерном пространстве. Эта глава началась с обсуждения одномерного движения легковой машины, а именно с вопроса, на каком расстоянии от начала движения находится машина в различные моменты времени. Затем мы обсуждали связь между скоростью и изменением расстояния со временем и связь между ускорением и изменением скорости. Давайте в той же последовательности разберем движение в трех измерениях. Проще, однако, начать с более наглядного двумерного случая, а уж потом обобщить его на случай трех измерений. Нарисуем две пересекающиеся под прямым углом линии (оси координат) и будем задавать положение частицы в любой момент времени расстояниями от нее до каждой из осей. Таким образом, положение частицы задается двумя числами (координатами) х и у, каждое из которых является соответственно расстоянием до оси у и до оси х (фиг. 8.3). Теперь мы можем описать движение, составляя, например, таблицу, в которой эти две координаты заданы как функции времени. (Обобщение на трехмерный случай требует введения еще одной оси, перпендикулярной двум первым, и измерения еще одной координаты г. Однако теперь расстояния берутся не до осей, а до координатных плоскостей.) Как определить скорость частицы? Для этого мы сначала найдем составляющие скорости по каждому направлению, или ее компоненты. Горизонтальная составляющая скорости, или x–компонента, будет равна производной по времени от координаты х, т. е.

v_x=dx/dt (8.11)

а вертикальная составляющая, или y–компонента, равна

v_y=dy/dt (8.12)

В случае трех измерений необходимо еще добавить

v_z=dz/dt. (8.13)

Как, зная компоненты скорости, определить полную скорость в направлении движения? Рассмотрим в двумерном случае два последовательных положения частицы, разделенных коротким интервалом времени ?t = t₂–t₁ и расстоянием ?s. Из фиг. 8.3 видно, что

(Значок ? соответствует выражению «приблизительно равно».)

Фиг. 8.3. Описание движения тела на плоскости и вычисление его скорости.

Средняя скорость в течение интервала ?t получается простым делением: ?s/?t. Чтобы найти точную скорость в момент t, нужно, как это уже делалось в начале главы, устремить ?t к нулю. В результате оказывается, что

В трехмерном случае точно таким же способом можно получить

Ускорения мы определяем таким же образом, как и скорости: x–компонента ускорения а_х определяется как производная от x–компоненты скорости v_x (т. е. a_x=d²x/dt² – вторая производная по времени) и т. д.

Давайте рассмотрим еще один интересный пример смешанного движения на плоскости. Пусть шарик движется в горизонтальном направлении с постоянной скоростью u и в то же время падает вертикально вниз с постоянным ускорением g. Что это за движение? Так как v_x=dxldt=u и, следовательно, скорость v_x постоянна, то

x=ut, (8.17)

а поскольку ускорение движения вниз постоянно и равно–g, то координата у падающего шара дается формулой

y= -¹/₂gt². (8.18)

Какую же кривую описывает наш шарик, т. е. какая связь между координатами x и y? Из уравнения (8.18), согласно (8.17), можно исключить время, поскольку t=x/u, после чего находим

y=-(g/2u²)x² (8.19)

Эту связь между координатами х и у можно рассматривать как уравнение траектории движения шарика. Если изобразить ее графически, то получим кривую, которая называется параболой (фиг. 8.4).

Фиг. 8.4. Парабола, которую описывает падающее тело, брошенное с горизонтальной начальной скоростью.

Так что любое свободно падающее тело, будучи брошенным в некотором направлении, движется по параболе.

Глава 9 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ НЬЮТОНА

§ 1. Импульс и сила

Открытие законов динамики или законов движения стало одним из наиболее драматических моментов в истории науки. До Ньютона движение различных тел, например планет, представлялось загадкой для ученых, но после открытия Ньютона все вдруг сразу стало понятно. Смогли быть вычислены даже очень слабые отклонения от законов Кеплера, обусловленные влиянием других планет. Движение маятника, колебания груза, подвешенного на пружине, и другие непонятные до того явления раскрыли свои загадки благодаря законам Ньютона. То же самое можно сказать и об этой главе. До нее вы не могли рассчитать, как движется грузик, прикрепленный к пружине, не говоря уже о том, чтобы определить влияние Юпитера и Сатурна на движение Урана. Но после этой главы вам будет доступно и то и другое!

Первый большой шаг в понимании движения был сделан Галилеем, когда он открыл свой принцип инерции: тело, предоставленное самому себе, если на него не действует никакая сила, сохраняет свое прямолинейное движение с постоянной скоростью, как двигалось до этого, или остается в покое, если оно до этого покоилось. Конечно, в природе такого не бывает. Попробуйте толкнуть кубик, стоящий на столе. Он остановится. Причина в том, что кубик трется о стол, он не предоставлен самому себе. Нужно иметь очень богатое воображение, чтобы увидеть за этим принцип инерции.

Естественно нужно еще разрешить следующий вопрос: а как изменяется скорость тела, если на него что–то действует? Ответ был дан Ньютоном. Он сформулировал три закона. Первый закон представляет собой просто повторение принципа инерции Галилея. Второй закон говорит о том, как изменяется скорость тела, когда оно испытывает различные влияния, т. е. когда на него действуют силы. Третий закон в каком–то смысле описывает силы, но о нем мы поговорим несколько позже. Здесь будет идти речь о Втором законе, согласно которому под действием силы движение тел изменяется следующим образом: скорость изменения со временем некой величины, называемой количеством движения, или импульсом, пропорциональна силе. Позднее мы запишем короткую математическую формулировку этого закона, а сейчас давайте разберемся в его содержании.

Импульс и скорость – вещи разные. В физике употребляется много слов, и каждое из них в отличие от обычного разговорного языка имеет точный смысл. Примером может служить слово «импульс», и мы должны определить его точно. Толкните слегка рукой какой–нибудь легкий предмет – он тотчас начнет двигаться. Если с такой же силой толкнуть гораздо более тяжелый предмет, то он будет двигаться значительно медленней. В сущности нужно говорить не о «легком» или «тяжелом» предмете, а о менее массивном или более массивном, так как между весом и инерцией предмета есть разница, которую нужно понимать. (Сколько весит тело – это одно, а насколько трудно разогнать его – совсем другое.) Однако на поверхности Земли вес и инерция пропорциональны друг другу и зачастую рассматриваются как численно равные. Это часто приводит к непониманию разницы между ними. На Марсе, например, вес предметов будет отличаться от веса на Земле, но инертность останется той же самой, т. е. потребуется то же количество силы, чтобы преодолеть инерцию тела.

Количественной мерой инертности является масса. Ее можно измерять так: просто привязать предмет на веревочке, крутить его с определенной скоростью и измерять ту силу, которая необходима, чтобы удержать его. Этим способом можно измерять массу любых предметов. Импульс – это просто произведение массы тела на его скорость. Теперь можно записать Второй закон Ньютона в математической форме:

F =(d/dt)(mv). (9.1)

Давайте разберем подробнее некоторые его стороны. При написании закона, подобного этому, обычно используется много интуитивных идей; что–то подразумевается, что–то предполагается и комбинируется в приближенный «закон». Но после этого необходимо снова вернуться назад и подробно изучить, что означает каждый член. Если же пытаться сделать это с самого начала, то можно безнадежно запутаться. Так что мы считаем некоторые положения само собой разумеющимися и но требующими никакого доказательства. Во–первых, мы считаем, что массы тел постоянны. Это, вообще говоря, неправильно, но мы начнем с ньютоновского приближения, когда масса считается постоянной и не изменяющейся с течением времени. Во–вторых, если сложить вместе два предмета, то масса образовавшегося тела равна сумме их масс. Это положение неявно предполагалось Ньютоном, когда он писал свои уравнения, в противном случае они были бы бессмысленны. Пусть, например, масса изменяется обратно пропорционально скорости, но тогда импульс никогда бы не изменялся и закон потерял бы всякое содержание, за исключением только того, что вы знаете, как изменяется масса со скоростью. Так что сначала мы считаем массу неизменной.

Несколько слов о силе. В качестве первого грубого приближения мы рассматривали силу как некий толчок или тягу, которая может быть произведена с помощью наших мышц, но теперь, пользуясь уравнением движения, мы можем определить ее более точно. Очень важно помнить, что закон Ньютона включает не только изменение величины импульса, но и изменение его направления. Итак, если масса постоянна, то уравнение (9.1) можно записать в виде

F =m(dv/dt)=ma, (9.2)

где а – ускорение, т. е. «скорость изменения скорости». Второй закон Ньютона означает не только то, что изменения, вызванные данной силой, обратно пропорциональны массе, но и то, что направление изменения скорости совпадает с направлением действия силы. Важно понимать, что термин «ускорение» имеет в физике более широкий смысл, чем в обычной разговорной речи. Он означает не только увеличение скорости, но и замедление ( в этом случае мы говорим, что ускорение отрицательно), и перемену направления движения. В гл. 7 мы уже познакомились с ускорением, направленным под прямым углом к скорости, и мы видели, что предмет, движущийся по окружности радиусом R со скоростью v, за малый интервал времени t уклоняется от своего прямого пути на расстояние ¹/₂(v²/R)t². Так что в этом случае ускорение направлено под прямым углом к направлению движения и равно

a =v²/R. (9.3)

Таким образом, сила, действующая под прямым углом к скорости, вызывает искривление пути, причем радиус кривизны можно найти, деля силу на массу тела (при этом мы получаем ускорение) и используя затем формулу (9.3).

Термин «скорость» тоже имеет в физике более широкий смысл, чем в обыденной жизни. Это не просто некоторое количество метров в секунду, т. е. абсолютная величина скорости, но и направление перемещения в каждый момент времени. Математически мы можем описать и величину, и направление скорости, если будем задавать изменение координат тела с течением времени. Пусть, например, в некоторый момент тело движется так, как это показано на фиг. 9.1.

Фиг. 9.1. Малое перемещение тела.

Тогда за малый промежуток времени ?t оно пройдет некоторое расстояние ?х в направлении оси х, ?y в направлении оси у и ?z в направлении оси z. Результатом же этих изменений координат будет перемещение ?s вдоль диагонали параллелепипеда со сторонами ?x, ?y, ?z, которые следующим образом связаны с составляющими скорости и интервалом:

?x=v_x?t, ?y=v_y?t, ?z=v_z?t. (9.4)

§ 2. Компоненты скорости, ускорения и силы

В уравнении (9.4) мы разложили скорость на составляющие (или компоненты), которые говорят нам, насколько быстро продвигается тело в направлениях х, у и z. Скорость будет полностью определена как в отношении ее направления, так и абсолютной величины, если задать числовые значения трех ее компонент:

При этом абсолютная величина равна

Теперь пусть под действием силы меняется не только величина, но и направление скорости (фиг. 9.2). Хотя это довольно сложный случай, но с помощью подсчета изменения компонент его рассмотрение сильно упрощается. Изменение x–компоненты скорости за интервал ?t будет ?v_x=a_x?t, где а_х то, что называется x–компонентой ускорения. Совершенно аналогично ?v_x =a_у?t и Дv_z=a_t?t. В такой формулировке Второй закон Ньютона фактически превращается в три закона. Действительно, мы говорим, что сила имеет то же направление, что и ускорение, так что каждая из составляющих силы в направлениях х, у и z равна массе, умноженной на изменение соответствующей компоненты скорости:

Подобно скорости и ускорению, сила тоже может быть разложена на компоненты, причем каждая из них является проекцией отрезка прямой, численно равного абсолютной величине силы и указывающего направление ее действия, на оси х, у и z:

где F – абсолютная величина силы, a (xF), (yF) и (zF)– углы между направлением силы и осями х, у и z соответственно.

Уравнения (9.7) представляют собой полную форму Второго закона Ньютона. Зная силы, действующие на тело, и разлагая их на компоненты, можно с помощью этих уравнений найти движение тела. Давайте рассмотрим простой пример. Пусть в направлениях х и у не действуют никакие силы, а есть сила только в направлении z (скажем, вертикально). Тогда, согласно уравнению (9.7), изменяется только одна вертикальная составляющая скорости; что же касается горизонтальных, то они будут оставаться неизменными. Пример такого движения уже рассматривался в гл. 7 (см. фиг. 7.3). Таким образом, горизонтальное движение падающего тела остается неизменным, тогда как в вертикальном направлении оно движется так, как будто никакого горизонтального движения вообще нет. Другими словами, если компоненты сил не связаны друг с другом, то и движения в направлениях осей х, у и z будут независимы.

§ 3. Что такое сила?

Чтобы пользоваться законами Ньютона, мы должны иметь какую–то формулу для сил; ведь эти законы говорят нам: подумайте о силах. Если тело ускоряется, стало быть, на него что–то действует. А как найти это «что–то»? Нашей программой на будущее должно быть отыскание законов для сил. Некоторые из таких законов были найдены самим Ньютоном. Например, формула для силы тяготения. Часть сведений о силах другого рода содержится в Третьем законе, который утверждает равенство сил действия и противодействия, но об этом более подробно пойдет речь в следующей главе.

Продолжим наш предыдущий пример. Что за силы действуют на тело вблизи поверхности Земли? Это – сила тяжести, направленная вертикально вниз, пропорциональная массе тела и для высот, много меньших, чем радиус Земли R, почти не зависящая от высоты; она равна F=GmM/R²=mg, где g=GM/R²– так называемое ускорение силы тяжести. В горизонтальном направлении тело по–прежнему будет двигаться с постоянной скоростью, однако движение в вертикальном направлении более интересно. По Второму закону Ньютона

После сокращения массы m получаем, что ускорение в направлении х постоянно и равно g. Это хорошо известное движение свободно падающего тела, которое описывается уравнениями

Рассмотрим другой пример. Представим, что мы смогли создать устройство (фиг. 9.3), в котором сила прямо пропорциональна отклонению от положения равновесия и направлена противоположно ему, – это пружина с грузиком.

Фиг. 9.3. Грузик на пружинке.

Действительно, поскольку сила тяжести компенсируется начальным натяжением пружины, то имеет смысл говорить только об избыточной силе. Если потянуть грузик вниз, то пружина растянется и потянет его вверх, если же толкать грузик вверх, то пружина сожмется и будет толкать его вниз. При этом все устроено таким образом, что чем больше сила и чем сильнее мы оттягиваем грузик вниз, тем больше растягивается пружина и тем сильнее она тянет его вверх, и наоборот. Наблюдая за работой этого устройства, мы видим довольно интересное движение: вверх – вниз, вверх – вниз… Возникает вопрос, могут ли уравнения Ньютона правильно описать его? Если применить закон Ньютона (9.7) для такого периодического осциллятора, то получим следующее уравнение:

т. е. здесь мы встречаемся с таким положением, когда x–компонента скорости изменяется с быстротой, пропорциональной х. Нет смысла сейчас вводить многочисленные константы; в целях простоты предположим, что либо изменился масштаб времени, либо что–то произошло с другими единицами измерения, словом, они выбраны так, что klm равно единице. Итак, будем пытаться решать уравнение

Чтобы пойти дальше, нужно сначала разобраться в том, что такое v_x; то, что это быстрота изменения положения, нам, разумеется, уже известно.

§ 4. Смысл динамических уравнений

Попытаемся теперь понять, что же означает уравнение (9.12). Пусть в данный момент времени t тело находится в точке х и движется со скоростью v_x. Каково будет его положение и скорость спустя небольшой промежуток времени, т. е. в момент t+?? Если мы сможем ответить на этот вопрос, то проблема решена, так как, исходя из начальных условий, т. е. положения и скорости в некоторый начальный момент времени, можно сказать, как они изменяются в первый момент, а зная положение и скорость в первый момент, можно найти их и в следующий и т. д. Таким образом, шаг за шагом выстраивается вся картина движения. Для большей определенности предположим, что в момент t=0 положение грузика х=1, а его скорость v_x=0. Почему вообще движется грузик? Да потому, что на него в любом положении, за исключением положения равновесия х=0, действует сила. Если х>0, то эта сила направлена вверх. Следовательно, скорость, которая вначале была нулем, благодаря уравнениям движения начинает изменяться. Но как только скорость начинает возрастать, грузик приходит в движение. Для любого момента времени t при очень малом е можно с достаточно хорошей точностью найти положение в момент t+е через скорость и положение в момент t:

x(t+?)=x(t)+ ?v_x(t). (9.13)

Конечно, это выражение тем точнее, чем меньше ?, но оно может быть достаточно точным, даже когда интервал ? не исчезающе мал. Что теперь можно сказать о скорости? Чтобы определить скорость в момент t+?, очевидно, нужно знать, как она изменяется со временем, т. е. нужно знать ускорение. А как узнать его? Вот здесь–то нам на помощь приходят уравнения динамики. Именно они позволяют определить, чему равно ускорение. В нашей задаче уравнение динамики говорит, что ускорение равно–x. Поэтому

v_x(t+?)=v_x(t)+ ?a_x(t), (9.14)

= v_x(t)- ?x(t). (9.15)

Уравнение (9.14) еще кинематическое; оно просто говорит о том, что из–за наличия ускорения скорость изменяется. Однако уравнение (9.15) уже динамическое, потому что оно связывает ускорение с силой. Оно говорит, что в данной частной задаче для данного момента времени ускорение можно заменить на–х(t). Следовательно, если в какой–то момент времени нам известны положение х и скорость v_x, то мы знаем и ускорение, которое дает возможность найти скорость в следующий момент, а скорость в свою очередь определяет новое положение и т. д. Вот каким образом действует весь этот динамический механизм! Действующая сила немного изменяет скорость, а скорость приводит к небольшому изменению положения.

§ 5. Численнов решение уравнений

Давайте теперь действительно решим нашу задачу. Допустим, что мы взяли ?=0,100 сек. (Если после того, как мы проделаем все вычисления, окажется, что этот интервал не достаточно мал, то необходимо повторить все сначала с меньшим интервалом времени, например 0,010 сек.) Чему будет равно х(0,1), если в начальный момент времени х (0) = 1? Оно равно старому положению х(0) плюс скорость в начальный момент (которая равна нулю), умноженная на 0,10 сек. Таким образом, х(0,1) равно 1,00, ибо грузик еще не начал двигаться. Но новая скорость в момент 0,10 сек будет равна старой скорости v (0)=0 плюс ?, умноженное на ускорение. А само ускорение равно–х(0)=-1,00. Так что

v(0,1)=0,00+0,10•1,00=-0,10. В момент 0,20 сек

х(0,2)=х(0,1)+?v(0,1)=1,00–0,10•0,10=0,99

и

v(0,2)=v(0,1)+ ?a(0,1) =-0,10–0,10•1,00 =-0,20.

Продолжая эту процедуру еще и еще, можно найти положение и скорость в любой момент времени, а это как раз то, что нам нужно. Однако практически мы используем нехитрый прием, который позволит увеличить точность вычислений. Если бы мы продолжали начатые нами расчеты, то они оказались бы довольно грубыми, поскольку интервал ?=0,10 сек довольно большой. Пришлось бы уменьшить его, скажем, до 0,01 сек. Но тогда, чтобы проследить движение за какой–то разумный отрезок времени, потребовалось бы сделать множество шагов. Мы же организуем процесс таким образом, что сможем увеличить точность, используя тот же интервал ?=0,10 сек. Этого можно достичь, несколько изменив метод расчета.

Заметьте, что новое положение тела равно старому плюс интервал времени ?, умноженный на скорость. Но что это за скорость? В какой момент? В начале интервала одна скорость, а в конце она совсем другая. Прием состоит в том, чтобы брать скорость в середине интервала. Если известна скорость в настоящий момент и известно, что она меняется, как же можно надеяться получить удовлетворительный результат, считая, что тело все время движется с той же скоростью, что и в настоящий момент? Более разумно использовать какую–то среднюю скорость между началом и концом интервала. Те же рассуждения применимы к изменению самой скорости: для подсчета ее изменений нужно использовать ускорение в средней точке между двумя моментами времени, в которых необходимо найти скорость. Таким образом, реально мы будем пользоваться следующими уравнениями: положение в конце интервала равно положению в начале плюс интервал ?, умноженный на скорость в середине интервала. Эта скорость в свою очередь равна скорости в середине предыдущего интервала (т. е. на отрезок ? меньше) плюс ускорение в начале интервала, умноженное на ?.

Таким образом, мы будем пользоваться уравнениями

Остается еще один небольшой вопрос: что такое v (?/2)? Вначале у нас было v (0), а не v (-?/2). Но теперь, чтобы начать наши вычисления, необходимо использовать дополнительное уравнение v(?/2)=v (0)+( ?/2)а(0).

Таблица 9.1 • решение уравнения (dv_x/dt)=-x Интервал ?=0,10 сек

Ну, а теперь все готово для расчетов. Для удобства можно их выполнить в виде таблицы, в столбцах которой стоят время, положение, скорость и ускорение, причем скорость пишется в промежутках между строками (табл. 9.1). Такая таблица есть, конечно, просто удобный способ записи результатов, полученных из уравнений (9.16), и фактически полностью заменяет их. Мы просто заполняем одно за другим свободные места в ней и получаем очень интересную картину движения: сначала грузик находится в покое, затем понемногу приобретает отрицательную скорость (вверх), а это приводит к уменьшению его расстояния от точки равновесия. При этом хотя ускорение и становится меньше, оно все еще «подгоняет» скорость. Однако по мере приближения к положению равновесия (х=0) ускорение становится все меньше и меньше, скорость нарастает все медленней и медленней, но все же еще нарастает вплоть до точки x=0, которая достигается примерно через 1,5 сек. Скажем по секрету, что произойдет дальше. Грузик, конечно, не остановится в точке х=0, а пойдет дальше, но теперь все пойдет наоборот: его положение х станет отрицательным, а ускорение – положительным. Скорость начнет уменьшаться. Интересно сравнить полученные нами числа с функцией cost. Результат этого сравнения представлен на фиг. 9.4.

Фиг. 9.4. График движения грузика на пружинке.

Оказывается, что в пределах точности наших расчетов (три знака после запятой) совпадение полное! Позднее вы узнаете, что функция cos t – точное решение нашего уравнения, так что у вас теперь есть наглядное представление о мощи численного анализа: столь простой расчет дает столь точный результат.

§ 6. Движение планет

Приведенный анализ очень подходит к движению осциллирующей пружинки с грузиком, но можно ли таким же путем вычислять движение планеты вокруг Солнца? Давайте посмотрим, можно ли при некоторых приближениях получить эллиптическую орбиту. Предположим, что Солнце бесконечно тяжелое в том смысле, что его движение не будет приниматься в расчет.

Допустим, что в известной точке планета начала свое движение и имеет определенную скорость. Она движется вокруг Солнца по какой–то кривой, и мы попытаемся определить с помощью уравнений движения Ньютона и его же закона всемирного тяготения, что это за кривая. Как это сделать? В некоторый момент времени планета находится в каком–то определенном месте, на расстоянии r от Солнца; в этом случае известно, что на нее действует сила, направленная по прямой к Солнцу, которая, согласно закону тяготения, равна определенной постоянной, умноженной на произведение масс планеты и Солнца и деленной на квадрат расстояния между ними. Чтобы рассуждать дальше, нужно выяснить, какое ускорение вызывает эта сила.

Однако в отличие от предыдущей задачи нам потребуются теперь компоненты ускорения в двух направлениях, которые мы назовем х и у. Положение планеты в данный момент будет определяться координатами х и у, поскольку третья координата z всегда равна нулю.

Действительно, координатная плоскость ху выбрана нами таким образом, что z–компоненты как силы, так и начальной скорости равны нулю, а поэтому нет никаких причин, которые бы заставили планету выйти из этой плоскости. Сила при этом будет направлена по линии, соединяющей планету с Солнцем, как это показано на фиг. 9.5.

Фиг. 9.5. Сила притяжения, действующая на планету.

Из этого рисунка видно, что горизонтальная компонента силы так относится к полной ее величине, как координата х относится к расстоянию r. Это сразу следует из подобия треугольников. Кроме того, если х положительна, то F_x отрицательна, и наоборот.

Таким образом, F_x?F?=-x/r, или F_я=-?F?xlr=-GM mx/r³ и соответственно F_y=-GMmy/r³. Теперь можно воспользоваться динамическими законами (9.7) и написать, что х–или y–компонента ускорения, умноженная на массу планеты, равна соответственно х–или y–компоненте силы:

Это именно та система уравнений, которую мы должны решить. Для того чтобы упростить вычисления, предположим, что либо единицы измерения времени или массы выбраны соответствующим образом, либо нам просто повезло, словом, получилось так, что GM=1. Для нашего случая предположим, что в начальный момент t=0 планета находилась в точке с координатами х=0,500 и у=0,000, а скорость ее в этот момент направлена параллельно оси у и равна 1,6300. Как же в этом случае делаются расчеты? Снова составляется таблица со столбцами для времени t, координаты х, x–компонент скорости v_x и ускорения а_х. Затем идут отделенные чертой три колонки: для координаты y, у–компонент скорости и ускорения. Однако, для того чтобы подсчитать ускорения, мы должны воспользоваться уравнением (9.17), согласно которому его компоненты равны –х/r³ и –у/r³, а r=?(x²+y²). Так что, получив х и у, мы должны где–то в сторонке провести небольшие вычисления – извлечь квадратный корень из суммы квадратов и получить расстояние. Удобно также отдельно вычислить и 1/r³.

После этого все готово, чтобы определить компоненты ускорения. Всю эту работу можно сильно облегчить, если пользоваться таблицами квадратов, кубов и обратных величин. На нашу долю останется тогда только умножение х на 1/r³, которое легко выполняется на логарифмической линейке.

Перейдем к дальнейшему. Возьмем интервал времени ?=0,100. В начальный момент t=0

x(0)=0,500,. у(0)=0,000,

v_x(0) = 0,000, v_y(0)=+1,630.

Отсюда находим

r(0)=0,500, 1/r³=8,000,

a_x=-4,000, а_у=0,000.

После этого можно вычислять компоненты v_x (0,05) и v_y (0,05):

v_я (0,05)=0,000–4,000•0,050 = -0,200,

v_y(0,05)=1,630+0,000–0,100=1,630.

А теперь начнем наш основной расчет:

и т. д.

В результате мы получим числа, приведенные в табл. 9.2, где приблизительно за 20 шагов прослежена половина пути нашей планеты вокруг Солнца. На фиг. 9.6 отложены координаты планеты х и y, приведенные в табл. 9.2.

Фиг. 9.6. График движения планеты вокруг Солнца.

Точки представляют собой последовательные положения планеты через каждую десятую долю выбранной нами единицы времени. Видно, что сначала она двигалась быстро, а затем – все медленней и медленней. Видна также и форма кривой движения планеты. Итак, вы теперь знаете, как реально можно вычислять движение планет!

Давайте посмотрим теперь, как вычислить движение Нептуна, Юпитера, Урана и остальных планет. Можно ли сделать подробные расчеты со множеством планет, учитывая к тому же и движение Солнца? Разумеется, можно. Найдем сначала силу, действующую на каждую данную планету, например на ту, которую мы обозначим номером i и координаты которой х_i, y_i и z_i (i=1 может означать Солнце, i=2 – Меркурий, i=3 – Венеру и т. д.). Наша задача – найти координаты всех планет. По закону тяготения x–компонента силы, действующая на i–ю планету со стороны планеты номер j' с координатами х_j у_j, z_j, будет равна –Gm_im_j(x_i–x_j)/r³_jj . Если же учесть силы со стороны всех планет, то получим следующую систему уравнений:

где r_ij – расстояние между i–й и j–й планетами:

? означает суммирование по всем остальным планетам, r. е. по всем значениям j, за исключением, конечно, j = i. Таким образом, чтобы решить это уравнение, нужно лишь значительно увеличить количество столбцов в нашей таблице. Для движения Юпитера понадобится девять столбцов, для Сатурна – тоже девять и т. д. Если нам заданы все начальные положения и скорости, то из уравнения (9.18) можно подсчитать все ускорения, вычислив, конечно, предварительно по формуле (9.19) все расстояния r_ij,. А сколько же времени потребуется на все эти вычисления? Если вы будете делать их сами дома, то очень много! Однако сейчас уже имеются машины, неимоверно быстро выполняющие все арифметические расчеты. Сложение, например, такая машина выполняет за 1 мксек, т. е. за одну миллионную долю секунды, а умножение – за 10 мксек. Так что если один цикл расчетов состоит из 30 операций умножения, то это займет всего лишь 300 мксек, или за 1 сек можно сделать 3000 циклов. Если мы хотим считать с точностью до одной миллиардной, то для того, чтобы покрыть все время обращения планеты вокруг Солнца, требуется 4•10⁵ циклов. (Оказывается, что ошибка в расчетах приблизительно пропорциональна квадрату ?. Если брать интервал в тысячу раз меньший, то ошибка уменьшится в миллион раз. Так что для обеспечения нашей точности нужно взять интервал в 10 000 раз меньше.) На машине это займет 130 сек, или около 2 мин. Всего лишь 2 мин, для того чтобы «прогнать» Юпитер вокруг Солнца и при этом еще с точностью до одной миллиардной учесть все возмущения от других планет!

Итак, в начале этой главы для вас были загадкой движения грузика на пружинке, однако теперь вооруженные таким мощным орудием, как законы Ньютона, вы можете вычислять не только такие простые явления, как качание грузика, но и неимоверно сложные движения планет, причем с любой желаемой точностью! Нужна только машина, знающая арифметику.

Глава 10 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

§ 1. Третий закон Ньютона

Второй закон Ньютона, который связывает ускорение любого тела с действующей на него силой, позволяет хотя бы в принципе решить любую механическую задачу. Можно, например, с помощью числового метода, знакомого вам уже по предыдущей главе, определить движение нескольких частиц. Однако имеется еще достаточно причин, чтобы продолжить изучение законов Ньютона. Во–первых, существуют такие сравнительно простые случаи движения, которые можно изучать не только числовым путем, но и с помощью прямых математических методов. Вы знаете, например, что ускорение свободно падающего тела постоянно и равно 9,8 м/сек². Исходя из этого, можно было бы численно восстановить всю картину движения, однако гораздо проще и удобнее с помощью математического анализа найти общее решение: s=s+vt+4,9t². To же самое относится и к гармоническому осциллятору, расчету которого была посвящена часть предыдущей главы. Можно было бы просто аналитически доказать, что функция cost является точным решением этой задачи, поэтому нет необходимости в арифметических упражнениях, если ответ можно получить более простым и строгим методом.

Одна из таких задач – движение планеты вокруг Солнца. Можно, конечно, так же, как мы это делали в гл. 9, постепенно найти общую форму орбиты, однако и эта задача решается точно, причем в результате получается строго эллиптическая орбита.

Но, к сожалению, таких задач, которые могут быть точно решены с помощью анализа, очень мало. В том же гармоническом осцилляторе, например, если сила пружины не будет пропорциональна отклонению от положения равновесия, а окажется несколько сложнее, мы уже не сможем ничего поделать и вынуждены обращаться к численному расчету. Или, например, если вокруг Солнца вращается не одна планета, а две (т. е. имеются всего три тела, взаимодействующих друг с другом), то нам не удастся найти аналитическую форму такого движения и на деле задача тоже решается численно. Это знаменитая проблема трех тел, над которой в течение долгого времени бились лучшие умы человечества. Интересно, что, пока люди поняли ограниченные возможности математического анализа и необходимость использования числовых методов, потребовалось немало времени. Сейчас с помощью этих методов решается огромное количество задач, которые не могли быть решены аналитически. Та же знаменитая проблема трех тел, решение которой, как полагали, очень сложно, в числовом методе выглядит самой заурядной задачкой и решается способом, описанным в предыдущей главе, т. е. с помощью большого числа арифметических действий. Однако имеются ситуации, когда оба метода оказываются бессильны: простые задачи решаются аналитически, а задачи посложнее – числовым арифметическим методом, но очень сложные задачи невозможно решить ни так, ни этак. Возьмите, например, сложную задачу столкновения двух автомобилей или даже движение молекул газа. В кубическом миллиметре газа содержится бесчисленное количество частиц, и было бы безумием пытаться решать задачу со столькими переменными (около 10¹⁷, т. е. сто миллионов миллиардов!). Столь же сложна задача о движении звезд в шаровом скоплении, где вместо двух или трех планет, движущихся вокруг Солнца, собрано громадное количество звезд. Эти проблемы нельзя решить прямыми методами, и нужно изыскать какие–то другие пути.

При таком положении, когда детальное рассмотрение невозможно, полезно знать некоторые общие свойства, т. е. общие теоремы или принципы, которые являются следствием законов Ньютона. Один из таких принципов – это закон сохранения энергии, который мы обсуждали в гл. 4. Вторым принципом является закон сохранения импульса, которому посвящена настоящая глава. Другая причина необходимости дальнейшего изучения механики – это существование некоторых общих свойств движения, которые повторяются при различных обстоятельствах; так что полезно изучить это свойство на каком–то одном частном случае. Мы, например, будем изучать столкновения; различные виды столкновений имеют много общего. Или возьмем течение жидкости, неважно какой; законы течения разных жидкостей имеют много общего. Еще один пример, который мы будем изучать, это колебания, или осцилляции, в частности свойства механических волн: звука, колебания стержней и т. д.

Когда мы обсуждали законы Ньютона, то уже говорили о том, что они являются своего рода программой, которая призывает нас обратить особое внимание на силы. Но о самих силах Ньютон сказал только две вещи. Он полностью сформулировал закон для сил тяготения, но почти ничего не знал о более сложных силах, например о силах между атомами. Однако он открыл одно правило, одно общее свойство всех сил, которое составляет Третий закон. Таким образом, все, что Ньютон знал о природе сил, – это закон тяготения и общий принцип, который гласит:

Сила действия равна силе противодействия.

Означает это примерно следующее. Пусть имеются два маленьких тела, скажем две частицы, и пусть первая из них толкает вторую с некоторой силой. Тогда в соответствии с Третьим законом Ньютона вторая частица будет толкать первую с той же силой, но в противоположную сторону. Более того, эти силы будут действовать вдоль одной и той же линии. Эта гипотеза, или, если хотите, закон, предложенный Ньютоном, выполняется с большой точностью, хотя, впрочем, он не абсолютно точен (с нарушениями его мы познакомимся позднее). Сейчас, однако, мы будем считать его совершенно точным. Разумеется, если есть еще третья частица, которая расположена не на той же линии, что две первые, то закон вовсе не означает, что сила, действующая на первую частицу, равна полной силе, действующей на вторую. Ведь эта третья частица может толкать две первые, в результате чего полная сила, действующая на первую частицу, будет направлена по–другому и, вообще говоря, не будет ни равна, ни противоположна силе, действующей на вторую частицу. Однако полная сила, действующая на каждую из частиц, может быть разложена на две составляющие, которые представляют собой силы, действующие между каждой парой частиц. Эти компоненты силы для каждой пары частиц должны быть равны по величине и противоположны по направлению.

§ 2. Закон сохранения импульса

Давайте посмотрим, чем интересен Третий закон Ньютона. Предположим для простоты, что имеются только две взаимодействующие частицы – частица 1 и частица 2, масса которых может быть различна. К какому следствию приводит равенство и противоположная направленность сил между ними? Согласно Второму закону, сила равна скорости изменения импульса со временем, так что скорость изменения импульса частицы 1 равна скорости изменения импульса частицы 2, т. е.

dp₁/dt=dp₂/dt (10.1)

Но если скорости изменения все время равны по величине и противоположны по направлению, то и полное изменение импульса частицы 1 равно и противоположно полному изменению импульса частицы 2. Это означает, что если мы сложим эти импульсы, то скорость изменения суммы под воздействием одних только взаимных сил (их обычно называют внутренними силами) будет равна нулю, т. е.

(dp₁+dp₂)/dt=0. . (10.2)

Напомним еще раз, что в нашей задаче мы предполагаем отсутствие каких–либо других сил, кроме внутренних. Но равенство нулю скорости изменения этой суммы означает просто, что величина (p₁+p₂) не изменяется с течением времени. (Эта величина записывается также в виде m₁v₁+m₂v₂ и называется полным импульсом двух частиц.) Таким образом, мы получили, что при наличии одних только внутренних сил полный импульс двух частиц остается неизменным. Это утверждение выражает закон сохранения полного импульса в данном случае. Из него следует, что если мы измеряем или подсчитываем величину ni₁v₁+m₂v₂, т. е. сумму импульсов двух частиц, то для любых сил, действующих между ними, как бы сложны они ни были, мы должны получить одинаковый результат как до действия сил, так и после, т. е. полный импульс остается постоянным.

Рассмотрим теперь картину посложнее, когда есть три или большее число взаимодействующих частиц. Очевидно, что если существуют только внутренние силы, то полный импульс всех частиц остается постоянным, поскольку увеличение импульса одной частицы под воздействием другой частицы в точности компенсируется уменьшением импульса этой второй частицы из–за противодействия первой, т. е. внутренние силы так сбалансированы, что полный импульс всех частиц измениться не может. Таким образом, если нет сил, действующих на систему извне (внешних сил), то ничто не может изменить ее полный импульс и, следовательно, он остается постоянным.

Но нужно еще сказать о том, что произойдет, если будут еще существовать какие–то другие силы, кроме сил взаимодействия между частицами. Предположим, что мы изолировали систему взаимодействующих частиц. Если имеются только взаимные силы, полный импульс, как и прежде, меняться не будет, сколь бы сложны ни были эти силы. Если, однако, существуют силы, обусловленные частицами вне этой изолированной группы, то, как мы докажем позднее, сумма всех этих внешних сил равна скорости изменения полного импульса всех внутренних частиц. Это очень полезная теорема.

Закон сохранения полного импульса некоторого числа взаимодействующих частиц в отсутствие внешних сил можно записать в виде

m₁v₁+m₂v₂ +m₃v₃+ …=const, (10.3)

где m_i и v_i – просто масса и скорость частицы соответствующего номера. Однако для каждой из этих частиц Второй закон Ньютона

f=(d/dt)(mv) (10.4)

пишется для любой составляющей полной силы и импульса в любом заданном направлении, так что x–компонента силы, действующей на частицу, равна скорости изменения x–компоненты импульса этой частицы

f_x=(d/dt)(mv_x). (10.5)

Точно такие же формулы можно написать для у–и z–компонент. Это означает, что уравнение (10.3) фактически представляет собой три уравнения: по одному на каждую из компонент.

Существует еще одно интересное следствие Второго закона Ньютона, кроме закона сохранения импульса. Доказательством его мы будем заниматься позднее, а сейчас я просто расскажу вам о нем. Следствие или, скорее, принцип состоит в том, что законы физики не изменяются от того, стоим ли мы на месте или движемся равномерно и прямолинейно. Пусть, например, на быстро летящем самолете ребенок играет с мячиком. Наблюдательный ребенок сразу заметит, что мячик прыгает точно так же, как и на земле. Иначе говоря, законы движения для ребенка в самолете (если только последний не меняет скорости) выглядят одинаково как на поле аэродрома, так и в полете. Этот факт известен под названием принципа относительности. В том виде, в котором он рассматривается здесь, мы будем называть его «принципом относительности Галилея» или «галилеевской относительностью», чтобы не путать его с более тщательным анализом, проделанным Эйнштейном, но об этом несколько позже.

Таким образом, из закона Ньютона мы вывели закон сохранения импульса, а теперь давайте посмотрим, какие специфические законы описывают соударение и рассеяние частиц. Однако для разнообразия, а также чтобы продемонстрировать типичные рассуждения, которыми мы часто пользуемся в физике в других случаях, когда, скажем, не известны законы Ньютона и должен быть принят иной метод рассмотрения, давайте обсудим законы рассеяния и соударения с совершенно другой точки зрения. Мы будем исходить из принципа относительности Галилея и в конце рассуждений придем к закону сохранения импульса.

Итак, начнем с утверждения, что законы природы не изменяются от того, что мы движемся прямолинейно с некоторой скоростью или стоим на месте. Однако прежде чем обсуждать процессы, в которых два тела сталкиваются и слипаются или разлетаются в стороны, давайте рассмотрим случай, когда эти два тела связаны между собой пружинкой или чем–то в этом роде, а затем вдруг освобождаются и разлетаются под действием этой пружинки или, быть может, небольшого взрыва в разные стороны. Кроме того, рассмотрим движение только в одном направлении. Предположим сперва, что эти два тела совершенно одинаковы и расположены симметрично. Когда между ними произойдет взрыв, одно из них полетит направо с некоторой скоростью v. Тогда естественно, что другое полетит налево с той же самой скоростью v, поскольку оба тела подобны и нет никаких причин считать, что левая сторона окажется предпочтительнее правой. Итак, с телами должно происходить нечто симметричное. Этот пример показывает, насколько полезны рассуждения такого рода в различных задачах. Но они не всегда столь ясны, когда затуманены формулами.

Таким образом, первый результат нашего эксперимента – одинаковые тела имеют одинаковую скорость. Но предположим теперь, что тела сделаны из различного материала, скажем один из меди, а другой из алюминия, но массы их равны. Мы будем предполагать, что если проделать наш опыт с двумя равными массами, то несмотря на то, что тела не одинаковы, скорости их тем не менее будут равны. В этом месте мне могут возразить: «Но ведь вы можете сделать и обратное. Вам незачем было это предполагать. Вы можете определить массы как равные, если они в нашем эксперименте приобретают одинаковую скорость». Давайте же примем это предложение и устроим небольшой взрыв между кусочком меди и очень большим куском алюминия, который настолько тяжел, что едва может быть сдвинут с места, тогда как медь стремительно отлетает. Это говорит о том, что алюминия слишком много. Уменьшим его количество и оставим лишь совсем маленький кусочек. Если устроить взрыв снова, то отлетит уже алюминий, а медь почти не сдвинется. Значит, сейчас слишком мало алюминия. Очевидно, что должно существовать какое–то промежуточное количество, которое можно постепенно подбирать, пока скорости разлета не станут равными. Теперь мы можем сказать, что раз равны скорости этих кусков, то массы их мы тоже будем считать равными (т. е. фактически мы переворачиваем сделанное ранее утверждение, что равные массы будут иметь одинаковую скорость). Самое интересное здесь то, что физический закон превращается просто в определение. Но тем не менее какой–то физический закон здесь все же есть, и если мы примем такое определение равенства масс, то этот закон можно найти следующим образом.

Пусть из предыдущего эксперимента нам известно, что два куска вещества А и В (медь и алюминий) имеют равные массы. Возьмем теперь третье тело, скажем кусок золота, и выровняем его массу (точно так же, как это делалось раньше) с массой меди. Если теперь в нашем эксперименте заменить медь золотом, то логически у нас нет никаких оснований утверждать, что эти массы (алюминия и золота) равны. Однако опыт показывает, что такое равенство имеет место. Таким образом, опытным путем мы обнаружили новый закон: если две массы порознь равны третьей (т. е. в нашем опыте они разлетаются с равными скоростями), то они равны между собой. (Этот закон вовсе не следует из подобного утверждения о величинах в математике; там оно просто постулируется.) Видите, как легко по неосторожности сделать безосновательное заключение. Утверждение, что массы равны, когда равны скорости, – это еще не определение; ведь при этом мы предполагаем справедливость математических законов равенства, что в свою очередь приводит к предсказанию результатов некоторых экспериментов.

Возьмем еще один пример. Пусть при некоторой силе взрыва установлено, что масса А равна массе В. А что произойдет, если увеличить силу взрыва? Будут ли равны скорости разлета в этом случае? Логика здесь снова бессильна, но опыт говорит, что это действительно так. Снова мы получаем закон, который утверждает: если из равенства скоростей двух тел делается заключение о равенстве их масс, то это равенство не зависит от величины скорости. Из этих примеров видно, что то, что сначала казалось просто определением, в действительности предполагает справедливость каких–то законов природы.

Итак, в дальнейших рассуждениях мы будем считать, что равные массы разлетаются в противоположные стороны с равными скоростями, если между ними происходит взрыв. А что произойдет, если мы обратим задачу, т. е. если два одинаковых тела, летящие навстречу друг другу с равными скоростями, сталкиваются и слипаются вместе? Как будут они двигаться? Здесь опять на помощь приходят соображения симметрии (т. е. что между левой и правой сторонами нет никакого различия), из которых следует, что образовавшееся тело должно стоять на месте. Мы будем также предполагать, что два тела с равной массой, летящих навстречу друг другу, даже если они сделаны из различного материала, после столкновения и слипания остановятся.

§ 3. Импульс всё–таки сохраняется!

Можно экспериментально проверить наши предположения о том, что, во–первых, покоящиеся два тела с равной массой, разорванные взрывом, полетят в разные стороны с равной скоростью и, во–вторых, что два тела, обладающие равными скоростями и массами, при соударении и слипании останавливаются. Такую проверку можно сделать с помощью замечательного устройства – воздушного желоба (фиг. 10.1).

Фиг. 10.1. Воздушный желоб (вид с торца).

В этом устройстве нет никаких трущихся деталей – вопрос, который очень беспокоил Галилея. Он не мог поставить эксперимента со скользящими телами, ибо они не скользили свободно, но о помощью чудесного желоба мы можем теперь избавиться от трения. Наши тела будут лететь без помех, а скорость их, согласно предвидению Галилея, будет оставаться постоянной. Это достигается тем, что тело поддерживается воздушной подушкой, а поскольку трение о воздух очень мало, то тело планирует практически с постоянной скоростью, если на него не действуют никакие силы. Возьмем сначала два скользящих бруска, вес или массы которых с большой точностью равны друг другу (практически измеряется вес, но он, как вы знаете, пропорционален массе), и поместим между ними небольшой взрыватель в закрытом цилиндре (фиг. 10.2).

Фиг. 10.2. Продольный разрез скользящего бруска, скрепленного со взрывным цилиндром.

Всю эту систему устанавливаем в центре желоба и электрической искрой поджигаем взрыватель. Что же произойдет? Если массы брусков одинаковы, то они, разлетевшись в стороны, одновременно достигнут концов желоба. Там они отскакивают от ограничителей, сталкиваются и слипаются в центре, точно в том же месте, откуда разлетелись (фиг. 10.3).

Фиг. 10.3. Схема эксперимента с равными массами.

Это интересный опыт. И в действительности происходит все так, как мы рассказали.

Теперь на очереди проблема посложнее. Допустим, мы имеем две массы, причем одна движется со скоростью v, а другая стоит на месте. Затем первая ударяет по второй и они слипаются. Что произойдет дальше? Образуется одно тело с массой 2m, которое как–то будет двигаться. Но с какой скоростью? Вот в чем вопрос. Чтобы ответить на него, предположим, что мы едем вдоль желоба на автомобиле. Все законы физики должны при этом выглядеть точно так же, как и прежде, когда мы стояли на месте. Мы начали с того, что если столкнуть два тела с равными массами и одинаковыми скоростями v, то после слипания они останавливаются. А теперь представьте, что в это время мы катим на автомобиле со скоростью –v. Какую же картину Мы увидим? Ясно, что одно из тел, поскольку оно все время летит рядом с автомобилем, будет казаться нам неподвижным. Второе же, которое движется навстречу со скоростью v, покажется нам несущимся с удвоенной скоростью 2v (фиг. 10.4).

Фиг. 10.4, Неупругое соударение равных масс.

Наконец, образовавшееся после соударения и слипания тело будет казаться нам летящим со скоростью v. Отсюда мы делаем вывод, что если тело, летящее со скоростью 2v, ударяется о покоящееся тело той же массы и прилипает к нему, то образовавшееся тело будет двигаться со скоростью v, или (что математически то же самое) тело со скоростью v, ударяясь о покоящееся тело той же массы и прилипая к нему, образует тело, движущееся со скоростью v/2. Заметьте, что если умножить массы тел на их скорости и сложить их, то получим одинаковый результат как до столкновения (mv+0), так и после (2m•v/2). Вот как обстоит дело, если тело, обладающее скоростью v, столкнется с телом, находящимся в покое.

Точно таким же образом можно определить, что произойдет, когда сталкиваются два одинаковых тела, каждое из которых движется с произвольной скоростью.

Пусть одно тело летит со скоростью v₁ , а другое – со скоростью v₂ в том же направлении (v₁>v₂). Какова будет их скорость после соударения? Давайте снова сядем в машину и поедем, скажем, со скоростью v₂. Тогда одно из тел будет казаться нам стоящим на месте, а второе – налетающим на него со скоростью v₁–v₂. Эта ситуация уже знакома нам, и мы знаем, что после соударения скорость нового тела по отношению к машине будет равна ¹/₂(v₁–v₂). Что же касается действительной скорости относительно земли, то ее можно найти, прибавив скорость автомобиля: v=¹/₂ (v₁–v₂) +v₂ или ¹/₂(v₁+v₂) (фиг. 10.5).

Фиг. 10.5. Другой случай неупругого соударения равных масс.

Обратите внимание, что снова

mv₁+ mv₂=m•¹/₂ (v₁+v₂). (10.6)

Таким образом, принцип относительности Галилея помогает нам разобраться в любом соударении равных масс. До сих пор мы рассматривали движение в одном измерении, однако на основе его становится ясным многое из того, что будет происходить в более сложных случаях соударения: нужно только пустить автомобиль не вдоль направления движения тел, а под каким–то углом. Принцип остается тем же самым, хотя детали несколько усложняются.

Чтобы экспериментально проверить, действительно ли тело, летящее со скоростью v после столкновения с покоящимся телом той же массы, образует новое тело, летящее со скоростью v/2, проделаем на нашей замечательной установке следующий опыт. Поместим в желоб три тела с одинаковыми массами, два из которых соединены цилиндром со взрывателем, а третье находится вблизи одного из них, хотя и несколько отделено от него. Оно снабжено клейким амортизатором, так что прилипает к тому телу, которое ударяет его. В первое мгновение после взрыва мы имеем два объекта с массами m, движущимися со скоростью v каждое. В последующее мгновение одно из тел сталкивается с третьим и образует новое тело с массой 2т, которое, как мы полагаем, должно двигаться со скоростью v/2. Но как проверить, что скорость его действительно v/2? Для этого мы вначале установим тела таким образом, чтобы расстояния до концов желоба относились как 2:1, так что первое тело, которое продолжает двигаться со скоростью v, должно пролететь за тот же промежуток времени вдвое большее расстояние, чем скрепившиеся два других тела (с учетом, конечно, того малого расстояния А, которое второе тело прошло до столкновения с третьим). Если мы правы, то массы m и 2m должны достичь концов желоба одновременно; так оно и происходит на самом деле (фиг. 10.6).

Фиг. 10.6. Экспериментальная проверка того факта, что масса т, ударяя со скоростью v массу m, образует тело с массой 2m и скоростью v/2.

Следующая проблема, которую мы должны решить: что получится, если тела имеют разные массы. Давайте возьмем массы m и 2m и устроим между ними взрыв. Что произойдет тогда? С какой скоростью полетит масса 2т, если масса m летит со скоростью v? Фактически нам нужно повторить только что проделанный эксперимент, но с нулевым зазором между вторым и третьим телом. Разумеется, что при этом мы получим тот же результат – скорости тел с массами m и 2m должны быть соответственно равны–v и v/2. Итак, при разлете тел с массами m и 2m получается тот же результат, что и при симметричном разлете двух тел с массами m с последующим неупругим соударением одного из этих тел с третьим, масса которого тоже равна m. Более того, отразившись от концов, каждое из этих тел будет лететь с почти той же скоростью, но, конечно, в обратном направлении, и после неупругого соударения они останавливаются.

Перейдем теперь к следующему вопросу. Что произойдет, если тело с массой m и скоростью v столкнется с покоящимся телом с массой 2m? Воспользовавшись принципом относительности Галилея, можно легко ответить на этот вопрос. Попросту говоря, нам нужно опять садиться в машину, идущую со скоростью–v/2 (фиг. 10.7), и наблюдать за только что описанным процессом.

Фиг. 10.7. Неупругое соударение между телами с массами m и 2m.

Скорости, которые мы при этом увидим, будут равны

После соударения масса 3m покажется нам движущейся со скоростью v/2. Таким образом, мы получили, что отношение скоростей до и после соударения равно 3:1, т. е. образовавшееся тело с массой 3m будет двигаться в три раза медленней; И в этом случае снова выполняется общее правило: сумма произведений массы на скорость остается той же как до, так и после соударения: то + 0 равно 3m•v/3. Вы видите, как постепенно шаг за шагом устанавливается закон сохранения импульса.

Итак, мы рассмотрели столкновение одного тела с двумя. Используя те же рассуждения, можно предсказать результаты столкновения одного тела с тремя телами, двух тел с тремя телами и т. д. На фиг. 10.8 как раз показан случай разлета масс 2m и 3m из состояния покоя.

Фиг. 10.8. Разлет тел с массами 2m и 3m.

В каждом из этих случаев выполняется одно и то же правило: масса первого тела, умноженная на его скорость, плюс масса второго тела, умноженная на его скорость, равны произведению полной массы на скорость ее движения. Все это – примеры сохранения импульса. Итак, начав с простого случая симметричных равных масс, мы установили закон сохранения для более сложных случаев. В сущности это можно сделать для любого рационального отношения масс, а поскольку любое число может быть со сколь угодно большой точностью заменено рациональным, то закон сохранения импульса справедлив для любых масс.

§ 4. Импульс и энергия

Во всех предыдущих примерах мы рассматривали только случаи, когда два тела сталкиваются и слипаются или с самого начала были скреплены вместе, а потом разделяются взрывом. Однако существует множество примеров соударений, в которых тела не сцепляются, как, например, столкновение двух тел равной массы и одинаковой скорости, которые затем разлетаются в разные стороны. На какой–то краткий миг они соприкасаются и сжимаются. В момент наибольшего сжатия они останавливаются и их кинетическая энергия полностью переходит в энергию упругого сжатия (они как две сжатые пружины). Эта энергия определяется из кинетической энергии, которой обладали тела до столкновения и которая равна нулю в момент их остановки. Однако кинетическая энергия теряется только на одно мгновение. Сжатое состояние, в котором находятся наши тела, – это все равно что заряд в предыдущих примерах, который при взрыве выделяет энергию. В следующее мгновение происходит нечто подобное взрыву – тела разжимаются, отталкиваются друг от друга и разлетаются в стороны. Эта часть процесса вам тоже хорошо знакома: тела полетят в разные стороны с одинаковыми скоростями. Однако скорости отдачи, вообще говоря, будут меньше тех начальных скоростей, при которых они столкнулись, ибо для взрыва используется не вся энергия, а только какая–то ее часть, но это уже зависит от свойств материала, из которого сделаны тела. Если это мягкий материал, то кинетическая энергия почти не выделяется, но если это что–то более упругое, то тела более охотно отскакивают друг от друга. Неиспользованный остаток энергии превращается в тепло и вибрацию, тела нагреваются и дрожат; впрочем, энергия вибрации тоже вскоре превращается в тепло. В принципе можно сделать тела из столь упругого материала, что на тепло и вибрацию не будет расходоваться никакой энергии, а скорости разлета в этом случае будут практически равны начальным. Такое соударение мы называем упругим.

Тот факт, что скорости до и после соударения равны, – заслуга не закона сохранения импульса, а закона сохранения энергии, но то, что скорости разлета после симметричного соударения равны друг другу, в этом уже повинен закон сохранения импульса.

Точно таким же способом можно разобрать случай соударения тел с различными массами, различными начальными скоростями, различными упругостями и определить конечные скорости и потерю кинетической энергии; но мы не будем сейчас подробно разбирать эти явления.

Упругое соударение особенно часто встречается между системами, у которых нет никаких внутренних механизмов, никаких «шестеренок, маховиков или других частей». В таких случаях кинетическая энергия не может ни на что растратиться: ведь разлетающиеся тела находятся в тех же условиях, что и налетающие. Поэтому между элементарными объектами соударение всегда или почти всегда упругое. Говорят, например, что соударение между атомами и молекулами абсолютно упругое. Хотя это действительно очень хорошее приближение, но и эти соударения не абсолютно упругие; в противном случае трудно было бы понять, откуда у газа берется энергия на излучение тепла и света. Иногда при столкновениях молекул газа испускаются инфракрасные лучи, однако это случается крайне редко и к тому же излученная энергия очень мала, так что для многих целей столкновения молекул газа можно рассматривать как абсолютно упругие.

Давайте разберем интересный пример упругого столкновения двух тел равных масс. Если такие тела ударяются друг о друга с какой–то равной скоростью, то по соображениям симметрии они должны разлететься в стороны с той же скоростью. Но давайте посмотрим на этот процесс в несколько другой ситуации, когда одно из тел движется со скоростью v, а другое покоится. Что произойдет в этом случае? Такая задача не нова для нас. Нужно посмотреть из автомобиля, движущегося рядом с одной из частиц, на симметричное соударение. Мы увидим, как движущееся тело столкнется с покоящимся и остановится, а то, которое раньше покоилось, полетит вперед, причем в точности с той же скоростью, с которой двигалось первое. Тела попросту обменяются своими скоростями. Это легко можно подтвердить экспериментально. Вообще если два тела движутся навстречу друг другу с различными скоростями, то при упругом соударении они просто обмениваются скоростями.

Другой пример почти абсолютно упругого взаимодействия дает нам магнетизм. Положите пару U–образных магнитов на наши скользящие бруски в воздушном желобе так, чтобы они отталкивались друг от друга. Если теперь потихоньку подтолкнуть один из брусков к другому, то он, не касаясь, оттолкнет его, а сам остановится. Второй же брусок полетит вперед.

Закон сохранения импульса – очень полезная штука. Он позволяет решить многие проблемы, не входя в детали процесса. Нас, например, совершенно не интересовали детали движения газа при взрыве заряда, но тем не менее мы могли предсказать, во сколько раз одно тело будет двигаться быстрее второго при их разлете. Другой интересный пример – это ракетный двигатель. Ракета большой массы М с огромной скоростью V (относительно самой ракеты) извергает сравнительно небольшое количество m газа. Чтобы сохранить импульс, ракета начинает двигаться с небольшой скоростью v. Используя закон сохранения импульса, можно подсчитать, что v=(m/M)V. Однако по мере извержения скорость ракеты становится все больше и больше. Механизм действия ракетного двигателя в точности сходен с явлением отдачи ружья; здесь не нужен воздух, чтобы отталкиваться от него.

§ 5. Релятивистский импульс

Уже на нашей памяти закон сохранения импульса претерпел некоторые изменения. Они, однако, не коснулись самого закона как такового, просто изменилось понятие импульса. В теории относительности, как оказалось, импульс уже не сохраняется, если его понимать так же, как и прежде. Дело в том, что масса не остается постоянной, а изменяется в зависимости от скорости, а потому изменяется и импульс. Это изменение массы происходит по закону

где m– масса покоящегося тела, c – скорость распространения света. Из этой формулы видно, что при обычных скоростях (если v не очень велико) m очень мало отличается от m, а импульс поэтому с очень хорошей точностью выражается старой формулой.

Компоненты импульса для одной частицы можно записать в виде

где v²=v²_x+v²_y+v²_z. Если просуммировать x–компоненты импульсов всех взаимодействующих частиц, то эта сумма как до столкновения, так и после окажется одной и той же. Это и есть закон сохранения импульса в направлении оси х. То же можно сделать и в любом другом направлении.

В гл. 4 мы уже видели, что закон сохранения энергии неверен, если мы не признаем эквивалентности энергии во всех ее формах, т. е. электрической энергии, механической энергии, энергии излучения, тепловой и т. д. Про некоторые из этих форм, например тепло, можно сказать, что энергия «скрыта» в них. Напрашивается вопрос: а не существуют ли также «скрытые» формы импульса, скажем «тепловой импульс»? Дело в том, что импульс утаить невозможно; скрыть его очень трудно по следующим причинам.

Мера тепловой энергии – случайного движения атомов тела – представляет собой просуммированные квадраты их скоростей. В результате получается некоторая положительная величина, не имеющая направленного характера. Так что тепло как бы заключено внутри тела независимо от того, движется ли оно как целое или нет. Поэтому сохранение энергии в тепловой форме не очень очевидно. С другой стороны, если мы просуммируем скорости, которые имеют направление, и в результате получим не нуль, то это означает, что само тело целиком движется в некотором направлении, а такое макродвижение мы уже способны наблюдать. Так что никакой случайной внутренней потери импульса не существует: тело обладает определенным импульсом, только когда оно движется целиком. В этом и состоит основная причина того, что импульс трудно скрыть. Но тем не менее скрыть его все же можно, например в электромагнитное поле. Это еще одна из особенностей теории относительности.

Ньютон считал, что взаимодействие на расстоянии должно быть мгновенным. Но это, оказывается, неверно. Возьмем, например, электрические силы. Пусть электрический заряд, расположенный в некоторой точке, вдруг начинает двигаться, тогда его действие на другой заряд в другой точке не будет мгновенным: существует небольшое запаздывание. При таком положении, даже если силы действия и противодействия равны между собой, импульсы не будут компенсироваться. Существует небольшой промежуток времени, в течение которого будет происходить нечто странное; в то время как первый заряд испытывает какое–то воздействие силы и реагирует на нее изменением своего импульса, второй стоит как ни в чем не бывало и не изменяет импульса. На передачу влияния второму заряду через разделяющее их расстояние требуется некоторое время: «влияние» распространяется не мгновенно, а с некоторой конечной (хотя и очень большой) скоростью 300 000 км/сек. В течение этого крохотного промежутка времени импульс частиц не сохраняется. Но, разумеется, после того как второй заряд испытает влияние первого, импульсы компенсируются, наступает полный порядок, но все–таки в течение некоторого момента закон был нарушен. Мы представляем дело таким образом, что в течение этого интервала существует импульс другого рода, чем импульс частиц mv, и это импульс электромагнитного поля. Если сложить его с импульсами частиц, то эта сумма в любой момент сохраняется. Однако тот факт, что электромагнитное поле может обладать импульсом и энергией, делает его реальностью, а утверждение о том, что между частицами действуют силы, переходит в утверждение о том, что частица создает поле, которое в свою очередь действует на другую частицу. Само же поле имеет многие свойства, аналогичные частицам; оно может нести энергию и импульс. Для иллюстрации рассмотрим еще один пример; в электромагнитном поле могут существовать волны, которые мы называем светом. И вот оказывается, что свет тоже несет какой–то импульс, так что когда он падает на предмет, то передает ему некоторое количество своего импульса. Это эквивалентно действию какой–то силы, ведь освещенный предмет изменяет свой импульс, как будто на него действует некоторая сила. Итак, падая на предмет, свет оказывает на него давление. Хотя это давление очень мало, но достаточно тонкими приборами его все же можно измерить.

Оказывается, что в квантовой механике импульс тоже не mv, а нечто совсем другое. Здесь уже трудно определить точно, что же такое скорость частицы, но импульс все–таки существует. Разница же состоит в том, что когда частицы действуют как частицы, то их импульс по–прежнему mv, но когда они действуют как волны, то импульс уже измеряется числом волн на 1 см: чем больше волн, тем больше импульс. Однако, несмотря на это различие, закон сохранения импульса справедлив и в квантовой механике. Неверными оказались уравнение Ньютона f = ma и все его выводы закона сохранения импульса, тем не менее в квантовой механике в конце концов этот закон продолжает действовать!

Глава 11 ВЕКТОРЫ

§ 1. Симметрия в физике

В этой главе мы вводим понятие, которое среди физиков известно под названием симметрия законов физики. Слово «симметрия» употребляется здесь в несколько необычном смысле, и поэтому нужно его определить. Как же определить симметрию какого–либо предмета? Когда мы говорим, что изображение симметрично, то этим мы хотим сказать, что одна его часть такая же, как другая. Профессор Герман Вейль дал такое определение симметрии: предмет симметричен, если его можно подвергнуть какой–либо операции, после которой он будет выглядеть как и вначале. Например, если мы повернем вазу на 180° вокруг вертикальной оси и она не изменит своего внешнего вида, то мы говорим, что обе стороны вазы симметричны. Мы будем понимать определение Вейля в более широком смысле и говорить о симметрии законов физики.

Предположим, что где–то мы установили сложную машину со множеством зацеплений, с какими–то маховиками, шатунами и т. п. Предположим теперь, что в каком–то другом месте мы собрали такое же устройство, все части которого являются точной копией частей прежней машины, причем сохранены все размеры и ориентация отдельных ее частей, все то же самое, только перенесено на некоторое расстояние. Затем мы запустим обе машины в одинаковых условиях и посмотрим, будут ли они работать совершенно одинаково? Будут ли движения отдельных частей одной машины повторять в точности соответствующие движения другой? Вообще говоря, ответ может быть отрицательным, потому что мы можем ведь выбрать для второй машины неудачное место, скажем поставить ее так, что какие–то ее части будут при работе ударяться о стенку, тогда машина вовсе не будет работать.

Любая физическая идея требует здравого смысла при своем осуществлении, ведь это не чисто математические или абстрактные идеи. Нужно понимать, что мы имеем в виду, когда говорим, что при перенесении какого–либо устройства в другое место наблюдаются те же явления. Под этим мы понимаем, что мы передвигаем все, что можно передвинуть. Если же при этом явление в чем–то изменяется, то мы предположим, что что–то послужило помехой, и займемся изучением причин. Если мы ничего не обнаружим, то объявим, что физические законы не обладают ожидаемой симметрией. Но если физические законы все–таки обладают симметрией, то мы найдем причину помех, во всяком случае мы надеемся найти ее. Осмотревшись, мы обнаружим, например, что работе машины мешает стена. Основной вопрос состоит в следующем: если мы достаточно хорошо изучим наши устройства, если все основные источники сил имеются внутри аппарата и если на другое место передвинуть все, что следовало передвинуть, то будут ли законы меняться? Будет ли машина на новом месте работать так, как раньше?

Ясно, что мы хотим передвинуть само устройство и источники основных влияний, а вовсе не все на свете – планеты, звезды и т. п., ибо если бы мы и совершили эту грандиозную работу, то наблюдали бы прежнее явление по той простой причине, что мы оказались бы на том же самом месте. Но мы и не можем передвинуть все на свете. Оказывается, что если передвигать наше устройство более или менее разумно, то оно будет работать одинаково. Другими словами, если мы не будем вламываться в стенку, будем знать происхождение внешних сил и постараемся, чтобы они были передвинуты вместе с машиной, то она будет работать на новом месте так же хорошо, как и прежде.

§ 2. Переносы начала

Мы ограничим наше рассмотрение законами механики, которую достаточно хорошо изучили. В предыдущих главах мы установили, что законы механики можно свести к трем справедливым для любой частицы уравнениям:

Это означает, что существует такой способ измерения расстояний х, у и z вдоль трех взаимно перпендикулярных осей и сил вдоль этих направлений, при котором определяемые уравнениями (11.1) законы верны. Расстояния должны отсчитываться от некоторого начала, но где следует расположить это начало? Ньютон сказал нам только, что такая точка, от которой можно начать отсчет, существует; может быть, это центр Вселенной, и при измерении расстояний от нее его законы верны. Но мы можем немедленно показать, что незачем искать центр Вселенной, ибо безразлично, какую точку взять за начало координат. Иными словами, предположим, что имеются два человека – Джо, который выбрал начало своей системы координат в какой–то точке, и Мик, который построил систему координат, параллельную первой, но принял за начало другую точку (фиг. 11.1), расположенную на расстоянии а по оси х в его системе.

Фиг. 11.1. Две параллельные координатные системы.

Когда Джо определяет положение произвольной точки в пространстве, он находит три ее координаты: х, у и z (обычно мы опускаем ось z, ибо ее трудно изобразить на нашем чертеже). В системе Мика эта точка будет иметь другое значение х (чтобы отличить его, введем обозначение х') и, вообще говоря, другое значение у, хотя в нашем примере они численно равны. Таким образом, мы имеем

х'=х–а, у'=y, z'=z. (11.2)

Чтобы сделать наш анализ полным, нужно знать, какие силы измеряет Мик. Если сила действует вдоль произвольной линии, то под силой вдоль направления х мы понимаем некоторую часть общей силы, которая равна произведению величины силы на косинус угла между направлением силы и осью х. Легко видеть, что Мик получит те же проекции силы, какие получил Джо, т. е. мы имеем систему уравнений

F_x''=F_x, F_y''=F_y, F_z'=F_z. (11.3)

Уравнения (11.2) и (11.3) определяют соотношения между величинами, используемыми Джо и Миком.

Теперь поставим вопрос так: если Джо знает законы Ньютона, то будут ли они верны, когда их попробует использовать Мик? Имеет ли значение выбор начала координат? Другими словами, предположим, что уравнения (11.1) верны, а (11.2) и (11.3) определяют соотношения между измеряемыми величинами; верно ли, что

Чтобы проверить эти уравнения, дважды продифференцируем выражение для х по времени. Прежде всего

Предположим теперь, что начало системы координат, которой пользуется Мик, фиксировано (не движется) относительно системы координат Джо, т. е. а постоянна и da/dt=0; таким образом, получаем

dx'/dt=dx/dt и, следовательно,

d²x'/dt²=d²x/dt² Если предположить, что измеряемые Джо и Миком массы равны, то уравнение (11.4а) принимает вид

Таким образом, произведения массы на ускорение одинаковы у обоих друзей. Можно получить и формулу для F_X' . Использовав (11.1), мы обнаружим

. F_x'=F_x.

Следовательно, законы механики, с точки зрения Мика, точно такие же: он пишет законы Ньютона в других координатах, и эти законы оказываются верными. Это означает, что центра Вселенной нет и законы движения выглядят одинаково, с какого бы места они ни наблюдались.

Верно и такое утверждение: если в каком–либо месте установить устройство с каким–то механизмом, то и в любом другом месте это устройство будет работать одинаково. Почему? Потому что любая машина, которую изучает Мик, подчиняется тем же уравнениям, которые описывают работу машины, контролируемой Джо. Поскольку уравнения, одинаковы, то и явления одни ' и те же. Таким образом, доказательство того, что аппарат в новом месте будет работать так же, как на прежнем, сводится к доказательству, что отнесенные к новой точке пространства уравнения воспроизводят себя. Поэтому мы говорим, что законы физики симметричны относительно перемещений в пространстве, симметричны в том смысле, что законы не изменяются при перемещениях начала системы координат. Конечно, каждый интуитивно знает, что это верно, но интересно и полезно обсудить математику этого явления.

§ 3. Вращения

Разобрав вопрос о перенесении начала координат, мы рассмотрели первую задачу из серии более сложных теорем о симметрии физических законов. Следующая теорема утверждает, что и направления координатных осей можно выбрать произвольно. Другими словами, если мы сооружаем где–то какое–то устройство и наблюдаем, как оно работает, а затем по соседству соорудим аналогичное устройство, но расположим его под любым углом относительно первого, то будет ли второе устройство работать так же, как и первое? Вообще говоря, нет, если это, например, старые часы–ходики, известные еще нашим дедам. Если маятник ходиков расположен отвесно, они будут великолепно идти, но если их повернуть так, чтобы маятник уперся в стенку, верного времени они уже не покажут. Значит, нашу теорему нельзя применить к маятнику, если забыть о силе, которая заставляет его качаться. Если мы все–таки верим в симметрию физических законов относительно вращений, то мы должны сделать какие–то вполне определенные предположения о работе ходиков, например что для их работы важен не только часовой механизм, но и что–то, лежащее за его пределами, что–то, что следует обнаружить. Можно также предсказать, что ходики будут идти по–разному, если они попадут куда–то в другое место по отношению к загадочному пока источнику асимметрии (может быть, это Земля). Так и есть на самом деле. Мы знаем, что ходики на искусственном спутнике, например, вообще остановятся, ибо там отсутствует эффективная сила, а на Марсе скорость их хода будет совсем иной. Маятниковые часы содержат, помимо механизма, еще нечто вне их. Осознав этот факт, мы увидим, что вместе с ходиками нам придется повернуть и Землю. Но нам, конечно, незачем беспокоиться – сделать это очень легко. Мы просто подождем минуту или две, и Земля сама повернется, а ходики затикают уже в новом положении так же весело, как и раньше. Пока мы поворачиваемся в пространстве, измеряемые нами углы изменяются тоже; эти изменения не причиняют особых беспокойств, поскольку в новых условиях мы чувствуем себя точно так же, как и в старых. Здесь может скрываться источник ошибки; верно, что в новом, повернутом относительно старого положении законы остаются прежними, но неверно то, что во вращающейся системе координат справедливы те же законы, что и в покоящейся. Если проделать достаточно тонкие опыты, то можно установить, что Земля вращается, но ни один из этих опытов не скажет нам, что Земля повернулась. Другими словами, мы не можем при помощи этих опытов установить ориентацию Земли, но можем сказать, что ориентация изменяется.

Обсудим теперь влияние ориентации системы координат на физические законы. Давайте посмотрим, не будут ли нам снова полезны Мик и Джо. Чтобы избежать ненужных сложностей, предположим, что эти молодые люди находятся в одной точке пространства (мы уже показали, что их системы координат можно перемещать). Пусть оси системы координат Мика повернуты относительно системы координат Джо на угол ?, Обе системы координат изображены на фиг. 11.2, где мы ограничились двумя измерениями.

Фиг. 11.2. Две координатные системы, ориентированные по–разному.

Произвольная точка Р снабжается координатами (х, у) в системе Джо и (х', у') в системе Мика. Как и в предыдущем случае, начнем с того, что выразим координаты х' и у' через х, у и ?. Для этого опустим из Р перпендикуляры на все четыре координатные оси и проведем АВ перпендикулярно PQ. Из чертежа ясно, что х' можно представить как сумму двух отрезков вдоль оси х', а у'– как разность двух отрезков вдоль АВ. Длины этих отрезков выражаются через х, у и 6; мы добавляем еще уравнение для третьей координаты:

х'=хcos?+-уsin?,

y'=ycos? — xsin?, (11.5)

z'=z.

Теперь (мы поступали так и раньше) установим соотношения между силами, измеряемыми двумя наблюдателями. Предположим, что сила F, имеющая (с точки зрения Джо) составляющие F_x и F_y, действует на расположенную в точке Р на фиг. 11.2 частицу массы m. Для простоты сдвинем обе системы координат так, что начала их переместятся в точку Р, как показано на фиг. 11.3. Мик скажет нам, что сила, по его мнению, имеет составляющие F_x' и F_y' вдоль его осей.

Фиг. 11.3, Составляющие сил в двух системах.

Составляющая F_x, как и F_y, имеет составляющие вдоль обеих осей х' и у'. Чтобы выразить F_x' через F_xи F_y, сложим составляющие этих сил вдоль оси х'; точно таким же образом можно выразить и F_y' через F_х и F_y. В результате получим

F_x.=F_xcos?+F_ysm?,

F_y.=F_ycos? — F_xsm?, (11.6)

F_z' = F_z

Интересно отметить случайность, которая в дальнейшем окажется очень важной: формулы (11.5) и (11.6) для координат Р и составляющих F соответственно тождественны по форме. Как и раньше, предположим, что законы Ньютона справедливы в системе координат Джо и выражаются уравнениями (11.1). Снова возникает вопрос: может ли Мик пользоваться законами Ньютона, будут ли их предписания выполняться в повернутой системе координат? Другими словами, если предположить, что уравнения (11.5) и (11.6) дают связь между измеряемыми величинами, то верно ли, что

Чтобы проверить эти уравнения, вычислим левые и правые части независимо, а затем сравним результаты. Чтобы вычислить левые части, умножим уравнения (11.5) на m и продифференцируем их дважды по времени, считая угол 9 постоянным. Это дает

Вычислим правые части уравнений (11.7), подставив (11.1] в уравнения (11.6). Получаем

Глядите! Правые части уравнений (11.8) и (11.9) тождественны; значит, если законы Ньютона верны в одной системе координат, то ими можно пользоваться и в другой системе. Эти рассуждения заставляют нас сделать некоторые важные выводы: во–первых, никто не может утверждать, что избранная им система координат единственна, она может быть, конечно, более удобной при решении частных задач. Например, удобно, но не обязательно взять направление силы тяжести за одну из осей координат. Во–вторых, это означает, что любой механизм, если только он является самостоятельным устройством и обладает всем необходимым для создания силы, будет работать одинаково, как бы его ни повернули.

§ 4. Векторы

Насколько нам известно сейчас, не только законы Ньютона, но и все физические законы обладают двумя свойствами, которые называют инвариантностью (или симметрией) относительно перемещений и поворотов координатных осей. Эти свойства столь важны, что для учета их при изучении физических законов была разработана специальная математическая техника.

Решение поставленных в предыдущих параграфах задач потребовало довольно длинных расчетов. Чтобы свести их к минимуму, изобретен могучий математический аппарат. Эта система, называемая векторным анализом, определила название главы, хотя в ней, собственно говоря, речь идет о симметрии физических законов. Конечно, можно получить искомый результат, поступая так, как было описано раньше, но, чтобы облегчить и ускорить нашу задачу, мы применяем технику векторного анализа.

Заметим, что в физике важно знать величины двух типов (на самом деле их больше двух, но давайте начнем с двух). Величины первого типа, например число картофелин в мешке, мы будем называть обыкновенными числами, или скалярами. Еще одним примером такой величины может служить температура. Другие очень важные в физике величины имеют направление, это, например, скорость; мы должны задать не только быстроту перемещения тела, но и путь, по которому оно движется. Импульс и сила тоже имеют направление, как и смещение: когда кто–нибудь делает шаг, можно сказать не только, как далеко он шагнул, но и куда он шагает, т. е. определить направление его движения.

Все величины, имеющие направление, подобно шагу в пространстве, называются векторами.

Вектор определяется тремя числами. Чтобы описать шаг, скажем из начала координат в точку Р, определяемую координатами х, у и z, мы фактически должны задать три числа. Но мы будем использовать для этой цели один–единственный математический символ r, с которым нам чаще всего придется иметь дело в дальнейшем. Это не одно число: символ r задается тремя числами: х, у и z. Символ r означает три числа, но не только эти три числа, потому что при переходе к другой системе координат нужно заменить их числами х', у' и z'. Однако мы хотим как можно более упростить нашу математику и используем один и тот же символ в качестве представителя трех чисел х, у, z и трех чисел х', у', z'. Точнее говоря, мы используем один и тот же символ в качестве представителя первого набора чисел в одной системе координат и делаем его представителем второго набора чисел, если захотим сменить систему координат. Это удобно потому, что нам не придется изменять формы уравнений при переходе от одной системы координат к другой. Если мы записываем уравнения, используя координаты х, у и r, а затем меняем систему отсчета, то появляются координаты х', у' и z', но мы пишем просто r, условившись, что этот символ служит представителем х, у, z, если мы пользуемся первой системой отсчета, и х', у', z', если мы перешли к другой системе. Три числа, которые описывают векторную величину в заданной системе отсчета, называются составляющими (компонентами) вектора в направлении координатных осей системы отсчета. Иначе говоря, мы используем один символ для обозначения трех букв, и он соответствует наблюдению одного и того же объекта с трех разных точек зрения. Произнося слова «один и тот же объект», мы обращаемся к нашей физической интуиции, которая говорит нам, что шаг в пространстве не зависит от того, какими составляющими мы его описываем. Итак, символ r представляет один и тот же объект независимо от того, как мы ориентируем оси системы отсчета.

Предположим теперь, что существует другая направленная величина, например сила – еще одна величина, которую можно определить, задав связанные с ней три числа. Эти три числа переходят при изменении системы координат в другие три числа по строго определенным математическим правилам. Эти правила должны быть теми же самыми, которые определяли переход тройки чисел х, у, z в х' , у', z'. Другими словами, вектор – это величина, определяемая тремя числами, которые преобразуются при изменениях системы координат так же, как составляющие шага в пространстве. Уравнение типа

F = r

справедливо в любой системе координат, если оно верно хотя бы в одной из них. Оно заменяет нам три уравнения

F_x=x, F_y=y, F_z=z или соответственно

F_х'=х' ,F_у'=у' ,F_z'=z'.

Тот факт, что физические соотношения между какими–либо величинами можно выразить в виде векторных уравнений, говорит о том, что эти соотношения верны в любой системе координат. Вот почему понятие вектора очень удобно в физике.

Давайте теперь рассмотрим некоторые свойства векторов. В качестве примера «вектора» можно указать скорость, импульс, силу и ускорение. Часто бывает удобно изобразить вектор в виде стрелки, указывающей направление действия. Но почему же можно представить силу стрелкой? Да потому, что она преобразуется по тем же законам, что и «шаг в пространстве». Именно поэтому можно представить силу в виде чертежа, как если бы это изображалось перемещение, причем выберем такой масштаб, чтобы единица силы, например ньютон, соответствовала некоторой длине. Проделав такую процедуру однажды, мы всегда сможем изображать силы в виде отрезков, потому что уравнение типа

F=kr

(где k – некоторая постоянная) имеет вполне определенный смысл. Возможность представлять силу отрезком сулит нам большие выгоды, потому что, изобразив отрезок или стрелку, можно не заботиться о координатных осях. При этом, конечно, всегда можно быстро подсчитать, как изменяются составляющие вектора при поворотах осей, потому что дело сводится к простому геометрическому построению.

§ 5. Векторная алгебра

Теперь мы должны описать законы, или правила, 'регулирующие возможные сочетания различных векторов. Прежде всего мы изучим сумму двух векторов. Пусть векторы а и b задаются в какой–нибудь системе координат составляющими а_х, a_y, a_z и b_x, b_y,b_z. Предположим, что кому–то пришло в голову составить три числа а_х+b_x, a_y+b_y, а_г+b_z. Получим ли мы в результате вектор? Вы можете сказать: «Разумеется, ведь это три числа, а три числа образуют вектор». Нет, вектор образуют не любые три числа! Чтобы задать вектор, мы должны связать заданные нам три числа с координатной системой так, чтобы при повороте координатных осей эти числа «поворачивались» относительно друг друга и «перемешивались» по описанным ранее правилам. Таким образом, мы должны выяснить, во что превращаются числа а_х+b_х, а_y+b_y, a_z+b_г, если известно, что при изменении системы координат числа а_х, а_у, a_z переходят в а'_х, а'_у, a'_z, а b_х, b_у, b_г переходят в b'_x, b'_y, b'_г? Получим ли мы после поворота координатных осей числа а'_х+b'_x, a'_y+b'_y, a'_z+b'_z? Ответ, конечно, будет утвердительным, потому что наше основное уравнение (11_:5) определяет так называемое линейное преобразование. Если мы применим это преобразование к а_х и b_х и вычислим а_х+b_x то окажется, что преобразованное а_х+b_х есть то же самое, что и а_х+b_х. «Складывая» векторы а и b по только что описанному правилу, мы получаем новый вектор c. Мы запишем это так:

с=а +b.

Вектор с обладает интересным свойством:

с=b+а;

это легко проверить, написав составляющие вектора с. Кроме того,

а+(b+с)=(а+b) + с.

Векторы можно складывать в любом порядке.

Каков геометрический смысл а+b? Как будет выглядеть вектор с, если мы, скажем, изобразим а и b с помощью стрелок? Ответ на этот вопрос дает фиг. 11.4.

Фиг. 11.4. Сложение векторов.

Мы видим, что прибавить составляющие вектора b к составляющим вектора а проще всего, приложив соответствующим образом прямоугольник, определяемый составляющими b, к такому же прямоугольнику, определяемому составляющими а. Поскольку а и b хорошо подогнаны к своим прямоугольникам, то это все равно, что поставить вектор b «ногами» на «голову» вектору а. Стрелка, соединяющая «ноги» вектора а и «голову» вектора b, и будет вектором с. Можно поступить иначе: поставить «ноги» а на «голову» b. Вспомнив геометрические свойства параллелограмма, можно убедиться в том, что мы снова получим тот же вектор с. Заметим, что, ставя векторы друг на друга, мы складываем их без помощи координатных осей.

Предположим, что мы умножили вектор а на число а. Что нужно понимать под таким произведением? Договоримся понимать под этим вектор с компонентами аа_х, аа_у, aa_z. Докажите сами, что это действительно вектор.

Рассмотрим теперь вычитание векторов. Можно определить вычитание тем же способом, что и сложение, но вместо того, чтобы складывать, будем вычитать составляющие. Можно также определить вычитание как сложение с отрицательным вектором–b=(-1)b. Результат будет тот же.

Вычитание векторов показано на фиг. 11.5.

Фиг. 11,5. Вычитание векторов.

На этом чертеже изображено

d=а–b=а+(-b); заметим также, что, зная векторы а и b, разность а–b можно легко найти из эквивалентного соотношения а=b+d. Таким образом найти разность векторов даже легче, чем сумму: просто нужно провести вектор, соединяющий b и а, и вы получите а–b!

Перейдем теперь к скорости. Почему скорость есть вектор? Если координаты точки равны х, у, z, то скорость ее равна dx/dt, dy/dt, dz/dt. Вектор это или не вектор? Дифференцируя выражение (11.5), можно найти закон преобразования dx'ldt. Видно, что величины dx/dt, dy/dt преобразуются по тому же закону, что и х и у. Таким образом, скорость есть вектор. Выражение для скорости можно записать очень интересно:

v=dr/dt.

Постараемся нагляднее представить себе, что такое скорость и почему она вектор. Далеко ли продвинется частица за малое время ?t? Ответ: на ?r, т. е. если частица находится «здесь» в первое мгновение, а «там» – во второе, то векторная разность положений частицы равна вектору ?r=r₂–r₁. расположенному вдоль направления движения. Как это выглядит, показано на фиг. 11.6. Если разделить этот вектор на промежуток времени ?t = t₂–t₁, то мы получим вектор «средней скорости».

Иначе говоря, под вектором скорости мы понимаем предел разности радиус–векторов, соответствующих моментам t+?t и t, деленной на ?t при ?t, стремящемся к нулю:

Скорость есть вектор постольку, поскольку она равна разности двух векторов. Это верно также и потому, что составляющие этого вектора равны dx/dt, dy/dt, dz/dt. Подумав над тем, что сейчас было проделано, мы придем к выводу, что, продифференцировав любой вектор по времени, мы снова получим какой–то новый вектор. Таким образом, имеется несколько способов получать новые векторы: 1) умножая вектор на постоянное число; 2) дифференцируя вектор по времени; 3) складывая два вектора или вычитая.

§ 6. Законы Ньютона в векторной записи

Чтобы записать законы Ньютона в векторной форме, мы должны поучиться еще кое–чему и определить вектор ускорения. Этот вектор равен производной по времени вектора скорости, причем легко показать, что его составляющие равны вторым производным х, у и z no t:

После этого законы Ньютона можно записать таким образом: или ma = F, (11.13)

m(d²r/dt²)=F (11.14)

Фиг. 11.6. Перемещение частиц за малое время ?t=t₂–t₁,.

Теперь задача о доказательстве инвариантности законов Ньютона относительно вращений сводится к следующему: нужно доказать, что а (ускорение) есть вектор; это мы уже сделали. Затем нужно доказать, что F (сила) есть вектор; это мы предполагаем. Следовательно, если сила есть вектор, то уравнение (11.13) будет выглядеть одинаково во всех системах координат, ибо нам известно, что ускорение тоже вектор. Запись уравнений в виде, не содержащем явно х, у, z, привлекательна тем, что нам нет необходимости выписывать три уравнения каждый раз, когда мы хотим написать законы Ньютона или другие законы физики. Мы записываем то, что выглядит как один закон, хотя фактически, конечно, это три закона для каждой оси системы координат, потому что любое векторное уравнение содержит в себе утверждение, что все составляющие равны.

Тот факт, что ускорение – это скорость изменения вектора скорости, помогает найти ускорение в любых, казалось бы, трудных обстоятельствах. Предположим, например, что частица, двигаясь по какой–то сложной кривой (фиг. 11.7), имеет в момент t₁ скорость v₁, а несколько позже, в момент t₂,скорость v₂. Чему равно ускорение? Ответ: ускорение равно разности скоростей, деленной на малый промежуток времени; значит, нужно знать разность скоростей. Как же найти эту разность? Чтобы найти разность двух векторов, проведем вектор через концы векторов v₂ и v₁, иначе говоря, начертим вектор ? в качестве разности этих двух векторов. Верно? Нет! Мы можем поступать так только тогда, когда начала векторов расположены в одной точке! Вычитать векторы, приложенные к разным точкам, бессмысленно. Остерегайтесь этого! Чтобы вычесть векторы, нужно начертить другую схему. На фиг. 11. 8 векторы v₁ и v₂ перенесены параллельно и равны их двойникам, изображенным на фиг. 11.7.

Фиг. 11 .7. Криволинейная траектория.

Фиг. 11.8, Диаграмма для вычисления ускорения.

Теперь можно поговорить об ускорении. Ускорение, конечно, просто равно ?v/?t. Интересно заметить, что разность скоростей можно разделить на две части: можно представить себе, что ускорение состоит из двух составляющих: ?v_? – вектора, параллельного касательной к пути, и вектора ?v_?, перпендикулярного к этой касательной. Эти векторы показаны на фиг. 11.8. Касательное к пути ускорение равно, естественно, лишь изменению длины вектора, т. е. изменению величины скорости v:

a_?=dv/dt. (11.15)

Другую, поперечную составляющую ускорения легко вычислить, взглянув на фиг. 11.7 и 11.8. За короткое время ?t изменение угла между v₁ и v₂ равно малому углу ??. Если величина скорости равна v, то

?v_?=v??, а ускорение а равно

а_?=v(d?/dt).

Теперь нам нужно знать ??/?t. Эту величину можно найти так: если в данный момент кривую можно приблизительно заменить окружностью радиусом R, то, поскольку за время ?t частица пройдет расстояние s=v?t, изменение угла равно

??=v(?t/R) или ??/?t=v/R.

Таким образом, как мы уже установили ранее,

a=v²/R. (11.16)

§ 7. Скалярное произведение векторов

Давайте еще немного займемся свойствами векторов. Легко понять, что длина шага в пространстве одинакова во всех координатных системах. Следовательно, если какому–то шагу r соответствуют составляющие х, у, z в одной системе координат и составляющие х', у', z' в другой системе, то расстояние r= |r| одно и то же в обеих системах. Сначала мы, конечно, должны ввести два расстояния,

а затем проверить, что эти обе величины равны. Чтобы не возиться с квадратным корнем, будем сравнивать квадраты расстояний. Мы должны, таким образом, показать, что

x²+у²+ z²=x'²+у'²+ г'². (11.17)

Подставив в это уравнение определяемые соотношением (11.5) значения ж', у', z', мы увидим, что это действительно так. Значит, кроме уже изученных нами векторных уравнений, существуют еще какие–то соотношения, верные в любой системе координат.

Незаметно мы получили новый тип величин. Мы можем построить функцию х, у и z, называемую скалярной функцией, – величину, которая не имеет направления, и одинакова в обеих системах координат. Из вектора можно построить скаляр. Хорошо бы найти общее правило для этого построения. Собственно говоря, мы уже нашли это правило: надо возвести в квадрат каждую из составляющих вектора и сложить их. Определим теперь новую величину, которую обозначим а•а. Это не вектор, а скаляр; это число, одинаковое во всех координатных системах и определяемое как сумма квадратов трех составляющих вектора:

a•a=a²_x+ a²_y+a²_z. (11.18)

Вы спросите: «В какой системе координат?» Но раз это число не зависит от системы координат, то ответ одинаков в любой системе координат. Мы имеем дело с новым видом величины, с инвариантом, или скаляром, полученным «возведением вектора в квадрат». Если теперь определить, исходя из векторов а и b, величину

a•b=a_xb_x+a_yb_y+ a_zb_z, (11.19)

то можно убедиться, что эта величина совпадает в штрихованной и нештрихованной системах координат. Чтобы доказать это, заметим, что это верно для величин а•а, b•b и с•с, где с=а+b. Сумма квадратов (a_x+b_x)²+(a_y+b_y)²+(a_z+b_z)² –инвариант:

(а_x+b_x)²+(а_y+b_y)2+(а_z+b_г)² = (а_x'+b_x')² + (a_y'+b_у')²+(a_z,+b_z')². (11.20)

Раскроем скобки в обеих сторонах этого уравнения. Перекрестные произведения дадут нам выражения типа (11.19), а суммы квадратов составляющих а и b – выражения (11.18). Инвариантность слагаемых типа (11.18) приводит к инвариантности перекрестных произведений типа (11.19).

Величина а•b называется скалярным произведением двух векторов а и b и имеет много интересных и полезных свойств. Например, легко доказать, что

а• (b+c)=а•b+а•с. (11.21)

Есть еще очень простой геометрический способ вычисления а•b, при котором не надо определять составляющих а и b; просто а•b есть произведение длин векторов а и b на косинус угла между ними. Почему? Предположим, что мы выбрали такую систему координат, в которой вектор а направлен вдоль оси х; в этом случае вектор а имеет единственную ненулевую составляющую а_х, которая равна длине вектора а. Таким образом, уравнение (11.19) сводится в этом случае к a•b=a_xb_x, что равно произведению длины вектора а на составляющую вектора b по направлению а, которая в свою очередь равна bcos?, т. е.

а•b=abcos?.

Таким образом, в этой частной системе координат мы доказали, что a•b равно произведению длин векторов а и b на косинус угла между ними 9. Но если это верно в одной системе координат, то это верно и во всех системах, потому что а•b не зависит от выбора системы координат.

Что хорошего может дать нам эта новая величина? Нужно ли физику скалярное произведение? Да, оно необходимо ему постоянно. Например, в гл. 4 мы назвали кинетической энергией величину ¹/₂mv², но если частица движется в пространстве, то нужно возвести в квадрат отдельно составляющие скорости х, у и z, так что формулу для кинетической энергии можно записать в виде

к.э.=¹/₂m(v•v)=¹/₂m(v²_x+ v²_y+v²_z). (11.22)

Энергия не имеет направления. Импульс же направление имеет, это – вектор, и он равен произведению массы на вектор скорости.

Другим примером скалярного произведения может служить работа, произведенная силой при перемещении какого–нибудь предмета с одного места на другое. Мы еще не дали определения работы, она равна изменению энергии, прибавке в весе, после того как сила F поработает вдоль пути s:

Работа=F•s. (11.23)

Иногда целесообразно говорить о составляющей вдоль определенного направления (например, вдоль вертикали, потому что это направление силы тяжести). Для этого удобно ввести единичный вектор вдоль интересующего нас направления. Под единичным вектором мы будем понимать вектор, скалярное произведение которого на себя равно единице. Пусть это будет вектор i; тогда i•i=l. Скалярное произведение i•a равно acos?, т. е. оно равно составляющей вектора а вдоль направления i. Это наилучший способ получить составляющую вектора. Поступая так, мы можем найти все составляющие вектора и получить забавную формулу.

Предположим, что нам задана какая–то система координат х, у и z. Введем три вектора: i – единичный вектор вдоль оси х,

j – единичный вектор вдоль оси y и к – единичный вектор вдоль оси z. Ясно, что i•i=l. Чему же равно произведение i•j? Если угол между векторами прямой, то их скалярное произведение равно нулю. Таким образом,

i•i=1,

i•j = 0, j•j=1, (11.24) i•k=0, j•k=0, k•k=l.

Используя эти свойства векторов i, j, k, можно записать любой вектор а в виде

a=a_x•i + a_y•j+ a_z•k. (11.25)

Таким образом, можно от составляющих вектора легко перейти к самому вектору.

Мы изучили далеко не все свойства векторов. Однако, прежде чем углубиться в этот вопрос, научимся сперва применять обсужденные сейчас идеи в физике. И тогда, когда мы хорошо овладеем основным материалом, будет легче продвинуться дальше, не впадая в ошибки. Позднее мы увидим, что удобно определить еще одно произведение двух векторов, которое называется векторным произведением и записывается в виде аXb. Однако обсуждение этого вопроса лучше отложить до следующей главы.

* В книгах вектор обозначается полужирной буквой; в рукописях же используется стрелка:

Глава 12 ХАРАКТЕРИСТИКИ СИЛЫ

§ 1, Что есть сила?

Хотя изучение законов физики интересно и поучительно, хотя они и помогают нам понимать природу и овладевать ее силами, все же порой стоит остановиться и поразмыслить: что же они на самом деле значат? Смысл любого утверждения – вещь, которая издавна, с незапамятных времен, интересовала и тревожила философов, а уж смысл физических законов тем более должен волновать нас, ведь повсеместно считается, что в этих законах таятся некоторые реальные знания. Смысл истины – это глубочайший философский вопрос; всегда важно вовремя спросить: что это значит?

Спросим же: в чем смысл физических законов Ньютона, в чем смысл формулы F=ma? В чем смысл силы, массы и ускорения? Мы интуитивно понимаем, что такое масса; мы можем также определить ускорение, если нам понятно, что такое место и что такое время. Смысл этих понятий мы поэтому не будем обсуждать, а сосредоточимся на новом понятии силы. И здесь ответ тоже весьма прост: если тело ускоряется, значит на него действует сила. Так говорят законы Ньютона, и самое точное и красивое из мыслимых определений силы состояло бы в том, что сила есть масса тела, умноженная на его ускорение.

Имеется, положим, закон, что импульс сохраняется тогда, когда сумма внешних сил равна нулю. И вот у нас спрашивают: «А что это значит: сумма внешних сил равна нулю?» И мы любезно отвечаем: «Когда полный импульс постоянен, то сумма внешних сил равна нулю». Нет, здесь что–то не то. Ведь ничего нового мы при этом не сказали. Обнаружив основной закон, утверждающий, что сила есть масса на ускорение, а потом определив силы как произведение массы на ускорение, мы ничего нового не открываем. Можно также определить силу и на другой манер: движущееся тело, на которое сила не действует, продолжает двигаться по прямой с постоянной скоростью. Тогда, увидев, что тело не движется по прямой с постоянной скоростью, мы можем утверждать, что на него действует сила. Но такие высказывания не могут составить содержание физики: зачем же ей гонять определения по кругу? Несмотря на это, приведенное выше положение Ньютона, по–видимому, самое точное из всех определений силы, одно из тех, которые так много говорят сердцу математика. И все же оно совершенно бесполезно, потому что из одного определения никогда ничего никто не выводил. Можно день–деньской просиживать в кресле, определяя слова по своему хотению, но совсем иное дело – понять, что происходит при столкновении двух шаров или что бывает, когда груз висит на пружинке. Поведение тел и выбор определений – между этими вещами нет ничего общего.

Пусть, например, мы бы решились говорить, что тело, предоставленное самому себе, лежит на месте и не движется; тогда, заметив, что что–то движется, мы бы стали утверждать, будто на него действует «жила» – мера охоты к перемене мест. Мы получили бы прекрасный новый закон, все было бы хорошо, кроме тех случаев, когда действует «жила». Как видите, все было бы подобно нашему определению силы и точно так же не несло бы в себе никакой информации. Истинное же содержание законов Ньютона таково: предполагается, что сила обладает независимыми свойствами в дополнение к закону F=ma; но характерные независимые свойства сил не описал полностью ни Ньютон, ни кто–нибудь еще; поэтому физический закон F=ma– закон неполный. Он подразумевает, что, изучив характеристики величины, определяемой как произведение m на а, мы обнаружим в них некоторую простоту; закон этот дает нам хорошую программу анализа природы, он подсказывает нам, что свойства этой величины – силы – могут оказаться простыми, что ее стоит изучать.

Первый пример таких сил – полный закон тяготения, предложенный Ньютоном. Формулируя свой закон, он отвечал на вопрос: что такое сила? Если бы ничего, кроме тяготения, не существовало, то сочетание этого закона и закона силы (второго закона движения) оказалось бы завершенной теорией. Но, кроме тяготения, существует и многое другое, и мы собираемся пользоваться законами Ньютона во всевозможных положениях. Поэтому нам придется кое–что порассказать о свойствах сил.

К примеру, говоря о силе, мы всегда неявно предполагаем, что когда нет физических тел, то сила равна нулю. Если мы видим, что сила не равна нулю, мы ищем по соседству ее источник. Это предположение совсем не то, что введенная нами «жила».

Одна из важнейших характеристик силы – ее материальное происхождение; и это свойство как раз нельзя считать определением.

Ньютон привел еще одно правило, касающееся сил: силы между взаимодействующими телами равны и противоположны; действие равно противодействию. И это правило, оказывается, не совсем верно. Да и сам закон F=ma не совсем верен; будь он определением, мы бы должны были утверждать, что он точно верен всегда; а на самом деле это не так.

Вы можете заявить: «А мне не нравится эта неточность, я хочу, чтобы все определялось точно, да и во многих книжках написано, что наука – вещь точная, что в ней все определено». Но сколько бы вы ни настаивали на точном определении силы, вы его никогда не получите! Во–первых, и сам Второй закон Ньютона не точен, а во–вторых, чтобы понять физические законы, вы должны усвоить себе раз и навсегда, что все они – в какой–то степени приближения.

Любое простое высказывание является приближенным; в виде примера рассмотрим некоторый предмет… кстати, что такое предмет? «Философы» всегда отвечают: «Ну, например, стул».

Стоит услышать это и сразу становится ясно, что они сами не понимают того, о чем говорят. Что есть стул? Стул имеет определенную массу… Определенную? Насколько определенную? Из него время от времени вылетают атомы – немного, но все же! На него садится пыль, из него сыплется труха, да и лак со временем сходит. Четко определить стул, сказать точно, какие атомы принадлежат ему, какие – воздуху, а какие – лаку, невозможно. Значит, массу стула можно определить лишь приближенно. Точно так же невозможно определить массу отдельного предмета, ибо таких предметов не существует, в мире нет одиноких, обособленных объектов; любая вещь есть смесь множества других, и мы всегда имеем дело с рядом приближений и идеализации. Вся суть в идеализации. В очень хорошем приближении (около 1 к 10¹⁰) количество атомов стула за минуту не меняется. Если вас эта точность устраивает, вы имеете право считать массу стула постоянной. Точно так же можно идеально изучить и характеристики силы, стоит только не гнаться за точностью. Вас может не удовлетворить этот приближенный взгляд на природу, который пытается выработать физика (все время стремясь повысить точность приближений), вы можете предпочесть математическое определение, но оно никогда не действует в реальном мире. Математические определения хороши для математики – там можно полностью и до конца следовать логике, а физический мир сложен. Мы об этом уже говорили, приводя такие примеры, как океанские волны и бокал вина. Пытаясь разделить их на части, мы толкуем отдельно о массе вина и отдельно о массе бокала. Но как можно узнать, где одно, где другое, раз одно растворимо в другом? И сила, действующая на обособленный предмет, уже включает неточность, и всякая система рассуждений о реальном мире, по крайней мере сегодня, предполагает разного рода приближения.

Эта система ничем не похожа на математические рассуждения. В них все может быть определено, и в итоге всегда не известно, о чем говорят.

Действительно, ведь все великолепие математики в том и состоит, что в ней мы не знаем, о чем толкуем. Ее законы, ее доказательства, ее логика не зависят от того, чего они касаются, – и в этом своя, особая красота. Когда вы имеете другую совокупность объектов, подчиняющихся той же системе аксиом, что и евклидова геометрия, то вы можете выдвинуть новые определения и делать выводы, сообразуясь с правильной логикой, – все следствия окажутся правильными, и совершенно неважно, чего они касаются. А в природе? Когда вы проводите линию или провешиваете ее при помощи луча света и теодолита (как это делается на геодезических съемках) – следует ли природа Евклиду? Нет, вы делаете приближение; крест на объективе имеет определенную толщину, а геометрическая линия – никакой; значит, применять ли в съемках евклидову геометрию или нет – это вопрос физики, а не математики.

Конечно, с экспериментальной (а не математической) точки зрения вам нужно знать, применимы ли законы Евклида к тому роду геометрии, которую вы используете, измеряя окрестности; вы предполагаете, что да, применимы. И, действительно, они прекрасно работают; прекрасно, но не точно, потому что ваши съемочные линии– это не настоящие геометрические линии. Приложимы или нет абстрактные евклидовы прямые к линиям, провешиваемым на опыте, – есть дело самого опыта; на этот вопрос чистым рассуждением не ответить.

Точно таким же образом вы не можете назвать F=ma определением, вывести из него все чисто математически и сделать механику математической теорией: механика – это описание природы. Выдвигая подходящие постулаты, всегда можно создать математическую систему вроде евклидовой, но вы не можете создать математики мира; рано или поздно вам пришлось бы отвечать на вопрос: выполняются ли эти аксиомы на объектах природы? И вы немедленно завязли бы среди этих запутанных, «нечистых» реальных предметов, – правда, добиваясь все большей и большей точности приближений.

§ 2. Трение

Итак, чтобы по–настоящему понять законы Ньютона, мы должны обсудить свойства сил; цель этой главы – начать это обсуждение и составить своего рода дополнение к законам Ньютона. Мы уже знакомы со свойствами ускорения и с другими сходными представлениями, теперь же нам предстоит заняться свойствами сил. Из–за сложности их мы в этой главе (в отличие от прежних) не будем гнаться за точными формулировками. Чтобы начать с конкретной силы, рассмотрим сопротивление, которое воздух оказывает летящему самолету. Каков закон этой силы? (Мы обязаны найти его; ведь закон существует для каждой силы!) Едва ли только он будет прост. Стоит представить себе торможение воздухом самолета – свист ветра в крыльях, вихри, порывы, дрожание фюзеляжа и множество других сложностей, – чтобы понять, что этот закон вряд ли выйдет простым и удобным. Тем замечательней тот факт, что у силы очень простая закономерность: F?cv² (постоянная, умноженная на квадрат скорости).

Каково же положение этого закона среди других? Подобен ли он закону F=ma? Отнюдь. Во–первых, он эмпирический, и получен он грубыми измерениями в аэродинамической трубе. Но вы возразите: «Что ж, закон F=ma тоже мог бы быть эмпирическим». Но разве в этом дело? Различие не в эмпиричности, а в том, что, насколько мы понимаем, этот закон трения есть результат множества влияний и в основе своей ничуть не прост. Чем больше мы станем его изучать, чем точнее мерить, тем сложней (а не проще) представится он нам. Иными словами, все глубже вникая в закон торможения самолета, мы все ясней будем понимать его «фальшь». Чем глубже взгляд, чем аккуратней измерения, тем усложненной становится истина; она не предстанет перед нами как итог простых фундаментальных процессов (впрочем, мы и с самого начала об этом догадывались). На очень слабых скоростях (самолету, например, они даже недоступны) закон меняется: торможение уже зависит от скорости почти линейно. Или, к примеру, торможение шара (или пузырька воздуха или чего–нибудь еще) за счет трения о вязкую жидкость (наподобие меда), – оно тоже при малых скоростях пропорционально скорости, а на больших, когда образуются вихри (не в меде, конечно, а в воде или воздухе), опять возникает примерная пропорциональность квадрату скорости (F=cv²); при дальнейшем росте скорости и это правило не годится. Можно, конечно, говорить: «Ну, здесь слегка меняется коэффициент». Но ведь это просто уловка.

Во–вторых, есть и другие сложности: можно ли, скажем, эту силу делить на части, – на силу трения крыльев, фюзеляжа, хвоста и т. д.? Конечно, когда нужно бывает узнать вращательные моменты, действующие на части самолета, то так делать можно, но тогда уж надо иметь специальный закон трения для крыльев и т. д. И выясняется тот удивительный факт, что сила, действующая на крыло, зависит от другого крыла, т. е. если убрать самолет и оставить в воздухе одно крыло, то сила будет совсем не такой, какой она была бы, если бы в воздухе был весь самолет, Причина, конечно, в том, что ветер, бьющий в нос самолета, стекает на крылья и меняет силу торможения. И хотя кажется чудом, что существует такой простой, грубый эмпирический закон, пригодный для создания самолетов, но он не из тех законов физики, которые называют основными: по мере углубления он становится все сложней и сложней. Какое–нибудь изучение зависимости коэффициента c от формы носа самолета сразу разрушает его простоту. Никакой простой зависимости не остается. То ли дело – закон тяготения: он прост, и дальнейшее его углубление только подчеркивает это.

Мы только что говорили о двух типах трения, возникающих в результате быстрого движения в воздухе или медленного в меде. Но есть еще вид трения – сухое, или трение скольжения: о нем говорят тогда, когда одно твердое тело скользит по другому. Чтобы продолжать движение, такому телу нужна сила. Ее называют силой трения. Происхождение ее – вопрос очень запутанный. Обе соприкасающиеся поверхности неравномерны, если разглядывать их на атомном уровне. В точках соприкосновения атомы сцепляются; при нажиме на тело сцепка рвется и возникают колебания (во всяком случае, происходит нечто похожее). Прежде думали, что механизм трения несложен: поверхность покрыта неровностями и трение есть результат подъема скользящих частей на эти неровности; но это неправильно, ведь тогда бы не было потерь энергии, а на самом деле энергия на трение тратится. Механизм потерь иной: неровности при скольжении сминаются, возникают колебания и движение атомов, и тепло растекается по обоим телам. И здесь крайне неожиданным оказывается, что эмпирически это трение можно приближенно описать простым законом. Сила, нужная для того, чтобы преодолевать трение и тащить один предмет по поверхности другого, зависит от силы, направленной по нормали (но перпендикуляру) к поверхностям соприкосновения. В довольно хорошем приближении можно считать, что сила трения пропорциональна нормальной силе с более или менее постоянным коэффициентом:

F=?N, (12.1)

где ? – коэффициент трения (фиг. 12.1).

Фиг. 12.1. Соотношение между силой трения и нормальной составляющей силы при скольжении.

Хотя коэффициент ? не очень постоянен, эта формула оказывается хорошим эмпирическим правилом, позволяющим прикидывать, какая сила понадобится в тех или иных практических или инженерных обстоятельствах. Только когда нормальная сила или быстрота движения очень уж велика, закон отказывает: выделяется чересчур много тепла. Важно понимать, что у любого из этих эмпирических законов есть ограничения, вне которых они не работают.

Приближенную справедливость формулы F=?N можно засвидетельствовать простым опытом. Положим брусок весом W на плоскость, наклоненную под углом 6. Подымем плоскость круче, пока брусок под тяжестью собственного веса не соскользнет с нее. Составляющая веса вниз вдоль плоскости Wsin9 равна силе трения F, раз брусок скользит равномерно. Слагающая веса, нормальная к плоскости, это Wcos9; она и есть нормальная сила N. Формула превращается в Wsin?=?Wcos?, откуда ?=sin?/cos? = tg?. Согласно этому закону, при определенном наклоне плоскости брусок начинает скользить. Если брусок нагрузить дополнительным весом, то все силы в формуле возрастут в той же пропорции, и W из формулы выпадет. Если величина ? не изменилась, то нагруженный брусок опять соскользнет при таком же наклоне. Определив из опыта угол ?, убедимся, что при большем весе бруска скольжение все равно начинается на том же угле наклона. Даже если вес возрос многократно, это правило соблюдается. Мы приходим к заключению, что от веса коэффициент трения не зависит.

Когда проделываешь этот опыт, легко заметить, что при правильном угле наклона 8 брусок скользит не непрерывно, а с остановками: на одном месте он застрянет, а на другом рванется вперед. Такое поведение есть признак того, что коэффициент трения только грубо можно считать постоянным: он меняется от места к месту. Столь же неуверенное поведение наблюдается и при изменении нагрузки бруска. Различия в трении возникают от разной гладкости или твердости частей поверхности, от грязи, ржавчины и прочих посторонних влияний. Таблицы, в которых перечислены коэффициенты трения «стали по стали», «меди по меди» и прочее, – все это сплошное надувательство, ибо в них этими мелочами пренебрегают, а ведь они–то и определяют значение ?. Трение «меди о медь» и т. д. – это на самом деле трение «о загрязнения, приставшие к меди».

В опытах описанного типа трение от скорости почти не зависит. Многие верят, что трение, которое нужно преодолеть, чтобы привести предмет в движение (статическое), больше силы, необходимой для поддержания уже возникшего движения (трение скольжения). Но на сухих металлах трудно заметить какую–либо разницу. Мнение это порождено, вероятно, опытами, в которых присутствовали следы масла или смазки, а может быть, там бруски закреплялись пружинкой или чем–нибудь гибким, как бы привязываясь к опоре.

Очень трудно добиться точности в количественных опытах по трению, и до сей поры трение не очень хорошо проанализировано, несмотря на огромное значение такого анализа для техники. Хотя закон F=?N для стандартных поверхностей почти точен, причину такого вида закона на самом деле не понимают. Чтобы показать, что ? мало зависит от скорости, нужны особо тонкие эксперименты, потому что от быстрых колебаний нижней поверхности видимое трение сильно падает. В опытах на больших скоростях надо заботиться, чтобы тела не дрожали, а то видимое трение сразу уменьшается. Во всяком случае, этот закон трения относится к тем полуопытным законам, которые поняты не до конца и не становятся понятней, несмотря на огромные усилия. Оценить коэффициент трения между двумя веществами сейчас практически никому не под силу.

Раньше было уже сказано, что попытки измерить ? при скольжении чистых веществ (медь по меди) ведут к сомнительным результатам, потому что соприкасающиеся поверхности – не чистая медь, а смеси окислов и прочих загрязнений. Если мы хотим получить совершенно чистую медь, если мы вычистим и отполируем поверхности, дегазируем вещество в вакууме и соблюдем все необходимые предосторожности, то все равно ? мы не получим. Потому что два куска меди слипнутся, и тогда хоть ставь плоскость торчком! Коэффициент ?, для умеренно жестких поверхностей обычно меньший единицы, тут вырастает до нескольких единиц! Причина такого неожиданного поведения вот в чем: когда соприкасаются атомы одного сорта, то они не могут «знать», что они принадлежат разным кускам меди. Будь там между ними другие атомы (атомы окислов, смазки, тонких поверхностных слоев загрязнений), тогда атомам меди было бы «ясно», находятся ли они на одном куске или на разных. Вспомните теперь, что именно из–за сил притяжения между атомами медь является твердым веществом, и вам станет понятно, почему невозможно правильно определить коэффициент трения для чистых металлов.

То же явление наблюдается в простом домашнем опыте со стеклянной пластинкой и бокалом. Поставьте бокал на пластинку, накиньте на него петлю и тяните; он неплохо скользит и коэффициент трения чувствуется; конечно, этот коэффициент слегка нерегулярен, но все же это коэффициент. Увлажните теперь пластинку и ножку бокала и потяните; вы почувствуете, что они слиплись. Внимательно вглядевшись, можно обнаружить даже царапины. Дело в том, что вода может удалять жир и прочие вещества, засоряющие поверхность; остается чистый контакт стекло – стекло. Этот контакт настолько хорош, что разорвать его не так–то просто: нарушить его трудней, чем вырвать кусочки стекла, вот и возникают царапины.

§ 3. Молекулярные силы

А теперь перейдем к характеристике молекулярных сил. Это силы, действующие между атомами; ими в конечном счете и вызывается трение. Классической физике так и не удалось удовлетворительно объяснить молекулярные силы. Чтобы их полностью понять, понадобилась квантовая механика. Эмпирически, однако, силу, действующую между двумя атомами, можно изобразить примерно так, как на фиг. 12.2, где эта сила F представлена как функция расстояния r между атомами.

Фиг. 12.2. Сила, действующая между двумя атомами, как функция расстояния между ними.

Бывают и другие случаи: в молекуле воды, например, отрицательные заряды размещены главным образом на атоме кислорода и центры положительных и отрицательных зарядов оказываются не в одной точке, поэтому соседние молекулы испытывают действие сравнительно больших сил. Называют эти силы диполь–дапольными. Но во многих системах заряды сбалансированы куда лучше, в частности в газообразном кислороде они почти симметричны. В этом случае, хоть минус–и плюс–заряды рассеяны по молекуле, распределение их таково, что центры минус–и плюс–зарядов совпадают. Молекулы, центры которых не совпадают, называются полярными; произведение заряда на промежуток между центрами называется диполъным моментом. У неполярных молекул центры зарядов совпадают. Для них для всех оказывается, что, хотя суммарный общий заряд равен нулю, сила на больших расстояниях ощущается как притяжение и изменяется обратно пропорционально седьмой степени удаления, т. е. F=k/r⁷, где k – постоянная, зависящая от типа молекул. Почему это так, вы узнаете тогда, когда выучите квантовую механику. У диполей силы притяжения еще заметнее. И наоборот, если атомы или молекулы тесно сблизить, они очень сильно отталкиваются; именно по этой причине мы не проваливаемся на нижний этаж!

Эти молекулярные силы можно увидеть почти непосредственно и в опыте со скольжением бокала по стеклу, и в опыте с двумя тщательно отшлифованными и пригнанными плоскими поверхностями. Примером таких поверхностей могут служить плитки Иоганссона, которыми пользуются в машиностроении как стандартами для точных измерений длин. Если, прижав одну из плиток к другой, осторожно поднять верхнюю плитку, то нижняя тоже поднимется. Ее поднимут молекулярные силы, демонстрируя прямое притяжение атомов одной плитки к атомам другой.

И все же эти молекулярные силы притяжения не являются фундаментальными в том смысле, в каком фундаментально тяготение; они возникают в итоге неимоверно сложного взаимодействия всех электронов и ядер одной молекулы со всеми электронами и ядрами другой. Никакой простой формулы, которая бы учитывала все эти сложности, нельзя получить, так что это явление не фундаментальное.

Именно потому, что молекулярные силы притягивают на большом удалении и отталкивают на малом (см. фиг. 12.2), и существуют твердые тела; их атомы скреплены воедино взаимным притяжением, но держатся все же на расстоянии друг от друга (если их сблизить, сразу включается отталкивание). На том расстоянии d, где кривая на фиг. 12.2 пересекает ось r, сила равна нулю, т. е. наступает равновесие; на этом расстоянии и располагается молекула от молекулы. Если молекулы сблизить теснее, чем на расстояние d, то возникает отталкивание, изображенное частью кривой выше оси r. Но даже для ничтожного сближения требуются огромные силы, потому что кривая круто идет вверх на расстояниях, меньших d. А стоит чуть развести молекулы, как начинается слабое притяжение, возрастающее по мере удаления. Если же их резко потянуть, то они навсегда отделятся и связь разорвется.

Когда молекулы лишь слегка сводят или слегка разводят от положения равновесия d, то маленький участок кривой близ этого положения можно считать за прямую линию. Поэтому часто обнаруживается, что при небольших сдвигах сила пропорциональна смещению. Этот принцип известен как закон Гука, или закон упругости; он утверждает, что силы, стремящиеся после деформации тела вернуть его в начальное состояние, пропорциональны этой деформация. Закон, конечно, соблюдается лишь тогда, когда деформации малы; когда они велики, тело либо разорвется, либо сломается, смотря по характеру деформаций. Величина силы, до которой закон Гука еще действует, зависит от материала; скажем, у теста или замазки она очень мала, у стали – относительно велика. Закон Гука легко можно продемонстрировать на длинной стальной спиральной пружине, подвешенной вертикально. Грузик на нижнем конце пружины слегка раскручивает витки проволоки и тем самым немного оттягивает вниз каждый виток, приводя в общем на большом числе витков к заметному смещению. Если измерить общее удлинение пружины, скажем от гирьки весом 100 г, то окажется, что каждые добавочные 100 г груза вызовут примерно такое же удлинение, что и первые 100 г. Это постоянство отношения силы к смещению нарушается, когда пружина перегружена; тогда закон Гука больше не выполняется.

§ 4. Фундаментальные силы. Поля

Мы хотим побеседовать теперь об оставшихся фундаментальных силах. Называем мы их фундаментальными потому, что законы их действия фундаментально просты. Сперва рассмотрим электрическую силу.

Тела несут в себе электрические заряды, которые состоят просто из электронов и протонов. Если два тела заряжены, меж ними действует электрическая сила; если величины зарядов равны соответственно q₁ и q₂, то сила изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между зарядами

F=(const) •q₁q₂/r².

Для разноименных зарядов этот закон похож на закон тяготения, но для одноименных сила становится отталкивающей и ее знак (направление) меняется. Сами заряды q₁ и q₂ могут быть и положительными и отрицательными; практически, пользуясь формулой, можно получить правильный знак силы, если поставить возле q их знаки. Сила направлена вдоль отрезка, соединяющего заряды. Коэффициент в формуле зависит, конечно, от выбора единиц силы, заряда и длины. Обычно заряд измеряют в кулонах, промежуток – в метрах, а силу – в ньютонах. Чтобы получить силу в ньютонах, константа (по историческим причинам ее пишут в виде ¹/₄??) должна принимать численное значение

¹/₄??= 8,99•10⁹ньютон•м²/кулон², (а) т. е.

?= 8,854•10^–12кулон2 /ньютон•м². (б)

Итак, закон силы для покоящихся зарядов имеет вид

F=q₁q₂r/4??r³ (12 2)

В природе самый важный из всех зарядов – это заряд отдельного электрона, он равен 1,60•10^–19кулон. Кто работает не с большими зарядами, а с электрическими силами между фундаментальными частицами, те предпочитают как–то выделить сочетание (q_эл)²/4??, в котором q_эл определяется как заряд электрона. Это сочетание часто встречается, и для упрощения расчетов его обозначают ?²; его численное значение в системе СИ оказывается равным (1,52•10^–14)². Удобство пользования константой в этой форме заключается в том, что сила в ньютонах, действующая между двумя электронами, запишется просто как ?²/r² (r дано в метрах), без каких–либо коэффициентов. На самом деле электрические силы намного сложней, чем следует из этой формулы, потому что формула относится к покоящимся телам. Сейчас мы рассмотрим более общий случай.

Анализ фундаментальных сил (не сил трения, а электрических сил или сил тяготения) связан с интересным и очень важным понятием.

Теория этих сил намного сложнее, чем об этом следует из закона обратных квадратов. Закон этот действует лишь тогда, когда взаимодействующие тела находятся в покое. Поэтому нужен усовершенствованный метод обращения с очень сложными силами – силами, которые возникают, когда тела начинают двигаться запутанным образом. Как оказалось, для анализа сил такого типа очень полезен подход, основанный на введении понятия «поля». Чтобы пояснить мысль на примере, скажем, электрической силы, положим, что в точке Р находится заряд q₁, а в точке R–заряд q₂. Сила, действующая между зарядами, равна

F=q₁q₂r/r². (12.3)

Чтобы проанализировать эту силу при помощи понятия поля, мы говорим, что заряд q₁ в точке Р создает в точке R такие «условия», при которых заряд q₂, попадая в R, «ощущает» действие силы. Это один из мыслимых путей описания действия силы. Может быть, он выглядит странно: мы говорим, что действие силы F на заряд q₂ в точке R можно разбить на две части – на q₂ и Е, причем величина Е существует в точке R безотносительно к тому, есть ли там заряд или нет (лишь бы все прочие заряды были на своих местах). Величина Е есть «условие», созданное зарядом q₁, a F – ответ, отклик заряда q₂ на Е. Величину Е называют электрическим полем. Это – вектор. Формула для электрического поля Е, созданного в точке R зарядом q₁ находящимся в точке Р, такова: заряд q₁, умноженный на постоянную ¹/₄??, деленный на r² (r – расстояние от Р до R); поле действует по направлению радиус–вектора (вектор направпения радиус–вектора – это радиус–вектор, деленный на свою длину). Таким образом, выражение для Е таково:

Е=q₁r/4??r³ . (12.4)

А затем мы пишем

F =q₂E, (12.5)

т. е. связываем силу, поле и заряд в поле. В чем же суть всего этого? Суть в том, что анализ разделяется на две части. Одна часть говорит, что что–то создает поле, а другая – что оно действует на что–то. Позволяя нам рассматривать две части независимо, это разделение упрощает во многих случаях расчеты трудных задач. Когда зарядов много, то сперва мы рассчитываем суммарное электрическое поле, создаваемое этими зарядами в R, а потом, зная величину заряда, помещенного в R, находим силу, действующую на него.

Да и в случае тяготения мы можем сделать то же самое. Сила теперь F=-Gm₁m_zr/r³. Анализ полностью совпадает: сила притяжения тела в поле тяготения равна произведению массы тела на поле С. Сила, действующая на m₂, равна массе т₂, умноженной на поле С. созданное массой m₁, т. е. F = m₂C. Значит, поле С, создаваемое массой m₁, есть С =-Gm₁r/r³; оно, как и электрическое поле, направлено по радиусу.

Такое разделение на две части не так уж тривиально, как могло бы показаться на первый взгляд. Оно было бы тривиальным, было бы просто иной записью того же самого, если бы законы действия сил были совсем просты, но они очень сложны, и оказывается, что поле настолько реально, что почти не зависит от объектов, создающих его. Можно колебать заряд, и влияние этого (поле) скажется на расстоянии. Если колебания прекратятся, в поле все равно будут ощущаться следы этих колебаний, потому что взаимодействие двух частиц не происходит мгновенно. Оттого и желательно уметь запоминать, что здесь раньше происходило. Если сила действия на заряд зависит от того, где другой заряд был вчера и каким он тогда был, то должна быть возможность проследить за тем, что было вчера; в этом и состоит сущность поля. Чем сложнее силы, тем реальней поле, и наша техника разделения становится все менее и менее искусственной.

Желая анализировать силы при помощи полей, мы нуждаемся в законах двоякого рода. Первые–это отклик на поле. Они дают нам уравнения движения. Например, закон отклика массы на поле тяжести состоит в том, что сила равна массе, умноженной на поле тяжести, или если тело еще и заряжено, то отклик заряда на электрическое поле равен заряду, умноженному на электрическое поле. Вторая часть анализа природы в таких положениях – это формулировка законов, определяющих напряженность поля и способ его возникновения. Эти законы иногда называют уравнениями поля, В нужный момент мы с ними познакомимся, а пока скажем о них лишь несколько

слов.

Вот вам для начала самое замечательное свойство поля, оно абсолютно точно и легко усваивается. Общее электрическое поле, создаваемое группой источников, есть векторная сумма полей, создаваемых по отдельности первым, вторым и т. д. источниками. Иными словами, когда поле создано множеством зарядов и если отдельное поле первого есть Е₁, а второго –Е₂ и т. д., то мы должны просто сложить эти векторы, чтобы получить общее поле. Принцип этот выражается в виде

Е = Е₁ + Е₂ + Е₃ + … (12.6) или, в согласии с определением поля,

Можно ли эти методы применить к тяготению? Силу притяжения двух масс m₁ и m₂ Ньютон выразил в виде F=-Gm₁m₂r/r³. Но в соответствии с понятием поля можно сказать, что m₁ создает поле С во всем окружающем пространстве и сила, притягивающая m₂, равна

F = m₂C. (12.8)

По аналогии с электричеством

и тогда поле тяжести нескольких масс равно

С = С₁+С₂+С₃+.. . (12.10)

В гл. 7, где рассматривалось движение планет, мы по существу использовали именно этот принцип. Мы складывали все векторы сил, чтобы обнаружить общую силу, действующую на планету. Разделив на ее массу, мы и получим (12.10).

Уравнения (12.6) и (12.10) выражают так называемый принцип суперпозиции, или наложения полей. Этот принцип провозглашает, что общее поле нескольких источников есть сумма полей, создаваемых каждым из них. Насколько нам ныне известно, закон этот в электричестве наверняка выполняется даже тогда, когда заряды движутся и закон сил усложняется. Бывают иногда кажущиеся нарушения, но внимательный анализ всегда доказывает, что просто забыли какой–нибудь из движущихся зарядов. Но в отличие от электрических зарядов для сильных полей тяжести он не совсем точен. В теории тяготения Эйнштейна доказывается, что уравнение Ньютона (12.10) соблюдается лишь приближенно.

С электричеством тесно связана сила другого рода, называемая магнитной; ее тоже можно анализировать через понятие поля. Некоторые из качественных связей между этими силами видны в опыте с электронной трубкой (фиг. 12.3).

Фиг. 12.3. Электронная трубка.

На одном конце трубки помещен источник, испускающий поток электронов, а внутри имеется устройство, разгоняющее электроны до большой скорости и посылающее часть их на светящийся экран на другом конце трубки. Световое пятно в центре экрана, в месте ударов электронов, позволяет проследить за их путем. На пути к экрану пучок проходит сквозь узкую щель между параллельными металлическими пластинами, расположенными, допустим, плашмя. К пластинам подведено напряжение, позволяющее любую из них заряжать отрицательно. Напряжение создает между пластинами электрическое поле.

В первой части опыта отрицательное напряжение подается на нижнюю пластину, т. е. на ней образуется избыток электронов. Одноименные заряды отталкиваются, и поэтому светящееся пятно на экране взлетает внезапно вверх. (Можно сказать и иначе: электроны «чувствуют» ноле и отвечают отклонением вверх.) Затем переключим напряжение и зарядим отрицательно уже верхнюю пластину. Световое пятно на экране опустится вниз, показывая, что электроны пучка отталкиваются электронами верхней пластины. (Иначе говоря, электроны «ответили» на изменение направления поля.)

Во второй части опыта напряжение на пластины уже не подается, а вместо этого проверяется влияние магнитного поля на электронный пучок. Для этого необходим подковообразный магнит, достаточно широкий, чтобы «оседлать» практически всю трубку. Предположим, что мы подвели магнит снизу к трубке, обхватили им ее и направили полюсы кверху (в виде буквы U). Мы замечаем, что пятно на экране смещается, скажем кверху, когда магнит приближается снизу. Выходит, что магнит отталкивает пучок. Но не так все просто: если мы перевернем магнит, не переставляя его сторон, и приблизим его к трубке сверху, то пятно снова сдвинется вверх, т. е. вместо отталкивания наступило притяжение. А теперь вернем магнит в первоначальное положение, когда он обхватывал трубку снизу. Да, пятно по–прежнему отклоняется кверху; но повернем магнит на 180° вокруг вертикальной оси, чтобы он имел вид буквы U, но уже с переставленными полюсами. Смотрите–ка, пятно прыгает вниз и остается там, даже если мы переворачиваем теперь U вверх ногами.

Чтобы понять такое своеобразное поведение, нужно придумать какую–то иную комбинацию сил. Объясняется все это вот как. Вдоль магнита, от полюса к полюсу, тянется магнитное поле. Оно направлено всегда от одного определенного полюса (который можно снабдить какой–нибудь меткой) к другому. Вращение магнита вокруг его оси не меняет направления поля, а перестановка полюсов местами меняет. Например, если электроны летят горизонтально по оси х, а магнитное поле тоже горизонтально, но направлено по оси у, то магнитная сила, действующая на движущийся электрон, направлена по оси z (вверх или вниз, это уже зависит от того, как направлено поле – по оси у или против нее).

Мы пока не дадим полного закона сил взаимодействия зарядов, движущихся друг относительно друга в произвольных направлениях, потому что он чересчур сложен, но зато приведем формулы для случая, когда поля известны. Действие силы на заряженный предмет зависит от его движения; когда предмет неподвижен, сила, действующая на него, считается пропорциональной заряду с коэффициентом, называемым электрическим полем. Когда тело движется, сила изменяется, и поправка, новый «кусок» силы, оказывается линейно зависящей от скорости и направленной поперек скорости v и поперек другой векторной величины – магнитной индукции В. Когда составляющие электрического поля Е и магнитной индукции В суть соответственно (Е_х, Е_у, Е_г,) и (В_х, B_y, B_z), a составляющие скорости v суть (v_x, v_y, v_z), то составляющие суммарной электрической и магнитной сил, действующих на движущийся заряд q, таковы:

Если случайно магнитное поле имеет только компоненту B_y, а скорость – только v_x, то у магнитной силы остается составляющая вдоль z, поперек В и у.

§5 Псевдосилы

Очередной тип сил, который нам предстоит рассмотреть, – это псевдосилы.

В гл. 11 мы обсудили взаимоотношение двух молодых людей, Джо и Мика, обладателей различных систем координат. Пусть положение частицы по измерениям Мика есть x, а Джо дает для нее х'; тогда связь между ними такова:

x=x'+s, y=y' z=z',

где s показывает, насколько сместилась система Джо относительно системы Мика. Пусть у Мика в системе выполняются законы движения. Как они выглядят для Джо? Сперва мы обнаружим, что

Раньше мы считали s постоянной и убедились, что законы движения при этом не меняются, так как ds/dt=0; в конечном счете в обеих системах все законы физики одинаковы. Но пусть s = ut, где u – постоянная скорость движения по прямой. Тогда s непостоянна и ds/dt – не нуль, а u, т. е. константа. Но ускорение d²x/dt² такое же, как d²x'/dt², потому что du/dt =0. Этим доказывается закон, использованный в гл. 10, а именно: когда мы движемся по прямой с постоянной скоростью, все законы физики выглядят так, как если бы мы стояли. Это преобразование Галилея. А теперь мы хотим рассмотреть случай поинтереснее, когда s зависит от времени еще сложнее, например s=at²/2. Тогда ds/dt=at, а d²s/dt²=a, т. е. ускорение постоянно; можно рассмотреть также случай, когда ускорение само оказывается функцией времени. Это значит, что хотя закон силы с точки зрения Джо выглядит как

но закон силы, по мнению Мика, иной:

Иначе говоря, поскольку система координат Мика ускоряется по отношению к системе Джо, появляется добавочный член ma. Чтобы работать с законами Ньютона, Мик обязан подправить силы, ввести в них этот член. Другими словами, появляется кажущаяся, мистическая, новая сила неведомого происхождения; она возникает, конечно, из–за того, что у Мика координатная система неправильна. Это – пример псевдосилы; с другими примерами можно встретиться, если система координат вращается.

Примером псевдо- (как бы-, вроде-) силы является хорошо известная «центробежная сила». Наблюдатель во вращающейся системе координат (во вращающемся ящике) обнаружит таинственные силы, не вызываемые ни одним из известных источников сил; они отбрасывают предметы к стенке ящика. А объясняются они просто тем, что у наблюдателя нет ньютоновой системы координат – простейшей из всех.

Псевдосилы обнаруживаются на любопытном опыте, состоящем в том, что мы толкаем с ускорением кувшин с водой по столу. Тяжесть действует на воду вниз, но из–за горизонтального ускорения есть еще и псевдосила в горизонтальном направлении, назад по отношению к ускорению. Сумма силы тяжести и псевдосилы образует угол с вертикалью, во время ускорения поверхность воды перпендикулярна к этой сумме сил, т. е. наклонена под углом к столу, и вода приподнята к задней стенке кувшина. Когда мы перестаем толкать кувшин, когда он замедляется вследствие трения, псевдосила меняет свое направление и вода приливает к передней стенке кувшина (фиг. 12.4).

Фиг. 12.4. Иллюстрация к псевдосилам

Очень важным свойством псевдосил следует считать то, что они всегда пропорциональны массам; то же справедливо и для тяжести. Существует поэтому возможность, что тяжесть – это тоже псевдосила. Не может ли статься, что тяготение вызывается отсутствием правильной системы координат? Ведь мы всегда можем получить силу, пропорциональную массе, стоит только представить, что тело ускоряется. Например, человек, помещенный в ящик, который стоит на земле, обнаруживает, что его что–то прижимает к полу с силой, пропорциональной его массе. Если бы земли не было вовсе, а ящик все еще покоился, то человек плавал бы в пространстве. С другой стороны, если бы опять не было земли, а ящик кто–то тащил бы вверх с ускорением g, то человек в ящике, анализируя физику этого явления, обнаружил бы псевдосилу, прижимающую его к полу точно так же, как это делает тяжесть.

Эйнштейн выдвинул знаменитую гипотезу, что ускорение вызывает имитацию (подобие) тяготения, что силы ускорения (псевдосилы) нельзя отличить от сил тяготения; нельзя сказать, какая часть данной силы – тяжесть, а какая – псевдосила.

Казалось бы, ничто не мешает считать тяжесть псевдосилой, говорить, что нас прижимает вниз оттого, что нас ускоряет вверх; но как быть с жителями Новой Зеландии, на другой стороне Земли – их–то куда ускоряет? Эйнштейн понял, что тяготение можно считать псевдосилой одновременно только в одной точке; его рассуждения привели к предположению, что геометрия мира сложнее обычной геометрии Евклида. Наше обсуждение вопроса чисто качественное и не претендует ни на что, кроме общей идеи.

Чтобы пояснить в общих чертах, как тяготение может быть результатом действия псевдосил, мы приведем чисто геометрический пример, ничего общего не имеющий с истинным положением вещей. Предположим, что мы с вами обитаем в двумерном мире и ничего о третьем измерении не знаем. Мы бы считали, что живем на плоскости, а на самом деле, предположим, жили бы на шаре; пускай теперь мы бросили предмет вдоль нашей поверхности, не действуя больше на него никакими силами. Как бы он двигался? Нам казалось бы, что он движется по прямой линии, но поскольку третьего измерения нет и он должен был бы оставаться на поверхности шара, то он двигался бы по кратчайшему расстоянию на сфере, т. е. по окружности большого круга. Бросим точно так же другой предмет, но в ином направлении; он направится тоже по дуге большого круга. Мы думаем, что находимся на плоскости, и надеемся поэтому, что расстояние между двумя предметами будет расти линейно с течением времени. Но тщательные наблюдения вдруг обнаружат, что на достаточно большом расстоянии предметы снова начнут сближаться, как если бы они притягивали друг друга. Но они не притягиваются один к другому; все дело в геометрии, это с нею происходит что–то «чудное». Хотя эта картинка и не касается геометрии Евклида (не показывает нам, что в ней есть «чудного»), но она показывает, что, заметно исказив геометрию, можно все тяготение отнести за счет псевдосилы. В этом и состоит общая идея теории тяготения Эйнштейна.

§ 6. Ядерные силы

Мы заключим эту главу кратким обзором единственных ныне известных сил, отличающихся от перечисленных, – ядерных сил. Эти силы действуют внутри ядра атома, и, хотя их много изучали, никто ни разу еще не смог рассчитать силу, действующую между двумя ядрами; и фактически закон ядерных сил сейчас не известен. Эти силы имеют крайне незначительную протяженность действия – они действуют только на размерах ядра около 10^–13 см. Поскольку частицы столь малы, а расстояния так коротки, нам нечего надеяться на законы Ньютона – здесь действуют только законы квантовой механики. Анализируя ядра, мы больше не говорим о силах; мы заменяем понятие силы понятием энергии взаимодействия двух частиц (позже об этом будет сказано подробнее). Любые формулы, которые можно написать для ядерных сил, представляют довольно грубые приближения, в которых опущены многие детали взаимодействия; выглядят они примерно так: силы внутри ядер убывают не обратно квадрату расстояния, а отмирают экспоненциально за некоторым расстоянием r (порядка 10^–13см) как F=(l/r²) exp(-r/r). Иначе говоря, чуть частицы удалятся, как силы тут же исчезают, хотя ближе 10^–13см они очень велики. По–видимому, законы ядерных сил сложны до чрезвычайности; мы их не понимаем, и вся задача анализа фундаментального механизма, стоящего за ними, не решена. Попытки решить эту задачу привели к открытию множества необычных частиц, например ? — мезонов, но происхождение сил все равно остается темным.

Глава 13

РАБОТА И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ (I)

§ 1. Работа падающего тела

§ 2. Работа, выполняемая тяжестью

§ 3, Сложение энергий

§ 4. Поле тяготения больших тел

§ 1. Работа падающего тела

В гл. 4 мы разобрали вопрос о сохранении энергии. При этом законами Ньютона мы не пользовались. Интересно теперь посмотреть, как возникает сохранение энергии из–за того, что действуют эти законы. Для ясности мы начнем с самых простых примеров и постепенно будем их усложнять.

Простейший пример сохранения энергии – это тело, падающее вниз, т. е. тело, движущееся только в вертикальном направлении. Если оно меняет свою высоту под влиянием только тяжести, то из–за движения оно обладает кинетической энергией Т (или к. э.) Кроме того, у него есть потенциальная энергия mgh (сокращенно U, или п. э.). Их сумма постоянна:

или

Т+U=const. (13.1)

Мы хотим показать, что это утверждение правильно. Что значит доказать его правильность? Второй закон Ньютона говорит, как движется тело, как со временем изменяется его скорость (а именно, что в падении она растет пропорционально времени, а высота падения меняется как квадрат времени). Если поэтому отмерять высоту от нулевой точки (где тело покоилось), то не будет ничего странного в том, что она окажется равной квадрату скорости, умноженному на какие–то постоянные. Однако все же рассмотрим это повнимательней.

Попробуем вычислить прямо из второго закона Ньютона, как обязана меняться кинетическая энергия; мы продифференцируем кинетическую энергию по времени и потом применим закон Ньютона. Дифференцируя ¹/₂mv² по времени, получаем

потому что m считается постоянной. Но по второму закону Ньютона m(dv/dt)=F, так что

dT/dt=Fv. (13.3)

В общем случае получается F•v, но для нашего одномерного случая лучше оставить просто произведение силы на скорость.

Сила в нашем простом примере постоянна, равна –mg и направлена вниз (знак минус именно это и показывает), а скорость есть степень изменения положения по вертикали (высоты h) со временем. Поэтому степень изменения кинетической энергии равна –mg(dh/dt). Взгляните: что за чудо! Перед нами снова чья–то скорость изменения – скорость изменения со временем величины mgh! Поэтому выходит, что с течением времени изменения в кинетической энергии и в величине mgh остаются равными и противоположными, так что их сумма остается неизменной. Что и требовалось доказать.

Мы только что показали, пользуясь Вторым законом Ньютона, что для постоянных сил энергия сохраняется, если только прибавлять потенциальную энергию mgh к кинетической ¹/₂mv². Исследуем этот вопрос дальше; посмотрим, можно ли его обобщить, можно ли еще продвинуться в его понимании. Действует ли этот закон только для свободно падающих тел или является более общим? Из того, что мы знаем о сохранении энергии, можно ожидать, что он будет верен для тела, движущегося из одной точки в другую по кривой без трения и под действием одной лишь тяжести (фиг. 13.1). Когда тело, начав двигаться с высоты Н, достигает высоты h, то опять должна быть верной та же формула, хотя бы скорость уже не была направлена по вертикали. Нам надо понять, почему она все еще правильна. Проведем тот же анализ; отыщем скорость изменения кинетической энергии во времени. Опять будет получаться mv(dv/dt) – скорость изменения величины импульса, т. е. сила в направлении движения – касательная сила F_t. Итак,

Скорость–это скорость изменения расстояния вдоль кривой ds/dt, а касательная сила F_t теперь оказывается меньше mg в отношении, равном отношению расстояния ds вдоль пути к вертикальному расстоянию dh. Иными словами,

так что

(ds выпадает). И опять, как прежде, мы получили величину – mg(dh/dt), равную скорости изменения mgh.

Чтобы точно уяснить себе, как вообще соблюдается сохранение энергии в механике, рассмотрим сейчас некоторые полезные понятия.

Во–первых, рассмотрим скорость изменения кинетической энергий в общем трехмерном случае. Кинетическая энергия, когда движение имеет три измерения, равна

T =1/2m (v²_x+v²_y+v²_z).

Дифференцируя ее по времени, получаем три устрашающих члена:

Но ведь m(dv_x/dt) – это сила F_x, действующая на тело в направлении х. Значит, в правой части формулы (13.4) стоит F_xv_x+F_yv_y+F_zv_z. Призвав на помощь векторный анализ, вспоминаем, что это F•v. Итак,

dT/dt=F•v (13.5)

А можно это вывести и быстрей: если а и b – два вектора, зависящих от времени, то производная от a•b равна

Подставим сюда а=b=v:

Так как понятие кинетической энергии и вообще энергии очень важно, то различным величинам в этих уравнениях присвоены разные имена: ^l/_zmv² называется, как известно, кинетической энергией; F•v называется мощностью: сила, действующая на тело, умноженная («скалярно») на скорость тела, – это мощность, сообщаемая телу этой силой. Получается великолепная теорема: скорость изменения кинетической энергии тела равна мощности, затраченной силами, действующими на тело. Но для изучения сохранения энергии анализ следует продолжить. Давайте оценим изменение кинетической энергии за очень короткое время dt. Умножив обе части уравнения (13.7) на dt, найдем, что изменение кинетической энергии равно силе, скалярно умноженной на дифференциал пройденного расстояния

dT=F•ds. (13.8)

А интегрируя, получаем

(13.9)

Что это значит? Это значит, что, как бы и по какой бы кривой траектории ни двигалось тело под действием силы, все равно изменение в к. э. при переходе от одной точки кривой к другой равно интегралу от компоненты силы вдоль кривой, умноженной на дифференциал смещения ds (интегрирование от первой точки до второй). И у этого интеграла есть имя: его называют работой, совершенной силой над телом. Немедленно мы обнаруживаем, что мощность – это работа за секунду. И еще мы замечаем, что работу производит только составляющая силы вдоль направления движения. В нашем первом простом примере участвовали только вертикальные силы с одной–единственной составляющей F_z, равной –mg. В этих обстоятельствах совершенно неважно, как тело движется, прямо вниз или по параболе, все равно от F•ds (которое можно написать как F_xdx+F_ydy+F_zdz) остается только F^dz = -mgdz, потому что прочие составляющие силы – нули. Значит, в этом случае

так что в потенциальную энергию входит только высота, с которой тело падает.

Несколько слов о единицах. Так как сила измеряется в ньютонах, а для получения работы ее умножают на расстояние, то работу измеряют в единицах ньютон•метр, но большинство людей этого названия не любит, предпочитая название джоуль (дж). Это только другое слово, а единица та же. Итак, работу измеряют в джоулях. Мощность же – в джоулях в секунду; эту единицу называют ватт(вт). Если умножить ватты на время, то получим произведенную работу. Работу, которую местная энергосистема производит в наших квартирах (в техническом смысле), оценивается в ваттах, умноженных на время. Например, киловатт–час – это 1000 втX3600 сек, т. е. 3,6•10⁶дж.

Приведем еще несколько примеров работы и сохранения энергии. Рассмотрим тело, которое вначале имеет кинетическую энергию и быстро двигается, скользя по полу с трением. Оно останавливается. В начале кинетическая энергия не равна нулю, а в конце она равна нулю', существует работа, произведенная силами, потому что раз есть трение, то есть и составляющая силы в направлении, противоположном направлению движения, и энергия постепенно теряется. Теперь рассмотрим массу на конце маятника, который качается в вертикальной плоскости в поле тяжести без трения. Здесь наблюдается нечто другое, потому что, когда масса опускается, сила направлена тоже вниз, а когда подымается, сила направлена в обратную сторону, так что у F•ds на спуске и на подъеме разные знаки. В соответствующих точках спуска и подъема значения F•ds равны по величине, но противоположны по знаку, так что в итоге интеграл есть чистый нуль. Поэтому кинетическая энергия в конце спуска в точности такая же, какой она была в начале подъема; это и есть принцип сохранения энергии. (Заметьте, что в присутствии сил трения сохранение энергии на первый взгляд не выполняется. Значит, нужно искать другую форму энергии. И действительно, оказывается, что когда два тела трутся друг о друга, то возникает тепло, мы же сейчас делаем вид, что об этом не знаем.)

§ 2. Работа, выполняемая тяжестью

Теперь займемся задачей потруднее, когда силы уже не постоянны и не направлены вниз, как раньше. Мы рассмотрим, например, движение планеты вокруг Солнца или спутника вокруг Земли.

Сперва мы рассмотрим движение тела, которое падает из точки 1 прямо на Солнце или на Землю (фиг. 13.2).

Фиг. 13.2. Падение малой массы m под

действием тяжести на большую массу М.

Будет ли в этих обстоятельствах сохраняться энергия? Единственное отличие от того, что было раньше, – что теперь сила не постоянна, она меняется по мере падения. Мы знаем, что сила равна произведению GM/r² на массу m падающего тела. Конечно, и теперь кинетическая энергия при падении возрастает, как возрастала и тогда, когда нас еще не волновало изменение силы с высотой. Вопрос только в том, можно ли отыскать иную, отличную от mgh, формулу для потенциальной энергии, найти другую функцию расстояния от Земли, чтобы для нее сохранение энергии не нарушалось.

Этот одномерный случай рассматривать легко, потому что мы знаем, что изменение кинетической энергии равно интегралу от начала движения до конца от силы –GMm/r² по перемещению dr

В формуле нет никакого косинуса, потому что сила и перемещение направлены одинаково. Интегрировать dr/r² легко; получается (–1/г), так что

Перед нами другая формула для потенциальной энергии. Уравнение (13.12) говорит нам, что величина ¹/₂mv²–GMm/r, вычисленная в точке 1, в точке 2 или в любой другой, остается постоянной.

У нас теперь есть формула для потенциальной энергии в поле тяготения для вертикального движения. Здесь возникает интересный вопрос: можно ли добиться вечного движения в поле тяготения? Поле–то меняется, в разных местах у него разная напряженность и разное направление. Нельзя ли взять бесконечную ленту без трения и запустить ее, скажем, так: пусть она сперва поднимает тело из одной точки в другую, потом проводит его по дуге окружности в третью точку, опускает на некоторый уровень, сдвигает по наклонному направлению и выводит на новый путь и т. п., так что по возвращении в начальную точку оказывается, что поле тяготения совершило некоторую работу и кинетическая энергия тела возросла? Нельзя ли так начертить эту траекторию, чтобы, обойдя по ней, тело приобрело чуть–чуть больше скорости, чем имело вначале? Так получится вечное движение. Но ведь оно невозможно, значит, мы обязаны доказать, что такая траектория немыслима.

Фиг. 13.3. Замкнутый путь обхода в поле тяготения.

Мы должны доказать следующее предположение: раз трения нет, тело должно вернуться ни с меньшей, ни с большей скоростью, а как раз с такой, чтобы еще и еще делать круги по этому замкнутому пути. Или, другими словами, вся работа, произведенная в движении по замкнутому пути, должна быть нулем для сил тяжести, потому что если бы она не была нулем, то можно было бы получить энергию за счет такого движения тела. (Если бы работа оказалась меньше нуля, так что скорость в конце обхода уменьшилась бы, то для получения энергии стоило бы только повернуть обратно; силы ведь зависят не от направления движения, а только от положения. Если в одном направлении работа получится с плюсом, то в обратном она будет с минусом; любая ненулевая работа означает создание вечного двигателя.) Так что же, действительно ли работа равна нулю? Попробуем показать, что да. Сперва мы лишь на пальцах поясним, почему это так, а уж потом оформим математически. Положим, мы выдумали траекторию, показанную на фиг. 13.3; масса падает от 1 к 2, поворачивает до 3, обратно поднимается к 4, затем через 5, 6, 7, 8 движется обратно к 1. Все линии идут либо по радиусу, либо по кругу с центром М. Какая работа совершается на таком пути? Между 1 и 2 она равна произведению GMm на разность 1/r в этих точках:

От 2 до З сила в точности направлена поперек движения, и W₂₃=0. От 3 к 4

Но ведь r₂=r₃, r₄=r₅, r₆ =r₇, r₈=r₁. Поэтому W=0.

Но возникает подозрение, не слишком ли эта кривая проста. А что даст настоящая траектория? Что ж, попробуем настоящую. Сразу же ясно, что ее можно достаточно точно представить как ряд зазубрин (фиг. 13.4) и поэтому… и т. д., что и требовалось доказать.

Фиг. 13.4. «Плавный» путь обхода.

Показан увеличенный отрезок этого пути и близкая к нему траектория, состоящая из радиальных и круговых участков, а также один из зубцов этой траектории.

Но надо еще посмотреть, действительно ли работа обхода вокруг маленького треугольника тоже равна нулю. Увеличим один из треугольников (см. фиг. 13.4). Равны ли работы по пути от а к b и от b к с работе, совершаемой, когда идешь напрямик от а к с? Пусть сила действует в каком–то направлении. Расположим треугольник так, чтобы у его катета bc было как раз такое направление. Предположим также, что сам треугольник так мал, что сила всюду на нем постоянна. Какова работа на отрезке ас? Она равна

(поскольку сила постоянна). Теперь определим работу на двух катетах. На вертикальном катете ab сила перпендикулярна к ds, так что работа равна нулю. На горизонтальном катете bc

Мы убеждаемся таким образом, что работа обхода по бокам маленького треугольника такая же, как и по склону, потому что scos? равно х. Мы уже показали прежде, что работа при движении по зазубринам (как на фиг. 13.3) равна нулю, а теперь видим, что производимая работа одинакова, независимо от того, движемся ли мы по зазубринам или срезаем путь между ними (если только зазубрины малы, но ведь ничто не мешает сделать их такими); поэтому работа обхода по любому замкнутому пути в поле тяготения равна нулю.

Это очень примечательный результат. Благодаря ему нам становятся известны такие подробности о движении планет, о которых мы раньше и не догадывались. Выясняется, что когда планета вертится вокруг Солнца одна, без спутников и в отсутствие каких–либо других сил, то квадрат ее скорости минус некоторая константа, деленная на расстояние до Солнца, вдоль орбиты не меняется. Например, чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она движется. Но насколько быстрее? А вот насколько: если вместо движения вокруг Солнца вы толкнете ее к Солнцу с той же скоростью и подождете, пока она не упадет на нужное расстояние, то приобретенная скорость будет как раз такой, какой планета обладает на этой орбите, потому что получился просто другой пример сложного пути обхода. Если планета вернется по такому пути обратно, ее кинетическая энергия окажется прежней. Поэтому независимо от того, движется ли она по настоящей невозмущенной орбите или же по сложному пути (но без трения), кинетическая энергия в момент возвращения на орбиту оказывается как раз такой, какой нужно.

Значит, когда мы проводим численный анализ движения планеты по орбите (как мы делали раньше), мы можем проверить, не сделали ли заметных ошибок при расчете этой постоянной величины, энергии, на каждом шаге; она не должна меняться. Для орбиты, приведенной в табл. 9.2 (стр. 170), энергия меняется примерно на 1,5% с начала движения до конца. Почему? То ли потому, что в численном методе мы пользовались конечными приращениями, то ли из–за мелких погрешностей в арифметике.

Рассмотрим энергию в другой задаче: задаче о массе, подвешенной на пружине. Когда отклоняют массу от положения равновесия, сила, восстанавливающая ее положение, пропорциональна смещению. Можно ли в этих условиях вывести закон сохранения энергии? Да; потому что работа, совершаемая этой силой, равна

Значит, у массы, подвешенной на пружине, сумма кинетической энергии ее колебаний и

¹/₂kx² постоянна. Посмотрим, как это происходит. Оттянем массу вниз; она неподвижна и скорость ее равна нулю, но х не равно нулю, теперь величина х максимальна, так что имеется и некоторый запас энергии (потенциальной). Отпустим теперь массу: начнется какой–то процесс (в детали мы не вникаем), но в любое мгновение кинетическая плюс потенциальная энергии будут постоянны. Например, когда масса проходит через точку первоначального равновесия, то х=0, но тогда значение v² наибольшее, и чем больше величина x², тем меньше v² и т. д. Значит, во время колебаний соблюдается равновесие между величинами x² и r². Мы получили, таким образом, новое правило: потенциальная энергия пружины равна ^l/₂kx², если сила равна–kx.

§ 3. Сложение энергий

Перейдем теперь к более общему случаю и рассмотрим, что произойдет, если тел много. Предположим, что имеется несколько тел; пронумеруем их: i = l, 2, 3, … и пусть все они притягивают друг друга. Что тогда произойдет? Можно доказать, что если сложить кинетические энергии всех тел и добавить сюда сумму (по всем парам частиц) их взаимных потенциальных энергий тяготения –GMm/r_ij, то все вместе даст постоянную:

Как же это доказать? Мы продифференцируем обе стороны по времени и докажем, что получится нуль. При дифференцировании ¹/₂т_iv²_i мы получим производные скорости – силы [как в (13.5)], а потом эти силы заменим их величиной, известной нам

из закона тяготения, и увидим в конце концов, что останется как раз производная по времени от

Начинаем доказательство. Производная кинетической энергии по времени есть

Производная по времени от потенциальной энергии есть

но

так что

потому что r_ij=-r_ji, хотя r_ij=r_}i. Итак,

Теперь внимательно посмотрим, что значит

и означает, что i принимает по порядку

все значения i=1, 2, 3,…, и для каждого i индекс j принимает все значения, кроме i. Если, например, i = 3, то j принимает значения 1, 2, 4, ….

С другой стороны, в (13.16) ? означает, что каждая пара i и j встречается лишь однажды. Скажем, частицы 1 и 3 дают только один член в сумме. Чтобы отметить это, можно договориться, что i принимает значения 1, 2, 3, …, а j для каждого i – только значения, большие чем i Если, скажем, i=3, то j равно 4, 5, 6, …. Но вспомним, что каждая пара i, j дает два слагаемых в сумме, одно с v_i, а другое с v_j, и что оба эти члена выглядят так же, как член в уравнении (13.14) [но только в последнем в сумму входят все значения i и j (кроме i=j)]. В уравнениях (13.16) и (13.15) член за членом совпадут по величине. Знаки их, однако, будут противоположны, так что производная по времени от суммы потенциальной и кинетической энергий действительно равна нулю. Итак, мы видим, что и в системе многих тел кинетическая энергия составляется из суммы энергий отдельных тел и что потенциальная энергия тоже состоит из взаимных потенциальных энергий пар частиц. Почему она складывается из энергий пар? Это можно уяснить себе следующим образом: положим, мы хотим найти всю работу, которую нужно совершить, чтобы развести тела на определенные расстояния друг от друга. Можно это сделать не за один раз, а постепенно, доставляя их одно за другим из бесконечности, где на них никакие силы не влияли. Сперва мы приведем тело 1, на что работы не потребуется, потому что, пока нет других тел, силы отсутствуют. Доставка тела 2 потребует работы W₁₂=-Gm₁m₂/r_i2. И вот теперь самый существенный момент: мы доставляем тело 3 в точку 3. В любой момент сила, действующая на 3, слагается из двух частей: из силы, действующей со стороны 1, и силы со стороны 2. Значит, и вся произведенная работа равна сумме работ каждой из сил, потому что раз F₃ разбивается на сумму сил

F₃= F₁₃+F₂

то работа равна

Стало быть, вся работа равна сумме работ, произведенных против силы 1 и против силы 2, как если бы они действовали независимо. Продолжая рассуждать таким образом, мы увидим, что полная работа, которую необходимо выполнить, чтобы собрать данную конфигурацию тел, в точности равна значению (13.14) для потенциальной энергии. Именно из–за того, что тяготение подчиняется принципу наложения сил, можно потенциальную энергию представить в виде суммы по всем парам частиц.

§ 4. Поле тяготения больших тел

Теперь рассчитаем поля, встречающиеся во многих физических задачах, когда речь идет о распределении масс. Мы пока не рассматривали распределения масс, а занимались только отдельными частицами. Но интересно рассчитать и поля, образуемые более чем одной частицей. Для начала найдем силу притяжения со стороны плоского пласта вещества бесконечной протяженности. Сила притяжения единичной массы в данной точке Р (фиг. 13.5), конечно, направлена к плоскости. Расстояние от точки до плоскости есть a, а масса единицы площади этой плоскости есть ?., где ?=m/4?a² – поверхностная плотность массы. (Вообще площадь поверхности шарового пояса пропорциональна его высоте.) Поэтому потенциальная энергия притяжения массы dm есть

Но мы видим, что

Значит,

2rdr=-2Rdx,

или

Поэтому

и получается

Стало быть, для тонкого слоя потенциальная энергия массы m', внешней по отношению к слою, такова, как если бы масса слоя собралась в его центре. Землю же можно представить в виде ряда таких слоев, и притяжение каждого из слоев зависит только от его массы; сложив их, получим всю массу планеты; значит, и вся Земля действует так, словно все ее вещество находится в ее центре!

Но посмотрим, что произойдет, если точка Р окажется внутри слоя. Проделывая те же расчеты вплоть до интегрирования, мы получим разность двух значений r, но уже в другой форме: (a+R)-(а–R)=2R (двойное расстояние от Р до центра). Другими словами, теперь W становится равной W=-Gmm'/a, что не зависит от R, т. е. точка Р всюду внутри сферы обладает одной и той же энергией тяготения. А значит, на нее не действует никакая сила, и не нужно никакой работы, чтобы двигать ее внутри. Когда потенциальная энергия тела всюду, в любой точке внутри сферы, одинакова, то на тело не действует никакая сила. Внутри сферы тело не испытывает действия сил, сила действует только снаружи.

*Энергия в единицах табл. 9.2 есть ?(v²_x+v²_y)-1/r

Глава 14

РАБОТА И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ (II)

§1. Работа

§2. Движение при наложенных связях

§3. Консервативные силы

§4. Неконсервативные силы

§5. Потенциалы и поля

§ 1. Работа

В предыдущей главе мы ввели много новых понятий и идей, играющих важную роль в физике. Идеи эти столь важны, что, пожалуй, стоит посвятить целую главу внимательному ознакомлению с ними. Мы не будем здесь повторять «доказательства» и красивые приемы, позволяющие просто получать важные результаты, а вместо этого сосредоточим наше внимание на обсуждении самих идей.

Штудируя любой вопрос технического характера, для понимания которого нужна математика, мы всегда сталкиваемся с необходимостью понять и отложить в памяти массу фактов и идей, объединенных определенными связями, Существование этих связей можно «доказать или «показать». Ничего не стоит спутать само доказательство с тем соотношением, которое оно устанавливает. Конечно, куда важнее выучить и запомнить не доказательство, а само соотношение. Тогда уж в любом случае мы сможем сказать: «Легко показать, что…» то–то и то–то верно, а то и действительно показать это, Приводимые доказательства почти всегда состряпаны, сфабрикованы с таким расчетом чтобы, во–первых, их легко было воспроизвести мелом на доске или пером на бумаге и, во–вторых, чтобы они выглядели поглаже. В итоге доказательство выглядит обманчиво просто, хотя, быть может, на самом деле автор много часов искал разные пути расчета, пока не нашел самый изящный – тот, который приводит к результату за кратчайшее время! Глядя на вывод формулы, надо вспоминать не этот вывод, а скорее сам факт, что то–то и то–то можно доказать. Конечно, если доказательство требует особых математических выкладок или «трюков», никогда прежде не виденных, то надо обратить внимание… впрочем, не на сами трюки, а на их идею.

Ни одно из доказательств, приведенных в этом курсе, автор не запомнил с тех времен, когда сам учил физику. Наоборот, он просто вспоминает, что то–то является верным, и, пытаясь пояснить, как это доказывается, сам придумывает доказательство в тот момент, когда оно необходимо. И всякий, кто действительно изучил предмет, должен быть в состоянии поступать так же, не запоминая доказательств. Вот почему в этой главе мы будем избегать вывода различных положений, сделанных ранее, а просто будем подводить итоги.

Первая идея, которую нужно будет переварить, – это то, что работа производится силой. Физический термин «работа» ничего общего не имеет с общежитейским ее смыслом…

Физическая работа выражается в виде ?F•ds, или «контурный интеграл от F по ds «скалярно»; последнее означает, что если сила направлена, скажем, в одну сторону, а тело, на которое сила действует, перемещается в другую сторону, то работу совершает только составляющая силы в направлении перемещения. Если бы, например, сила была постоянна, а смещение произошло на конечный отрезок ?s, то работа, выполненная постоянной силой на этом пути, была бы равна произведению составляющей силы вдоль ?s на ?s. Правило гласит: «работа есть сила на путь», но подразумевается лишь составляющая силы в направлении перемещения, умноженная на ?s, или, что одно и то же, составляющая перемещения в направлении силы, умноженная на F.

Очевидно, что сила, направленная под прямым углом к перемещению, никакой работы не произведет.

Если, далее, вектор смещения ?s разложить на составляющие, т. е. если истинное смещение есть ?s и мы хотим считать, что оно состоит из составляющих смещения ?x; в направлении х, ?y в направлении у и ?z в направлении z, то вся произведенная работа перемещения тела из одного места в другое может быть рассчитана по трем частям: отдельно работа смещения вдоль х, вдоль у и вдоль z. Работа перемещения вдоль х требует знания только соответствующей составляющей силы F_xи т. д., так что работа равна F_x?x+F_y?y+F_z?z. Когда сила не постоянна, а движение запутанное, криволинейное, то нужно разбить путь на множество малых ?s, сложить работы переноса тела вдоль каждого ?s и перейти к пределу при ?s, стремящемся к нулю. В этом смысл понятия «контурный интеграл».

Все, что мы только что сказали, содержится в формуле W=?F•ds. Но одно дело назвать эту формулу прекрасной, и

совсем другое – понять ее смысл и ее следствия.

Смысл слова «работа» в физике настолько отличается от того, что подразумевают под этим словом в обычных обстоятельствах, что надо тщательно проследить это различие. Например, по точному смыслу физического определения работы, если вы держите в руках двухпудовую гирю, вы не совершаете никакой работы. Вас бросает в пот, ваши руки дрожат, вы дышите тяжело, как будто взбежали по лестнице, а работы вы не совершаете. Когда вы взбегаете по лестнице, то считается, что вы совершаете работу; когда вы сбегаете по лестнице вниз, то, согласно физике, мир производит работу над вами, а вот когда вы держите предмет, стоя неподвижно, никакой работы не производится. Физическое определение работы отличается от физиологического по причинам, которые мы сейчас кратко изложим.

Когда вы держите груз, вы, конечно, выполняете «физиологическую» работу. Отчего вас бросает в пот? Почему для такого занятия вам необходимо хорошо питаться? Почему все механизмы внутри вас работают в полную силу, когда вы подставили спину под груз? Ведь можно на этот груз не тратить никаких усилий, стоит лишь положить его на стол, и стол спокойно и мирно, не нуждаясь ни в какой энергии, будет держать себе тот же груз на той же высоте! Физиология дает примерно следующее объяснение. У человека и у других животных есть два рода мышц. Одни, называемые поперечнополосатыми, или скелетными, контролируются нашей волей; таковы, например, мышцы рук. Другие мышцы называются гладкими (например, мышцы внутренностей или у моллюсков большой замыкающий мускул, который закрывает створки). Гладкие мышцы работают очень медленно, но способны «оцепенеть»; это значит, что если, скажем, моллюску нужно удержать свои створки в определенном положении, то он их удержит, какая бы сила на них ни нажимала. Многие часы способен он без устали держать створки под нагрузкой, подобно столу, на который положен груз; мышца «застывает» в определенном положении, молекулы ее как бы схватываются друг с другом, не совершая никакой работы, не требуя от моллюска никаких усилий. Нам же нужны непрерывные усилия, чтобы удержать вес. Это объясняется просто устройством поперечнополосатых мышц. Когда нервный импульс достигает мышечного волокна, оно несколько сокращается и затем опять расслабляется; когда мы держим груз, то в мышцу сплошным и обильным потоком текут нервные импульсы, множество волокон сокращается, пока другие отдыхают. Это даже можно увидеть: когда рука устает держать тяжесть, она начинает дрожать. Происходит это потому, что поток импульсов нерегулярен и уставшие мышцы не успевают вовремя на них ответить. Почему же мышцы собраны по такой неудачной схеме? Неизвестно почему, но природа не сумела создать быстродействующих гладких мышц. А куда удобнее было бы поднимать грузы именно гладкими мышцами: они способны замирать на месте, они могут цепенеть и для этого не нужно было бы совершать никакой работы и не нужна никакая энергия. Правда, у этих мышц есть один недостаток: они очень медленно работают.

Но вернемся к физике и зададим еще один вопрос: зачем нам подсчитывать выполненную работу? Ответ: потому что это интересно и полезно. Потому что работа, которую производит над частицей равнодействующая всех приложенных к ней сил, в точности равна изменению кинетической энергии этой частицы. Если тело толкнуть, оно наберет скорость, и ?(v²)=2/m(F•?s).

§ 2. Движение при наложенных связях

Силы и работа обладают еще одним интересным свойством. Пусть имеется некоторый уклон, какая–то криволинейная колея, по которой частица должна двигаться без трения. Или имеется маятник – груз на ниточке; нить маятника вынуждает груз двигаться по кругу вокруг точки подвеса. Намотав нить на колышек, можно в качании менять точку подвеса, так что траектория груза будет складываться из двух окружностей разного радиуса. Все это примеры так называемых неподвижных связей без трения.

В движении с неподвижными связями без трения эти связи не производят никакой работы, потому что реакции связей всегда прилагаются к телу под прямым углом к самим связям; так обстоит дело и с реакцией колеи и с натяжением нити.

Силы, возникающие при движении частицы вниз по склону под действием тяжести, весьма и весьма запутаны: здесь и реакции связи, и сила тяжести, и т. п. И все же, если основывать свои расчеты движения лишь на сохранении энергии и на учете только силы тяжести, получается правильный результат. Это выглядит довольно странно, потому что это не совсем правильно; надо было бы пользоваться равнодействующей силой. Тем не менее работа, произведенная только силой тяжести, оказывается равной изменению кинетической энергии, потому что работа сил связей равна нулю (фиг. 14.1).

Фиг. 14.1. Силы, действующие на тело, скользящее без трения.

Важное свойство сил, о котором мы говорили, состоит в том, что если силу можно разбить на две или несколько «частей», то работа, выполняемая самой силой при движении по некоторой кривой, равна сумме работ, произведенных каждой «частью» силы. Если мы представляем силу в виде векторной суммы нескольких сил (силы тяжести, реакции связей и т. д., или x–составляющих всех сил плюс y–составляющие и т.д., или еще как–нибудь), то работа всей силы равна сумме работ тех частей, на которые мы ее разделили.

§ 3. Консервативные силы

В природе существуют силы, скажем сила тяжести, обладающие замечательным свойством – «консервативностью» (никаких политических идей, ничего двусмысленного в этом понятии нет). Когда мы подсчитываем, какую работу выполняет сила, двигая тело от одной точки к другой, то вообще работа зависит от траектории; но в особых случаях эта зависимость пропадает. Если работа не зависит от траектории, мы говорим, что сила консервативна. Иными словами, если интеграл от произведения силы на приращения смещений между точками 1 и 2 (фиг. 14.2) один раз вычислен вдоль кривой А, а другой – вдоль кривой В, и оба раза получается одинаковое количество джоулей, и если это выполнено для любой кривой, соединяющей эту пару точек, и если это же справедливо для любой пары точек, то говорят, что сила консервативна. В таких обстоятельствах интеграл работы между точками 1 и 2 можно легко подсчитать и дать для него формулу. А в других случаях это не так просто: нужно задавать еще форму кривой; но когда работа не зависит от кривой, то, ясное дело, остается только зависимость от положений точек 1 и 2.

Чтобы доказать это, рассмотрим фиг. 14.2.

Фиг. 14.2. Возможные пути, соединяющие две точки в поле сил.

Фиксируем произвольную точку Р. Криволинейный интеграл работы на участке (1,2) можно вычислить, разбив его на две части: работу на участке (1, Р) и работу на участке (Р, 2), потому что сейчас у нас всюду консервативные силы, и по какому пути ни пойти, значение работы одно и то же. Работа перемещения из точки Р в любую точку пространства является функцией положения конечной точки. Она зависит и от Р, но мы во всем дальнейшем анализе точку Р закрепим, так что работа перемещения тела от точки Р к точке 2 будет некоторой функцией положения точки 2. Она зависит от того, где находится точка 2; если переместить тело в другую точку, ответ будет другой.

Обозначим эту функцию положения через–U(x, у, z); желая отметить, что речь идет именно о точке 2 с координатами x₂, y₂, z₂, мы будем просто писать U(2), сокращая обозначение U(х_г, у₂, z₂). Работу перемещения из точки 1 в точку Р можно написать, обратив направление интегрирования (переменив знаки всех ds). Другими словами, работа на участке (1,Р) равна работе на участке (P,1) со знаком минус:

Значит, работа на участке (Р,1) есть–U(1), а на участке (Р,2) есть–U(2). Поэтому интеграл от 1 до 2 равен–U(2) плюс [-U1) назад], т. е. + U(1)-U(2):

Величина U(1)-U(2) называется изменением потенциальной энергии, a U можно назвать потенциальной энергией. Мы будем говорит, что когда предмет находится в положении 2, то он обладает потенциальной энергией U(2), а в положении 1 – потенциальной энергией U(1). Когда он находится в положении Р, его потенциальная энергия равна нулю. Если бы вместо Р взять любую другую точку Q, то оказалось бы (это предоставляется доказать вам самим), что потенциальная энергия всех точек изменилась бы только на постоянную добавку. Так как сохранение энергии зависит только от изменений ее, то эта добавочная постоянная никакого значения не имеет. Вот поэтому точка Р произвольна.

Итак, у нас имеются два утверждения: 1) работа, выполняемая силой, равна изменению кинетической энергии системы, но 2) математически для консервативных сил выполненная работа равна минус изменению функции U, называемой потенциальной энергией. Как следствие этих утверждений возникает еще одно: если действуют только консервативные силы, сумма потенциальной U и кинетической Т энергий остается постоянной:

T+U=const. (14.2)

Рассмотрим формулу потенциальной энергии для ряда случаев. Если поле тяготения однородно, если мы не поднимаемся до высот, сравнимых с радиусом Земли, то сила постоянна и направлена вертикально, а работа равна просто произведению силы на расстояние по вертикали. Стало быть,

U(z)=mgz, (14.3)

и за точку Р с нулевой потенциальной энергией можно принять любую точку на поверхности z=0. Но можно также говорить, что потенциальная энергия равна mg(z–6), если нам так уж этого хочется! Все результаты в нашем анализе останутся теми же, кроме того что потенциальная энергия на поверхности z=0 будет равна–mg6. Разницы никакой, ведь в расчет надо принимать только разности потенциальных энергий.

Энергия, необходимая для сжатия пружины на расстояние х от точки равновесия, равна

U(x)=¹/₂kx² (14.4)

и нуль потенциальной энергии приходится на точку х=0, т. е. на равновесное состояние пружины. И здесь тоже мы можем добавить любую константу.

Потенциальная энергия тяготения точечных масс M и m на расстоянии r друг от друга равна

U(r)=-GMm/r. (14.5)

Константа здесь выбрана так, чтобы потенциал исчезал на бесконечности. Конечно, эту же формулу можно применить и к электрическим зарядам, поскольку закон один и тот же:

U(r)=q₁q₂/4??r. (14.6)

Давайте теперь поработаем с одной из этих формул, посмотрим, поняли ли мы их смысл.

Вопрос: С какой скоростью должна отправиться ракета с Земли, чтобы покинуть ее?

Ответ: Сумма кинетической и потенциальной энергий должна быть постоянной; покинуть Землю – значит удалиться от нее на миллионы километров; если у ракеты только–только хватает сил, чтобы покинуть Землю, то надо предположить, что там, вдалеке, ее скорость будет равна нулю и что на бесконечности она будет едва–едва двигаться. Пусть а – радиус Земли, а M – ее масса. Кинетическая плюс потенциальная энергии первоначально были равны ^l/₂mv²–GmM/a. В конце движения эти обе энергии должны сравняться. Кинетическую энергию в конце движения мы считаем нулевой, потому что тело еле движется (почти с нулевой скоростью), а потенциальная энергия равна величине GmM, деленной на бесконечность, т. е. опять нулевая. Значит, с одной стороны стоит разность двух нулей; поэтому квадрат скорости должен быть равен 2GM/a. Но GM/a² это как раз то, что называют ускорением силы тяжести g. Итак,

v²=2ga.

С какой скоростью должен двигаться искусственный спутник, чтобы не падать на Землю? Мы когда–то решали эту задачу и получили v²=GM/a. Значит, чтобы покинуть Землю, нужна скорость, в ?2 большая, чем скорость вращения спутника вокруг Земли. Иными словами, чтобы улететь с Земли, нужно вдвое больше энергии (энергия пропорциональна квадрату скорости), чем чтобы облететь вокруг нее. Поэтому исторически сначала были совершены облеты искусственных спутников вокруг Земли, для чего понадобились скорости около 7,8 км/сек. И только потом космические корабли были заброшены в мировое пространство; для этого потребовалось уже вдвое больше энергии, т. е. скорости около 11,2 км/сек.

Продолжим теперь наш обзор характеристик потенциальной энергии. Давайте рассмотрим взаимодействие двух молекул или двух атомов, например двух атомов кислорода. Когда они находятся далеко друг от друга, они притягиваются с силой, обратно пропорциональной седьмой степени расстояния, а при тесном сближении они сильно отталкиваются. Проинтегрировав минус седьмую степень расстояния, чтобы получить работу, мы увидим, что потенциальная энергия U (функция расстояния между атомами кислорода) изменяется как минус шестая степень расстояния (на больших расстояниях).

Если мы чертим некую кривую потенциальной энергии U(r) (фиг. 14.3), то при больших r она выглядит как r^–6, а при достаточно малых r достигает минимума.

Фиг. 14.3. Потенциальная энергия взаимодействия двух атомов как функция расстояния между ними.

Минимум потенциальной энергии в точке r=d означает, что если мы сдвинемся от нее на малое расстояние, на очень малое расстояние, то произведенная работа, равная изменению потенциальной энергии на этом промежутке, почти равна нулю, потому что на донышке кривой энергия почти не меняется. Значит, в этой точке сила равна нулю, и это есть точка равновесия. Условие равновесия можно высказать и иначе: для удаления из точки равновесия в любую сторону нужно затратить работу. Когда два атома кислорода расположены так, что никакой энергии из их силы взаимодействия больше выжать нельзя, то они находятся в наинизшем энергетическом состоянии и промежуток между ними равен d. Так выглядит молекула кислорода, когда она не нагрета. При нагревании атомы колеблются и расходятся; их можно и совсем развести, но для этого нужно определенное количество работы или энергии, равное разности потенциальных энергий в точках r=d и r=?. При попытке сблизить атомы энергия быстро возрастает вследствие их взаимного отталкивания.

Почему мы говорим о потенциальной энергии? Потому что идея силы не очень пригодна для квантовой механики, там более естественна идея энергии. Когда мы рассматриваем более сложные взаимодействия: ядерного вещества, молекул и т. д., то, хотя понятия силы и скорости «рассасываются» и исчезают, оказывается, что понятие энергии все же остается. Поэтому в книгах по квантовой механике мы находим кривые потенциальной энергии, но очень редко увидим график силы взаимодействия двух молекул, потому что те, кто изучает эти явления, больше уже привыкли думать об энергии, чем о силе.

Заметим еще, что, когда на тело одновременно действуют несколько консервативных сил, потенциальная энергия тела есть сумма потенциальных энергий от каждой силы. Это то, что мы утверждали и раньше, потому что, когда сила представляется векторной суммой сил, работа, производимая ею, равна сумме работ, производимых отдельными силами; поэтому ее можно представить как изменения потенциальных энергий от каждой силы по отдельности. Значит, общая потенциальная энергия равна сумме всех частей.

Мы можем обобщить это на случай системы многих тел, как, например, Юпитера, Сатурна, Урана и т. д. или атомов кислорода, азота, углерода и т. д., взаимодействующих друг с другом попарно, причем силы взаимодействия каждой пары консервативны. В таких условиях кинетическая энергия всей системы есть просто сумма кинетических энергий всех отдельных атомов, или планет, или частиц, а потенциальная энергия системы есть сумма потенциальных энергий взаимодействия отдельных пар, рассчитанных в предположении, что других частиц нет. (На самом деле для молекулярных сил это неверно, и формула получается несколько сложнее; для ньютонова тяготения это определенно справедливо, а для молекулярных сил годится лишь как приближение. Можно, конечно, говорить о потенциальной энергии молекулярных сил, но она иногда оказывается более сложной функцией положений атомов, чем простая сумма попарных взаимодействий.) Поэтому потенциальная энергия в частном случае тяготения представляется суммой по всем парам i и j членов – Gm_im_j/r_ij[как было показано в уравнении (13.14)]. Уравнение (13.14) выражает математически следующее предложение: общая потенциальная плюс общая кинетическая энергии не меняются со временем. Пусть себе различные планеты вращаются, обращаются и покачиваются, все равно если подсчитать общую потенциальную и общую кинетическую энергии, то окажется, что их сумма всегда остается постоянной.

§ 4. Неконсервативные силы

Мы потратили немало времени, обсуждая свойства консервативных сил. Что же мы теперь скажем о неконсервативных силах? Мы хотим разобраться в этом вопросе более подробно, чем это обыкновенно делают, и показать, что неконсервативных сил не бывает! Оказывается, все основные силы природы, по–видимому, консервативны. Не подумайте, что это следствие из законов Ньютона. На самом деле, насколько представлял себе это сам Ньютон, силы могут быть неконсервативными, как, например, трение, которое кажется неконсервативным. Употребляя слово «кажется», мы проводим современную точку зрения, которая доказывает, что все глубинные силы, все силы взаимодействия между частицами на самом фундаментальном уровне суть силы консервативные.

Когда мы, например, анализируем систему наподобие большого шарового звездного скопления (фотографию такого скопления мы показывали) с тысячами взаимодействующих звезд, то формула для общей потенциальной энергии состоит просто из суммы слагаемых, каждое из которых выражает взаимодействие какой–то пары звезд; точно так же и кинетическая энергия есть сумма кинетических энергий всех отдельных звезд. Но шаровое скопление как целое движется и в пространстве, и окажись мы от него так далеко, что не смогли бы различать отдельных деталей, мы бы приняли его за единый предмет. Если бы при этом к нему были приложены какие–то силы, то часть из них могла бы двигать его как целое и мы бы увидели, как центр этого тела движется. С другой стороны, прочие силы могли бы, если так можно выразиться, «тратиться» на повышение потенциальной или кинетической энергии «частиц» внутри «тела». Положим, например, что действие этих сил привело бы к расширению всего скопления и увеличению скоростей «частиц». Общая энергия «тела» на самом деле сохранялась бы. Но, глядя издалека нашими слабыми глазами, не различающими беспорядочных внутренних движений, мы бы видели только кинетическую энергию всего тела и нам бы казалось, что энергия не сохраняется, хотя все дело было бы в том, что мы не различаем деталей. Оказывается, что это всегда так: общая энергия Вселенной, кинетическая плюс потенциальная, если как следует посмотреть, всегда постоянна.

Изучая тончайшие свойства вещества на атомном уровне, не всегда легко разделить общую энергию на две части, потенциальную и кинетическую, и не всегда такое разделение необходимо. Во всяком случае, оно возможно почти всегда, так что давайте говорить, что оно всегда возможно и что потенциальная плюс кинетическая энергии мира постоянны. Итак, общая потенциальная плюс кинетическая энергии внутри целого мира постоянны, и если «мир» – это изолированный кусок вещества, то энергия его постоянна, если только нет внешних сил. Но, как мы видели, часть кинетической и потенциальной энергий предмета может быть внутренней (например, внутренние молекулярные движения), внутренней в том смысле, что мы ее не замечаем. Мы знаем, что в стакане воды все колеблется, все части беспрерывно движутся, так что внутри имеется определенная кинетическая энергия, на которую мы обычно никакого внимания не обращаем. Мы не замечаем движения атомов, рождающего теплоту, и поэтому не называем его кинетической энергией, но основа тепла – все–таки кинетическая энергия. Точно так же и внутренняя потенциальная энергия может, например, иметь форму химической энергии: когда мы сжигаем бензин, выделяется энергия, потому что потенциальные энергии атомов при новом их размещении оказываются ниже, чем при прежнем расположении. Строго говоря, теплоту нельзя считать чисто кинетической энергией, в нее входит и часть потенциальной энергии; то же относится и к химической энергии, так что лучше объединить их и говорить, что общая кинетическая и потенциальная энергии внутри тела – это частично тепло, частично химическая энергия и т. д. Во всяком случае, все эти различные формы внутренней энергии иногда рассматривают как «потерянную» энергию в том смысле, как сказано выше; когда мы изучим термодинамику, нам все это станет яснее.

В качестве другого примера возьмем трение. Неверно, что кинетическая энергия в результате трения исчезает; это неверно, хотя скользящее тело и впрямь останавливается и кажется, что кинетическая энергия пропала. Но она не пропадает, ибо атомы внутри тела начинают двигаться с большим запасом кинетической энергии; хоть мы этого и не можем увидеть, но можно догадаться об этом по повышению температуры. Конечно, если не обращать внимания на тепловую энергию, то теорема о сохранении энергии покажется неправильной.

Еще в одном случае может показаться, что энергия не сохраняется: когда мы изучаем часть всей системы. Вполне естественно, что если что–то взаимодействует с чем–то внешним и мы пренебрегаем этим взаимодействием, то теорема о сохранении энергии будет выглядеть неверной.

В классической физике в потенциальную энергию включались только тяготение и электричество, но теперь у нас есть и атомная энергия и многое другое. В классической теории, например, свет – это особая форма энергии, но можно, если нам этого хочется, представить себе энергию света как кинетическую энергию фотонов, и тогда наша формула (14.2) опять окажется справедливой.

§ 5. Потенциалы и поля

Теперь обратимся к некоторым идеям, связанным с потенциальной энергией и с понятием поля. Пусть два больших тела А и В притягивают к себе третье малое тело с суммарной силой F. Мы уже отмечали в гл. 12, что сила притяжения частицы может быть представлена как произведение ее массы m на вектор С, зависящий лишь от положения частицы:

F = mC.

Тяготение можно анализировать, считая, что в каждом месте пространства имеется вектор С, который «действует» на массу, помещенную в это место, но который присутствует там безотносительно к тому, поместили ли мы туда массу или нет. Вектор С имеет три составляющие, и каждая из них является функцией от (х, y, z) – функцией положения в пространстве. Такую вещь мы называем полем и говорим, что тела А и В создают поле, т. е. «делают» вектор С. Когда тело помещено в поле, то сила действия на это тело равна его массе, умноженной на величину вектора поля в той точке, куда тело попало.

С потенциальной энергией можно сделать то же самое. Так как потенциальная энергия, интеграл от (Сила)•(ds), может быть записана в виде массы m, умноженной на интеграл от (Поле)•(ds) – это простое изменение масштаба, – то потенциальную энергию U(x, у, z) тела, расположенного в точке (х, у, z), можно записать как произведение m на другую функцию. Назовем ее потенциалом ?.. Интеграл ?C•ds равен

— ?, подобно тому как ?F•ds=-U; они отличаются только

масштабом:

U= -?F•ds=-m?C•ds=m?. (14.7)

Зная в каждой точке пространства эту функцию ? (х, y, z), можно немедленно вычислить потенциальную энергию тела в любой точке, а именно U(x, у, z) – m? (х, у, z). Теперь, как видите, это стало делом пустяковым. Но на самом деле это отнюдь не пустяк, потому что иногда намного приятнее описать поле, задав распределение потенциала во всем пространстве, чем задавать С. Вместо трех сложных компонент векторной функции проще задать скалярную функцию ?. Кроме того, когда поле создается многими массами, величину ? рассчитывать легче, чем три компоненты С: потенциалы–скаляры, их можно просто складывать, не заботясь о направлениях сил. А поле С, как мы сейчас увидим, легко восстановить, зная ?. Пусть у нас есть точечные массы m₁, m₂,… в точках 1, 2…, и мы хотим знать потенциал ? в некоторой произвольной точке Р. Тогда он оказывается простой суммой потенциалов отдельных масс в точке Р:

Этой формулой, представляющей потенциал в виде суммы потенциалов отдельных масс, мы пользовались в предыдущей главе, чтобы вычислить потенциал сферического слоя (мы тогда сложили потенциалы всех поясков, на какие был нарезан слой). Итог расчета показан на фиг. 14.4.

Фиг. 14.4. Потенциал тяготеющего сферического слоя радиусом а.

Потенциал отрицателен, равен нулю на бесконечности, падает как 1/r, пока r не станет равным а, и затем внутри слоя становится постоянным. Вне слоя потенциал равен –Gm/r (т– масса слоя), что полностью совпадает с потенциалом точки с массой т, помещенной в центре сферического слоя. Но такое совпадение существует только для точек снаружи слоя, а во внутренних точках потенциал оказывается равным –Gm/a и больше не меняется! А когда потенциал постоянен, то поля нет: если потенциальная энергия не меняется, то сила отсутствует, потому что, когда мы двигаем тело из одной внутренней точки в другую, работа, выполняемая силой, в точности равна нулю. Почему? Да потому, что работа передвижения тела из одной точки в другую равна минус изменению потенциальной энергии (или соответствующий интеграл от поля равен изменению потенциала). Но потенциальная энергия в обеих точках одинакова, значит, ее изменение равно нулю, и поэтому никакой работы при любых движениях внутри сферического слоя не производится. А это возможно лишь тогда, когда внутри слоя нет никаких сил.

В этих рассуждениях кроется ключ к вычислению силы или напряженности поля, когда потенциальная энергия известна.

Пусть потенциальная энергия тела в точке (х, у, z) дана, а мы хотим узнать, какая сила действует на него в этой точке. Для этого нужно знать потенциал не только в этой точке, но и в соседних. Почему? Попробуем вычислить x–компоненту силы (если мы это сумеем сделать, то точно таким же способом мы вычислим и у–и z–компоненты, определив тем самым всю силу). Если б мы сдвинули тело на малое расстояние ?x, то работа, произведенная силой над телом, равнялась бы x–компоненте силы, умноженной на ?x (если ?x достаточно мало), и должна была бы быть равна изменению потенциальной энергии при переходе от одной точки к другой:

?W=-?U=F_x?x. (14.9)

Мы просто применили формулу ?F•ds=-?U для очень

малых расстояний. Теперь разделим на ?x и обнаружим, что сила равна

F_x=-?u/?x. (14.10)

Конечно, это не совсем точно. На самом деле нам нужно перейти в (14.10) к пределу при ?x, стремящемся к нулю, потому что (14.10) точно соблюдается только для бесконечно малых ?x. Мы узнаем в правой части (14.10) производную U по х и хотим написать–dUldx. Но U зависит и от х, и от у, и от z, и для такого случая математики придумали другое обозначение, которое рассчитано на то, чтобы напоминать нам, что надо быть очень осторожным, дифференцируя такую функцию. Этот символ напоминает, что только х считается изменяющимся, а у и z – нет. Вместо d они просто пишут «6 навыворот», или д. (По–моему, когда начинаешь изучать дифференциальные исчисления, то вообще лучше работать с д, а не с d; d всегда хочется сократить, а вот на д как–то рука не поднимается!) Итак, они пишут dU/dx, а иногда в припадке строгости, желая быть очень бдительными, они ставят за дх скобку с маленькими у, z внизу (dU/dx)_yz, что означает: «Продифференцируй U по х, считая у и z постоянными». Но мы чаще всего не будем отмечать, что осталось постоянным, из контекста это всегда можно понять. Но зато всегда будем писать д вместо d как предупреждение о том, что эта производная берется при постоянных значениях прочих переменных. Ее называют частной производной, т. е. производной, для вычисления которой меняют часть переменных, х.

Итак, мы обнаруживаем, что сила в направлении х равна минус частной производной U по х:

F_x=-дU/дx (14.11)

Точно так же и сила в направлении у получается дифференцированием U по у при постоянных х и z, а третья составляющая силы опять–таки есть производная по z при х и у постоянных:

В этом и состоит способ получать силу из потенциальной энергии. Поле получается из потенциала в точности так же:

Заметим, кстати, что существует и другое обозначение (впрочем, пока оно нам не понадобится). Так как С есть вектор с компонентами х, у, z, то символы д/дх, д/ду, d/dz, дающие х-, у-, z–компоненты поля, чем–то напоминают векторы. Математики изобрели знаменитый символ ?, или grad, называемый «градиентом»; это не величина, а оператор, он делает из скаляра вектор. У него есть три составляющие: x–компонента этого grad есть д/дх, y–компонента – д/ду, а z–компонента– d/dz, и мы можем позабавиться, переписав наши формулы в виде

Глядя на ?; мы мгновенно узнаем, что наши уравнения векторные; но на самом деле уравнение (14.14) означает в точности то же, что и (14.11) и (14.12); просто это другой способ записи. Не желая писать каждый раз три уравнения, мы пишем одно лишь ?U.

Еще один пример полей и потенциалов связан с электричеством. В этом случае сила, действующая на неподвижное тело, равна заряду, умноженному на поле: F = qЕ. (В x–составляющую силы входят, вообще говоря, и члены, которые зависят от магнитного поля. Но из уравнения (12.10) легко увидеть, что сила, действующая на частицу со стороны магнитных полей, всегда направлена поперек поля и поперек ее скорости. Благодаря этому свойству магнетизм не производит никакой работы над движущимся зарядом, потому что сила перпендикулярна перемещению. Значит, вычисляя кинетическую энергию в электрическом и магнитном полях, можно пренебречь вкладом магнитного поля, так как оно не изменяет кинетической энергии.) Положим, что имеется только электрическое поле. Тогда мы можем рассчитать энергию или произведенную работу точно таким же способом, как и для тяготения: вычислить величину ?, равную минус интегралу от Е•ds от произвольной фиксированной точки Р до точки, в которой вычисляется потенциал; тогда потенциальная энергия в электрическом поле равна просто произведению заряда на эту величину ?:

?(r) = -E•ds,

U=q?.

В качестве примера рассмотрим две параллельные металлические пластины с поверхностным зарядом ?? (на единицу площади) каждая. Такая штука называется плоским конденсатором. Мы уж убедились раньше, что снаружи пластин сила равна нулю, а между ними существует постоянное электрическое поле. Оно направлено от плюса к минусу и равно ?/?₀ (фиг. 14.5).

Фиг. 14.5. Поле между параллельными пластинами.

Мы хотим знать, какую работу надо совершить, чтобы перенести заряд от одной пластины к другой. Работа равна интегралу от (Сила.)•(ds). Его можно записать как произведение заряда на значение потенциала на пластине 1 минус та же величина на пластине 2:

W=?F•ds= q(?₁-?₂).

Интеграл здесь легко вычислить, так как сила постоянна, и если обозначить толщину конденсатора d, то интеграл равен

Разница в потенциалах ??= ?d/? называется напряжением и ? измеряют в вольтах. Когда мы говорим, что пара пластин заряжена до определенного напряжения, мы хотим этим сказать, что разность электрических потенциалов двух пластин равна стольким–то вольтам. У конденсатора, сделанного из двух параллельных пластин с поверхностным зарядом ±?, напряжение (или разность потенциалов этой пары пластин) равно ?d/?.