Фейнмановские лекции по физике 1. Современная наука о природе, законы механики

Мы не рассматривали еще случаи, когда для монеты или какого–то другого объекта испытания, подобного монете (в том смысле, что возможны два или несколько достоверно не предсказуемых исхода наблюдения, например камень, который может упасть только на какую–то из двух сторон), имеется достаточно оснований полагать, что вероятности разных исходов не равны. Мы определили вероятность Р(O) как отношение /N. Но что принять за величину ? Каким образом можно узнать, что ожидается? Во многих случаях самое лучшее, что можно сделать, это подсчитать число выпадений «орла» в большой серии испытаний и взять =N0 (наблюденное). (Как можно ожидать чего–то еще?) При этом, однако, нужно понимать, что различные наблюдатели и различные серии испытаний могут дать другое значение P(О), отличное от нашего. Следует ожидать, однако, что все эти различные ответы не будут расходиться больше чем на 12N [если Р(O) близко к половине], Физики–экспериментаторы обычно говорят, что «экспериментально найденная» вероятность имеет «ошибку», и записывают это в виде

(6.14)

При такой записи подразумевается, что существует некая «истинная» вероятность, которую в принципе можно подсчитать, но что различные флуктуации приводят к ошибке при экспериментальном ее определении. Однако нет возможности сделать эти рассуждения логически согласованными. Лучше все–таки, чтобы вы поняли, что вероятность в каком–то смысле – вещь субъективная, что она всегда основывается на какой–то неопределенности наших познаний и величина ее колеблется при их изменении.

§ 4. Распределение вероятностей

Давайте вернемся к проблеме случайных блужданий, но теперь уже с некоторым изменением. Пусть в дополнение к случайному выбору направления шага (+ или -) некоторым непредсказуемым образом меняется также и его длина, причем требуется выполнение одного–единственного условия, чтобы длина шага в среднем была равна единице. Эта задача уже больше похожа на тепловое движение молекул в газе. Обозначим длину шага через S, которая, вообще говоря, может быть любой, но наиболее часто будет принимать значения где–то «вблизи» единицы. Для большей определенности давайте положим =1, или, что эквивалентно, SC–K=1. Вывод выражения для при этом останется тем же, за исключением того, что уравнение (6.8) изменится теперь следующим образом:

=+=+1. (6.15)

Так что, как и прежде,

=N. (6.16)

Каково же в этом случае будет распределение расстояний! Какова, например, вероятность того, что после 30 шагов D окажется равным нулю? Вероятность этого равна нулю! Вообще вероятность любой заданной величины D равна нулю. Действительно, совершенно невероятно, чтобы сумма всех шагов назад (при произвольной длине каждого из них) в точности скомпенсировалась шагами вперед. В этом случае мы уже не можем построить график типа изображенного на фиг. 6.2.

Если же, однако, не требовать, чтобы D было в точности равно, скажем, нулю, или единице, или двум, а вместо этого говорить о вероятности получения D где–то вблизи нуля, или единицы, или двух, то при этом мы можем нарисовать график, подобный приведенному на фиг. 6.2. Назовем Р (х, ?x) вероятностью того, что D будет находиться где–то внутри интервала ?x в окрестности величины х (скажем, где–то между х и х+?x). Если Ax достаточно мало, то вероятность того, что D попадет в этот интервал, должна быть пропорциональна его ширине, т. е. Ax. Поэтому мы можем утверждать, что

Р (х, ?x)=р(х)?x. (6.17)

Функция р(х) называется плотностью вероятности.

Вид кривой р(х) зависит как от числа шагов N, так и от распределения шагов по длинам (т. е. от того, какую долю составляют шаги данной длины). К сожалению, я не могу здесь заниматься доказательством этого, а только скажу, что при достаточно большом числе шагов N плотность p(х) одинакова для всех разумных распределений шагов по длинам и зависит лишь от самого N. На фиг. 6.7 показаны три графика р(х) для различных N.

Фиг. 6.7. Плотность вероятности оказаться при случайном блуждании через N шагов на расстоянии D.