Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм

Используя эти комбинации, можно пространственные вариации полей записывать в удобном виде, т. е. в виде, не зависящем от той или иной совокупности осей координат.

В качестве примера применения нашего векторного диф­ференциального оператора С выпишем совокупность вектор­ных уравнений, в которой содержатся те самые законы электро­магнетизма, которые мы словесно высказали в гл. 1. Их назы­вают уравнениями Максвелла.

Уравнения Максвелла

(2.41)

где r (ро) — «плотность электрического заряда» (количество заряда в единице объема), a j — «плотность электрического тока» (скорость протекания заряда сквозь единицу площади). Эти четыре уравнения содержат в себе законченную классиче­скую теорию электромагнитного поля. Видите, какой элегант­ной и простой записи мы добились с помощью наших новых обозначений!

§ 6. Дифференциальное уравнение потока тепла

Приведем другой пример векторной записи физического закона. Этот закон не из точных, но во многих металлах и других материалах, проводящих тепло, он проявляется со­вершенно четко. Известно, что если взять плиту из какого-то материала и нагреть одну ее сторону до температуры Т₂, а дру­гую охладить до Т₁ , то тепло потечет от T₂к Т₁(фиг. 2.7, а). Поток тепла пропорционален площади торцов А и разнице температур. Кроме того, он обратно пропорционален расстоя­нию между торцами. (Для заданной разницы температур чем тоньше плита, тем мощнее поток тепла.).

Фиг. 2.7. Тепловой по­ток через плиту (а) и бесконечно малая плит­ка, параллельная изо­термической поверхно­сти в большом блоке вещества (б).

Обозначая через J тепловую энергию, проходящую сквозь плиту за единицу вре­мени, мы напишем

Что произойдет в более сложных случаях, скажем, в блоке материала необычной формы, в котором температура как-то прихотливо меняется? Рассмотрим тонкий слой материала и представим себе плиту наподобие изображенной на фиг. 2.7, а, но в миниатюре. Ориентируем ее торцы параллельно изотерми­ческим поверхностям (фиг. 2.7, б), так что для этой малой плиты выполняется уравнение (2.42).

Если площадь этой плиты DА, то поток тепла за единицу времени равен

(2.42)

Коэффициент пропорциональности c (каппа) называется тепло­проводностью.

(2.43)

где Ds — толщина плиты. Но DJ/DA мы раньше определили как абсолютную величину h — вектора, направленного туда, куда течет тепло. Тепло течет от T₁ + DT к T₁,так что вектор h перпендикулярен изотермам (фиг. 2.7, б). Далее, DТ/Ds как раз равно быстроте изменения Т с изменением положения. А по­скольку изменения положения перпендикулярны изотермам, то наше AT/As — это максимальная скорость изменения. Она равна поэтому величине у Т. И, наконец, раз направления СТ и h противоположны, то (2.43) можно записать в виде вектор­ного уравнения

h = - cСТ. (2.44)

(Знак минус написан потому, что тепло течет в сторону пониже­ния температуры.) Уравнение (2.44) — это дифференциальное уравнение теплопроводности в массиве вещества. Вы видите, что это чисто векторное уравнение. С обеих сторон стоят векторы (если x число). Это обобщение на произвольный случай частного соотношения (2.42), верного для прямоугольной плиты.

Мы с вами должны будем научиться выписывать все соот­ношения элементарной физики [наподобие (2.42)] в этих хитро­умных векторных обозначениях. Они полезны не только потому, что уравнения начинают от этого выглядетъ проще. В них намного яснее проступает физическое содержание уравнений безотносительно к выбору системы координат.

§ 7. Вторые производные векторных полей

Пока мы имели дело только с первыми производными. А почему не со вторыми? Из вторых производных можно соста­вить несколько комбинаций:

(2.45)

Вы можете убедиться, что никаких иных комбинаций быть не может.

Посмотрим сперва на вторую комбинацию (б). Она имеет ту же форму, что и

АX(АT) = (АXА)T = 0, потому что АXА всегда нуль. Значит,

(2.46)

Можно понять, как это получается, если расписать одну из компонент:

что равно нулю [по уравнению (2.8)]. Это же верно и для других компонент. Стало быть, СХ(СT)=0 для любого распределе­ния температур, да и для всякой скалярной функции.

Возьмем второй пример. Посмотрим, нельзя ли получить нуль другим путем. Скалярное произведение вектора на век­торное произведение, содержащее этот вектор, равно нулю

А·(АХВ) = 0, (2.48)

потому что АХВ перпендикулярно к А и не имеет тем самым составляющих вдоль А. Сходная комбинация стоит в списке (2.45) под номером (г):

С(СXh) = div(roth) = 0. (2.49)

В справедливости этого равенства опять-таки легко убедиться, проделав выкладки на компонентах.

Теперь сформулируем без доказательства две теоремы. Они очень интересны и весьма полезны для физиков.