Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Сейчас нас главным образом будет интересовать то, что можно сказать относительно общих свойств тензора упругости. Прежде всего ясно, что на самом деле в C_ijklсодержится не 81 различный параметр. Поскольку S_ijи e_ij— симметричные тензоры, каждый из которых включает только шесть различных элементов, то C_ijklсостоит максимум из 36 различных компо­нент. Обычно же их гораздо меньше.

Рассмотрим специальный случай кубического кристалла. Плотность энергии w для него получается такой:

т. е. всего 81 слагаемое! Но кубический кристалл обладает определенными симметриями. В частности, если кристалл по­вернуть на 90°, то все его физические свойства останутся теми же. Например, у него должна быть одна и та же жесткость относительно растяжения как в направлении оси у, так и в нап­равлении оси х. Следовательно, если мы переменим наши опре­деления осей координат х и у в уравнении (39.15), то энергия не должна измениться. Поэтому для кубического кристалла

C_хххх=С_уууу=C_zzzz. (39.16)

Мы можем еще показать, что компоненты, наподобие С_ххху, должны быть нулями. Кубический кристалл обладает тем свой­ством, что он симметричен при отражении относительно любой плоскости, перпендикулярной к одной из осей координат. Если мы заменим у на —y, то ничего не должно измениться. Но из­менение у на -у меняет е_xyна -е_xy , так как перемещение в нап­равлении +у будет теперь перемещением в направлении -у. Чтобы энергия при этом не менялась, С_хххудолжно переходить в -С_хххуНо отраженный кристалл будет тем же, что и прежде, поэтому С_ххxyдолжно быть таким же, как и -С_ххху. Это может произойти только тогда, когда оба они равны нулю.

Но вы можете сказать: «Рассуждая таким же образом, можно сделать и C_yyyy=0!» Это неверно. Ведь здесь у нас четыре игрека. Каждый у изменяет знак, а четыре минуса дают плюс. Если у встречается два или четыре раза, то такие компоненты не должны быть равны нулю. Нулю равны только те компо­ненты, у которых у встречается либо один, либо три раза. Таким образом, для кубического кристалла не равны нулю только те С, у которых один и тот же значок встречается четное число раз. (Рассуждения, которые мы провели для у, имеют силу и для х и для z.) Таким образом, выживают только компоненты типа С_ххуу, С_хуху, С_хуухи т. д. Однако мы уже показали, что если изменить все х на у и наоборот (или все z на x и т. д.), то для кубического кристалла мы должны получить то же самое число. Это означает, что остаются всего три различные ненуле­вые возможности:

Плотность же энергии для кубического кристалла выглядит так:

У изотропного, т. е. некристаллического, материала симмет­рия еще выше. Числа С должны быть теми же самыми при любом выборе осей координат. При этом, как оказывается, существует другая связь между коэффициентами С:

C_хххх=C_ххуу+C_хуху (39.19)

Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тен­зор напряжений S_ijдолжен быть связан с e_ijспособом, который совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин. «Это очень просто»,— скажете вы. «Единственный способ полу­чить S_ijиз e_ij — умножить последнее на скалярную постоянную. Получится как раз закон Гука: S_ij=(Постоянная)Xе_ij». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вста­вить единичный тензор d_ij, умноженный на некоторый скаляр, линейно связанный с е_ij. Единственный инвариант, который можно составить и который линеен по е,— это Se_jj. (Он преоб­разуется подобно х²+y²+z², а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связывающего S_ijс e_ijдля изотропного материала, будет

(Первая константа обычно записывается как 2m; при этом коэффициенту равен модулю сдвига, определенному нами в пре­дыдущей главе.) Постоянные (m, и l называются упругими по­стоянными Лямэ. Сравнивая уравнения (39.20) с уравнением (39.12), вы видите, что

Таким образом, мы доказали, что уравнение (39.19) действи­тельно правильное. Вы видите также, что упругие свойства изотропного материала, как уже говорилось в предыдущей главе, полностью задаются двумя постоянными.

Коэффициенты С могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, напри­мер через модуль Юнга Y и отношение Пуассона s. На вашу долю оставляю показать, что

§ 3. Движения в упругом теле

Мы подчеркивали, что в упругом теле, находящемся в равно­весии, внутренние напряжения распределяются так, чтобы энергия была минимальной. Посмотрим теперь, что происходит, если внутренние силы не уравновешены. Возьмем маленький кусочек материала внутри некоторой поверхности А (фиг. 39.5).

Фиг. 39.5. Маленький элемент объема V, ограниченный поверхностью А,