Фейнмановские лекции по физике. 8. Квантовая механика I

|Фиг. 5.2. Частица с массой M и импульсом р в области постоянного потенциала.

Если внутри ящика есть заряженные объекты, то их потенциальная энергия будет равна qj; мы обозначим это число буквой V. Оно по условию совершенно не зависит от положения самого объекта. От наложения потенциала никаких физических изменений внутри ящика не произойдет, ведь постоянный потенциал ничего не меняет в том, что происходит внутри ящика. Значит, закон, по которому теперь будет меняться амплитуда, вывести никак нельзя. Можно только догадаться. Вот он, правильный ответ — он выглядит примерно так, как и следовало ожидать: вместо энергии нужно поставить сумму потенциальной энергии V и энергии Е_р, которая сама есть сумма внутренней и кинетической энергий. Амплитуда тогда будет пропорциональна

Общий принцип состоит в том, что коэффициент при t, который можно было бы назвать со, всегда дается полной энергией системы: внутренней энергией («энергией массы») плюс кине­тическая энергия плюс потенциальная энергия:

Или в нерелятивистском случае

Ну, а что можно сказать о физических явлениях внутри ящика? Если физическое состояние не одно, а несколько, то что мы получим? В амплитуду каждого состояния войдет один и тот же добавочный множитель

e^-(i/h)Vt

сверх того, что было при V=0. Это ничем не отличается от сдвига нуля нашей энергетической шкалы. Получится одинаковый сдвиг всех фаз всех амплитуд, а это, как мы раньше убе­дились, не меняет никаких вероятностей. Все физические яв­ления остаются теми же. (Мы предположили, что речь идет о разных состояниях одного и того же заряженного объекта, так что qj у них у всех одинаково. Если бы объект мог менять свой заряд, переходя от одного состояния к другому, то мы пришли бы к совершенно другому результату, но сохранение заряда предохраняет нас от этого.)

До сих пор наше допущение согласовывалось с тем, чего сле­довало ожидать от простого изменения уровня отсчета энер­гии. Но если оно на самом деле справедливо, то обязано вы­полняться и для потенциальной энергии, которая не является просто постоянной. В общем случае V может меняться произ­вольным образом и во времени, и в пространстве, и оконча­тельный результат для амплитуды должен выражаться на языке дифференциальных уравнений. Но мы не хотим сразу приступать к общему случаю, а ограничимся некоторым пред­ставлением о том, что происходит. Так что пока мы рассмотрим только потенциал, который постоянен во времени и медленно меняется в пространстве. Тогда мы сможем сравнить между со­бой классические и квантовые представления.

Предположим, что мы размышляем о случае, изображенном на фиг. 5.3, где два ящика поддерживаются при постоянных потенциалах j₁ и j₂, а в области между ними потенциал плавно меняется от j₁ к j₂.

Фиг. 5.3. Амплитуда для частицы, переходящей от одного потенциала к другому.

Вообразим, что у некоторой частицы есть амплитуда оказаться в одной из этих областей. Допустим так­же, что импульс достаточно велик, так что в любой малой об­ласти, в которой помещается много длин волн, потенциал почти постоянен. Тогда мы вправе считать, что в любой части прост­ранства амплитуда обязана выглядеть так, как (5.18), только V в каждой части пространства будет свое.

Рассмотрим частный случай, когда j₁=0, так что потен­циальная энергия в первом ящике равна нулю, во втором же пусть qj₂ будет отрицательно, так что классически частица в нем будет обладать большей кинетической энергией. В клас­сическом смысле она во втором ящике будет двигаться быст­рее, у нее будет, стало быть, и больший импульс. Посмот­рим, как это может получиться из квантовой механики.

При наших предположениях амплитуда в первом ящике Должна была быть пропорциональна

а во втором

(Будем считать, что внутренняя энергия не изменяется, а остается в обеих областях одной и той же.) Вопрос заключается в следующем: как эти две амплитуды сопрягаются друг с другом в области между ящиками?

Мы будем считать, что все потенциалы во времени постоянны, так что в условиях ничего не меняется. Затем мы предположим, что изменения амплитуды (т. е. ее фазы) всюду обладают одной и той же частотой, потому что в «среде» между ящи­ками нет, так сказать, ничего, что бы зависело от времени. Если в пространстве ничего не меняется, то можно считать, что волна в одной области «генерирует» во всем пространстве вспомогательные волны, которые все колеблются с одинако­вой частотой и, подобно световым волнам, проходящим через покоящееся вещество, не меняют своей частоты. Если частоты в (5.21) и (5.22) одинаковы, то должно выполняться равенство