Фейнмановские лекции по гравитации

Для того, чтобы вычислить такие величины, как мощность излучаемых гравитационных волн, мы рассмотрим точку (1), расположенную достаточно далеко от системы, на некотором расстоянии, которое много больше, чем размеры области, где, как ожидается, величина S(2) является достаточно большой, как это показано на рис. 16.7. Мы можем разложить расстояние r, как степенные ряды от радиальных расстояний точек (1) и (2) от некоторого начала координат вблизи точки (2), и мы находим, что

r

=

r

2

1

+

r

2

2

-

2rr

cos

1/2

=

r

1

-

2r

r

cos

+…

1/2

r

-

r

cos

+… ,

(16.5.5)

когда rcos - косинус угла между векторами r и r. Так как любые волны, наблюдаемые в точке (1), будут иметь вектор импульса, направленный вдоль r, мы получаем следующее выражение для h(1)

h

(1)

=-

4r

exp(ir)

d^3r

S

(2)

exp(-iK·r)

.

(16.5.6)

Интеграл, появляющийся в соотношении (16.5.6), теперь не зависит от точки (1), мы видим, что тензор давления S(2) является источником сферических волн.

В случае электромагнетизма наипростейшие случаи излучения часто соответствуют дипольному приближению, которое представляет собой первый ненулевой член в последовательности интегралов, соответствующих разложению экспоненты. Поскольку источник гравитационных волн является тензором вместо того, чтобы быть вектором (как в случае электромагнетизма), первый ненулевой член в гравитации имеет квадрупольный характер. Использование этого разложения оказывается оправданным, если частоты такие, что K·r много меньше, чем 1, в области, где величина S оказывается значимой. Для всех вращающихся масс таких, как двойные звёзды или системы типа звезда - планета, периоды движения (скажем, ~ 1 год для системы Земля - Солнце) много больше, чем время, которое требуется гравитации для того, чтобы пройти расстояние порядка размера системы (~ 16 минут для системы Земля - Солнце), так что члены разложения очень быстро становятся всё меньше и меньше. Таким образом, почти во всех случаях, представляющих астрономический интерес, длины волн много больше, чем размеры объекта. Результат состоит в том, что поля h пропорциональны интегралам поперечных давлений (полное поперечное давление)

h

_ab

=-

exp(ir)

4R

S

_ab

, где

S

_ab

=

S

_ab

(r)

.

(16.5.7)

Значения давления в направлении вдоль волнового вектора не относятся к делу. Любое качественное правило, которое полезно в электромагнетизме, целиком переносится в гравитацию.

Какова мощность, испускаемая такой волной? Существует огромное количество специалистов, которые в силу многолетнего предрассудка, что гравитация является чем-то таинственным и отличным от всего остального, напрасно обеспокоены этим вопросом; они считают, что гравитационные волны не переносят энергии совсем. Мы можем определённо показать, что гравитационные волны могут на самом деле нагреть стенку, так что нет вопроса об энергосодержании в гравитационных волнах. Эта ситуация в точности аналогична той, которая имеет место в электромагнетизме, и в квантовой интерпретации каждый испускаемый гравитон уносит величину энергии h.

Список литературы

[Alva 89] Alvarez, Enrique (1989). ”Quantum gravity: an introduction to some recent results,” Reviews of Modem Physics, 61, 561-604.

[Asht 86] Ashtekar, A. (1986). ”New variables for classical and quantum gravity,” Physical Review Letters, 57, 2244-2247.

[Asht 87] Ashtekar, A. (1987). ”A new Hamiltonian formulation of general relativity,” Physical Review D, 36, 1587-1603.

[Baad 52] Baade, Walter. (1952). ”Report of the Commission on Extragalactic Nebulae,” Transactions of the International Astronomical Union, 8, 397-399.

[Bard 65] Bardin, James M. (1965). "Stability and dynamics of spherically symmetric masses in general relativity,” unpublished Ph.D. thesis, California Institute of Technology.

[BBIP 91] Balbinot, Roberto, Brady, Patric R., Israel, Werner, and Poisson, Eric (1991). ”How singular are black-hole interiors?”, Physics Letters A, 161, 223-226.

[Birk 43] Birkhoff, G. (1943). ”Matter, electricity, and gravitation in flat spacetime,” Proc. Nat. Acad. Sci. U.S., 29, 231-239.

[BTM 66] Bardeen, James М., Thorne, Kip S., and Meltzer, David W. (1966). ” A catalog of methods for studying the normal modes of radial pulsation of general relativistic stellar models,” Astrophysical Journal, 145, 505-513.

[Bond 57] Bondi, Hermann. (1957). ”Plane gravitational waves in general relativity,” Nature, 179, 1072-1073.

[BoDe 75] Boulware, David G. and Deser, Stanley (1975). ”Classical general relativity derived from quantum gravity,” Annals of Physics, 89, 193-240.

[Cart 28] Сartan, Elie. (1928). ”Lecons sur la G'eom'etrie des Espaces de Riemann,” Memorial des Sciences Math'ematiques, Fascicule IX (Gauthier-Villars, Paris, Prance).