Фейнмановские лекции по гравитации

Ответы, которые мы получили, являются весьма близкими к тем, что имеют место при испускании фотона; существенное различие состоит в том, что взаимодействие в электромагнетизме осуществляется вектором, в то время как в гравитации тензором. Для быстро движущейся частицы vc, так что знаменатель в соотношении (16.4.1) может быть очень мал и амплитуда может становиться очень большой вблизи 0. С другой стороны, тензор поляризации всегда поперечен к импульсу гравитона. В электромагнетизме вектор поляризации также поперечен импульсу фотона; существует только одно скалярное произведение в числителе, так что когда величина мала и vc,

a

_e.m

->

p·e

1-v cos

sin

1-cos

2

.

(16.4.2)

Рис. 16.6.

Излучение фотона может быть очень большим для малых углов. На самом деле взрыва не происходит, поскольку величина v. никогда не бывает в точности равной c. Диаграмма направленности, соответствующая одиночной частице, имеет две полости, как показано на рис. 16.6. В гравитации взаимодействие осуществляется тензорным полем и таким образом является вдвойне трансверсальным; в пределе ->0 и v=1,

a

_g

->

p·e·p

1-v cos

sin^2

1-v cos

2,

(16.4.3)

так что диаграмма направленности не направлена строго вперёд, но в целом более однородна по сравнению с электромагнетизмом (рис. 16.6 (б)). Это различие может быть замечено интуитивно, будучи следствием того факта, что при формировании излучения спин два требует больше ”трансверсальности”, чем спин, равный единице.

Имеется одна амплитуда с угловой структурой такой же, как и на рис. 16.6(б), в окрестности каждого из четырёх направлений частиц в задаче рассеяния. Интенсивность испускания гравитона является квадратом суммы четырёх амплитуд, так что в общем случае это выражение выглядит достаточно симметричным образом.

Для медленно движущихся частиц vне играет существенной роли, и диаграмма направленности определяется исключительно числителем. Эта величина может быть выражена как свёрнутое произведение двух тензоров

i

(-)

_i

ⁱ

p

·e·

ⁱ

v

=

e

S

,

,

=

x,y,z

,

S

=

i

(-)

_i

p

v

.

(16.4.4)

Характер излучения полностью определяется тензором S, который представляет давление, производимое при столкновении. Мы узнаем, что форма этого выражения в точности аналогична форме давления в движущейся жидкости

Давление

=

v

v

, (

= плотность массы).

(16.4.5)

Если мы имеем столкновение между двумя частицами, давление S имеет простое выражение на языке средних скоростей (до и после) сталкивающихся частиц. Мы положим передачу импульса равной Q=p-p=-p+p (см. рис. 16.5). Запишем средние скорости

v

=

p+p

2m

,

v'

=

p+p

2m'

(16.4.6)

На языке этих комбинаций может быть легко показано после соответствующей симметризации, что

S

=

2(v'-t)

Q

.

(16.4.7)

С помощью этой формулы мы можем теперь ответить на интересный вопрос: при столкновении между лёгкой и тяжёлой частицами, какая из них даёт наибольший вклад в излучение? Приведённая формула говорит нам, что если v'зависит только от v. При рассмотрении излучения от скользящих столкновений очень лёгкой частицы с массивным объектом, мы теперь знаем наверняка, что разрешено рассматривать массивную частицу, как всегда находящуюся в покое. Это правило работает при условии, что ускорение почти перпендикулярно скорости так, что Q·v0.

Эта формула применяется здесь и для упругих, и для неупругих столкновений, которые могут оставлять одну или обе массы в возбуждённом состоянии.

16.5. Источники классических гравитационных волн

Теперь мы переходим к описанию классического гравитационного излучения. Так же, каик в квантово-механическом случае, мы найдём, что излучателем гравитационных волн также является давление. Исходная точка в нашем обсуждении есть дифференциальное уравнение

h

=

S

.

(16.5.1)

Это решение продолжается в точности также, как и в электродинамике, для решений векторных потенциалов, создаваемых произвольными токами. Если мы предполагаем гармоническое изменение от времени, такое как exp(-it) для всех величин, то векторный потенциал задаётся соотношением:

A

(1)

=

dV

j(2)·exp(ir)

4r

,

(16.5.2)

где индексы 1 и 2 относятся к различным пространственным положениям; (1) есть место, в котором мы вычисляем потенциалы A, (2) есть места, где находятся токи, и r - расстояние между этими точками. Один из наиболее простейших случаев излучения соответствует осциллирующему диполю такому, что токи ограничиваются небольшой областью пространства. Довольно непосредственными выкладками проводим вычисления пространственных компонент A_x, A_y, A_z ; временной компонент или скалярный потенциал наиболее легко получается из дивергентного условия на A

A

_,

=

0

->

iA

_t

=

·A

.

(16.5.3)

Эта ситуация в точности аналогична той, которая имеет место в гравитации. Временные части полей h наиболее легко получаются из дивергентных условий после вычислений пространственных частей по следующему правилу:

h

(1)

=-

4

dV

S

(2)

exp(ir)

r

.

(16.5.4)

Рис. 16.7.