Фейнмановские лекции по гравитации

(16.1.5)

Тензор источника содержит в себе и источники материи, и источники гравитации. Из-за свободы, которую мы имеем в выборе калибровки, мы можем сделать тензор с чертой h бездивергентным и, таким образом, получить решение

k

h

=

0->

k^2

h

=

S

,

h

=

k^2+i

S

.

(16.1.6)

Тензор, стоящий справа, есть не просто тензор неизвестного источника: теперь он хорошо определён на языке первоначального действия (16.1.1) и разложения (16.1.2), так что уравнения являются совместными и энергия сохраняется. Раз у нас есть разложение по степеням константы связи , мы можем, используя обычные правила теории возмущения, приступить к вычислению всех диаграмм каждого заданного порядка . Ключевыми разложениями являются разложение g и разложение g. Первое легко может быть выписано по аналогии с разложением (1+x)^1, когда x есть малая величина. Мы имеем

g

=

+

2

h

^1

=

=

-

2

h

+

4^2

h

h

-

3^3

h

h

h

+… ,

(16.1.7)

где необходимо помнить правило суммирования для плоского пространства-времени, как в соотношении (4.1.6). Выражение для разложения -g может быть вычислено посредством манипуляций, описанных в лекции 6. Используя соотношение (6.3.11) при

g

=

+

2

h

,

мы имеем

-Det g

=

=

-Det

exp

1

2

Tr log

+

2

h

=

exp

1/2 Tr

2

h

-

1

2

(2)^2

h

h

+

1

3

(2)^3

h

h

h

+…

=

exp

1

2

2

h

-

1

2

2^2

h

h

+

1

3

(2)^3

h

h

h

+…

=

1

+

h

-

^2

h

h

+… .

(16.1.8)

Подставляя эти выражения для -g и для g в действие, мы получаем явные выражения для связи материи и гравитации; результат для второго члена соотношения (16.1.1) есть, например, следующий:

S

_m

=

1

2

-

2

h

+

(2)^2

h

h

+…

(

_,

_,

)

-

m^2^2

x

x

1+

h

-

^2

(h

h

)

+…

dx

=

=

1

2

dx

(

^,

_,

-

m^2^2

)-

dx

h

_,

_,

+

1

2

m^2^2

-

-^2

dx

1

2

h

h

(

^,

_,

-

m^2^2

)-

2h

h

_,

_,

.

(16.1.9)

Рис. 16.1.

Члены самого наиболее низкого порядка включают в себя взаимодействие двух полей и одного h, что соответствует вершине, показанной на рис. 16.1(a). В каждой вершине мы требуем, чтобы импульсы сохранялись. Это правило происходит от объёмного интегрирования в действии: нет вклада от члена, полная фаза которого не равна нулю. Запишем решение типа плоской волны следующим образом :

h

=

e

exp(iq·x)

,

=

exp(ip·x)

;

(16.1.10)

на языке тензора поляризации e амплитуда в вершине первого порядка

-2

e

^1p

^2p

-

1

2

e

^1p

^2p

-

m^2

.

(16.1.11)

Рис. 16.2.

Любая диаграмма, которая включает в себя только такие вершины, теперь могла бы быть вычислена путём простой подстановки в соответствующие амплитуды в каждой вершине и пропагаторы частиц и гравитонов между вершинами в точности так же, как и в электродинамике.

Давайте посмотрим на следующий порядок. Члены, показанные в (16.1.9), включают в себя произведения двух h и , так что две прямых и две волнистых линии сходятся вместе в некоторой точке, как показано на рис. 16.1 (б). Имеются также члены, возникающие от разложения первого члена в соотношении (16.1.1), включающего в себя произведения трёх h, соответствующие диаграммам, в которых три волнистых линии сходятся в точке, как показано на рис. 16.1 (в). Обилие неявных сумм по трём индексам приводит к членам, которые очень и очень громоздки, когда они записаны явным образом. Например, один из членов, в котором три волнистых кривых сходятся вместе, есть h_,hh_,; когда мы переводам это на язык импульсов и компонент поляризации, мы получаем члены, соответствующие всем перестановкам трёх гравитонов, например,

^a

q

^a

e

^b

e

^c

q

^c

e

+

^b

q

^b

e

^a

e

^c

q

^c

e

+

+

^b

q

^b

e

^c

e

^a

q

^a

e

+… .

(16.1.12)

Эта сложность сопровождает одиночную вершину, которая всегда соответствует одной части амплитуды; когда мы соединяем эти выражения, как, например, при вычислении диаграммы, подобной показанной на рис. 16.2 (а), мы можем получить ни много ни мало как 108 членов.

16.2. Завершение теории: простой пример гравитационного излучения

В предыдущем разделе мы привели полное описание теории. Осталось продолжить вычисления соответствующих диаграмм для любых физических процессов в соответствии с теми же самыми правилами, которые используются в электродинамике. Характерные примеры некоторых простейших диаграмм были разрешены в лекции 4; например, амплитуда рассеяния при обмене одиночным гравитоном задаётся в соотношении (4.3.5). На практике, при соответствующей симметризации некоторых выражений необходима определённая тщательность, но при наличии некоторого опыта это становится довольно простым, и обозначения типа ”черты” очень полезны для того, чтобы избежать чрезмерных алгебраических вычислений.

В самом низком порядке теория завершается путём этого уточнения. Все процессы, подходящим образом описываемые ”древесными” диаграммами, не имеют трудностей для описания. "Древесными” диаграммами являются такие диаграммы, которые не содержат ни пузырей, ни замкнутых петлей типа изображённых на рис. 16.2. Такое название очевидным образом связывается с тем фактом, что ветви дерева никогда сами по себе не замыкаются.