Фейнмановские лекции по гравитации

на языке координат u и v пространство и метрика являются гладкими с обеих сторон r=2m. Подобное преобразование использовалось Фуллером и Уилером [FuWh 62] для того, чтобы получить пересечение промежутка, где имелась координатная особенность. Геодезические, правильно соединяющиеся через значение r=2m, показывают, что частицы, падающие по направлению к гравитирующей массе, при значениях координаты r меньших, чем её критическое значение 2m, не отражаются в какое бы то ни было ”новое" пространство на другой стороне любой горловины, а сохраняют своё падение по направлению к началу координат. Здесь нет противоречия с рассмотрениями, которые привели к предположениям о кротовых норах. Топология типа горловины получается путём разрезания пространства неким особым способом, если положим dt=0. Тем не менее, движение реальных частиц не происходит в пространстве, в котором dt=0, и нет основания тому, почему топология подпространства dt=0 должна бы соответствовать общему свойству четырёхмерного пространства. Тороидальный пончик может быть вырезан из целого куска даже тогда, когда нет ничего тороидального у этого целого куска. Для физических задач топология, которой мы интересуемся, касается геодезических, и здесь не существует времениподобных геодезических, которые бы проходили через кротовую нору.

15.2. Орбиты частиц в поле Шварцшильда

Поучительно получить описание радиального движения частиц как функции собственного времени s. Как обычно для задач описания движения в поле центральных сил, движение происходит в одной плоскости (мы выбираем её таким образом, что =/2, и радиальное движение определяется двумя параметрами K и L, связанными с полной энергией и угловым моментом, которые есть первые интегралы уравнения для времени и уравнения для угла, как следует из следующих уравнении: уравнения геодезических

d

ds

g

dx

ds

=

1

2

g

x

dx

ds

dx

ds

,

(15.2.1)

может быть тривиальным образом проинтегрировано, когда =3,4 (координаты , t), поскольку метрический тензор не зависит от и t, и, следовательно, правая часть уравнения (15.2.1) равна нулю. Из этого условия определяются следующие интегралы:

K

=

(1-2m/r)

dt

ds

,

L

=

r^2

d

ds

.

(15.2.2)

Уравнение для описания изменения радиальной координаты может быть получено, если мы положим =1 в уравнении (15.2.1), но это требует больше работы, чем это необходимо. Легче получить уравнение для описания изменения радиальной координаты из условия

g

dx

ds

dx

ds

=

1,

(15.2.3)

которое может быть явным образом записало через величины L и K следующим образом:

K^2

(1-2m/r)

-

1

(1-2m/r)

dr

ds

^2

-

L^2

r^2

=

1.

(15.2.4)

Собственное время, соответствующее пролёту частицы от значения радиуса r до значения радиуса r, задаётся следующим соотношением:

ds

=

r

r

dr

K

-

(1-2m/r)

(1+L^2/r^2)

- 1/2

.

(15.2.5)

Необходимо заметить, что более не происходит ничего ужасного при r=2m, подынтегральное выражение ведёт себя хорошо, нет никакой задачи соединения траектории, проходящей через какой-либо промежуток (содержащий координатную особенность r=2m). Если бы мы сначала изучали орбитальные движения и не беспокоились по поводу метрики, мы могли бы не заметить сингулярности в координатах Шварцшильда и могли бы получить правильные ответы, просто используя соотношение (15.2.5).

Появление квадратного корня является довольно обычным при рассмотрении орбитальных движений, и анализ поведения выражения, стоящего под квадратным корнем, является весьма важным. Интегрирование прекращается в том случае, если выражение, стоящее под квадратным корнем, становится отрицательным, меньшие значения радиуса никогда не могут быть достигнуты частицами (движущимися по этим геодезическим). Если угловой момент L достаточно велик, то квадратный корень становится мнимым при значении радиуса большем, чем 2m, и орбиты имеют такое же качественное поведение, что и в ньютоновском случае.¹ С другой стороны, если энергия и угловой момент являются такими, что частица должна пересечь значение радиуса 2m, то выражение, стоящее под знаком квадратного корня, не должно стать отрицательным при значениях радиальной координаты меньших, чем r=2m, и это означает то, что все частицы продолжают своё падение к началу координат. Фактически, как только частица оказалась внутри области r=2m, частицы с большим угловым моментом L падают быстрее, ”центробежная сила” очевидно действует скорее как притяжение, чем как отталкивание.

¹ В метрике Шварцшильда полное решение задачи о сечении захвата частицы, обладающей произвольной скоростью на бесконечности, приведено в работе [Заха 88*] (а обобщение этих соотношений на случай заряженной чёрной дыры получено в работе [Zakh 94*]). (Прим. перев.)

В этом месте я хочу упомянуть некоторые своеобразные результаты, которые получаются, когда делается предположение, что поле Шварцшильда соответствует заряженному объекту, на который смотрят с расстояния. Легко может быть показало, что единственное изменение в метрике заключено в следующей замене

(1-2m/r)

->

(1-2m/r+q^2/r^2)

,

(15.2.6)