Фейнмановские лекции по гравитации

Я полагаю, что решения данной задачи покажут, что для масс, больших, чем несколько единиц, умноженных на 10 солнечных масс, сферически симметричные решения для конденсирующейся материи не приводят к коллапсу, но ”сортируют грязь”, влетающую в звезду и вылетающую из звезды, в окрестности определённого наиболее предпочтительного значения радиуса. Обычные процессы звёздной эволюции могут иметь место, если распределение становится несферическим. Двигаясь в этом направлении, потом возможно мы сможем найти объяснение тому факту, что оказывается, что все видимые звёзды имеют почти одинаковый размер. Решение полной динамической задачи может привести нас к тому, чтобы понять, как вещество, однородно распределённое, может начать конденсироваться симметричным образом, и тогда в определённой точке оказывается предпочтительным формирование сгустков, которые могут конденсироваться дальше. Результаты могут оказаться очень высоко чувствительными к любому количеству углового момента, которым первоначально обладает конденсирующаяся масса. Например, планеты содержат почти 95% полного углового момента нашей Солнечной системы. Может быть так, что конденсирующая масса может сформировать шары, к которым переносится большая часть углового момента.

Лекция 15

15.1 Физическая топология решений Шварцшильда

В предыдущей лекции у нас были сделаны некоторые предположения о том, что распределение действительного вещества не может сконденсировать вещество внутри сферы с радиусом меньшим, чем величина гравитационного радиуса 2m; даже если мы в порядке рабочей гипотезы приходим к выводу о том, что ”кротовые норы” не могут быть образованы из реального вещества, остаётся вопрос, который касается того, действительно ли решение Шварцшильда представляет случай, в котором тензор G равен нулю всюду, случай, в котором вещества нет вовсе, может выглядеть как вещество, которое рассматривается с расстояния. Следовательно, давайте попытаемся продолжить решение Шварцшильда внутрь критического радиуса 2m. Мы полагаем, что это должно быть возможным потому, что хотя метрика

(ds)^2

=

1

-

2m

r

(dt)^2

-

(dr)^2

1-2m/r

-

r^2(

(d)^2

+

sin^2

(d)^2

)

(15.1.1)

имеет очевидную сингулярность при r=2m, компоненты тензора кривизны являются гладкими в этой точке. Компоненты тензора кривизны становятся сингулярными в начале координат r=0, так что действительно происходит что-то ужасное с пространством в начале координат. Космический корабль, падающий в начало координат, может быть катастрофическим образом искривлён, потому что приливные силы становятся бесконечными, это есть тип ужасного поведения, который следует из сингулярности тензора кривизны. Всё, что происходит при r=2m, состоит в том, что коэффициенты перед членами (dt)^2 и (dr)^2 меняют знак в соотношении (15.1.1), тем не менее, пространство остаётся по-прежнему с сигнатурой три и один, так что пространство чувствует себя совершенно нормально.

Давайте рассмотрим разложение пространства в окрестности сингулярной точки. Предположим, что мы меняем координаты в окрестности r=2m, и рассмотрим плоскости d=0, d=0. На языке новой переменной x, мы имеем

x

=

(1-2m)

,

r

=

2m(1+x)

 при малых значениях

x

,

(ds)^2

=

x(dt)^2

-

(2m)^2

(dx)^2

x

,

(15.1.2)

вблизи сингулярной точки. Хотя пространство меняет знак, когда x меняет знак, при x0 метрика может быть заменена вновь таким образом, что она становится плоской; простое координатное преобразование приводит метрику к ”полярному” виду

x

=

R^2

->

(ds)^2

=

R^2

(dt)^2

-

(4m)^2

(dR)^2

,

(15.1.3)

с использованием этого соотношения метрика легко может быть преобразована в метрику Минковского путём подстановки

v

=

4mRcosh(t/4m)

,

u

=

4mRsinh(t/4m)

,

->(ds)^2

=

(du)^2

-

(dv)^2

.

(15.1.4)

Эти результаты показывают, что пространство вблизи сингулярной точки ведёт себя совершенно хорошо, так что сингулярность Шварцшильда есть особенность координат, которые мы определили. Для того, чтобы связать геодезические, проходящие через точку r=2m, уравнение (15.1.4) подсказывает подстановку

x

=

1

-

2m

r

=-

(u^2-v^2)

(4m)^2

,

u

v

=

tanh

t

4m

,

(15.1.5)