Фейнмановские лекции по гравитации

Эти уравнения связывают p и , но мы всё ещё нуждаемся в том, чтобы в точности определить для того, чтобы иметь уравнение состояния. Мы делаем адиабатическое приближение, которое делает каждый, пытающийся иметь дело с такими проблемами, такое, что распределение температуры является тем же самым, как будто это есть величина, которая падает вместе с первоначально однородным распределением без всякого перемешивания или переноса энергии между различными областями. Если мы сжимаем вещество внутри ящика, все частоты вырастают на один и тот же множитель, обратно пропорциональный длине ящика. Так как энтропия является постоянной для адиабатического процесса, то температура должна увеличиваться таким же образом. Таким образом, плотность нуклонов пропорциональна кубу температуры, и плотность энергии излучения пропорциональна T. На языке температуры, измеренной в единицах 10 градусов, и энергии, в единицах массы покоя нуклона, имеем

=

aT

,

s

=

aT

.

(14.1.8)

Величина am_n где m_n есть масса нуклона, есть константа, имеющая значение 8.4 г/см^3; - параметр, связанный с не зависящей от радиуса энтропией на барион соотношением (энтропия на барион) = 4/(3). Эти результаты могут быть выведены также из общего условия для адиабатического сжатия, которое может быть выражено как

s^2

d(/s)

ds

=

p

=

3

.

(14.1.9)

Эти соотношения между давлением, плотностью и адиабатическими процессами получены в связи со звёздными задачами в классическом случае. Звёзды, в которых и давление, и плотность следуют степенным зависимостям от температуры всюду, известны как политропы.

На языке новой температуры t=T/ и новых единиц таких, что 8Gm_na=1, система уравнений принимает следующий вид:

=

a

[

t

+

t^3

],

(14.1.10а)

p

=

a

1

3

t

,

(14.1.10б)

dm

dr

=

1

2

[

t

+

t^3

]

r^2

,

(14.1.10в)

dt

dr

=-

r

2

3

4

+

t

1

3

t

+

2m

r^3

x

1

-

2m

r

^1

.

(14.1.10г)

Какие же условия мы выбираем в качестве граничных? Мы предполагаем определённую температуру в центре и то, что поверхность является много холоднее, по существу температура равна нулю по сравнению с температурой в центре звезды. Входные величины для нахождения решений t(r) и m(r) попросту являются следующими:

m=0,

t=t

_c

,

при

r=0.

(14.1.11)

Эта задача сформулирована таким способом, что численное решение такой задачи получается очень легко. Мы начинаем решение от центра, где мы знаем, что m(r)=0 и t(r)=t_c; мы вычисляем (dm/dr) из соотношения (14.1.10в), и вычисляем (dt/dr) из соотношения (14.1.10г), и затем прыгаем вперёд и назад между этими уравнениями для того, чтобы получить функции m(r) и t(r). Так как производная (dt/dr) будет всегда отрицательна при положительном t, то в некоторой точке r, t обращается в нуль. Мы останавливаем решение в этой точке и предполагаем, что более физическое решение изменило бы только наиболее внешние слои звезды для того, чтобы сделать его убывающим более гладко по направлению к нулевой плотности, без изменения решения во внутренней части области какого угодно большого размера. Таким образом, предполагается, что радиус r - есть радиус звезды, а величина m=m(r) - полная масса звезды.

14.2. Значение решений и их параметры

Решение, которое мы описали, оказывается справедливым для многих типов звёзд, таким образом, звёзды описываются всевозможными значениями параметра . Для того, чтобы дать идею определения величин m и r для интересующих нас случаев, мы даём коэффициенты перевода к более обычным единицам:

M

Масса звезды

=

=(27x10

солнечная масса

)2m/^2

,

(14.2.1а)

R

Радиус звезды

=

(8x10^1^2)r/^2

,

(14.2.1б)

T

_c

Температура в центре звезды

=

=

t

_c

(10

градусов

),

(14.2.1в)

M

_rest

Масса нуклонов звезды

=

=(27x10

солнечная масса

)2N/^2

.

(14.2.1г)

Существуют различные способы, пользуясь которыми мы можем увидеть, что наши уравнения описывают то, что наша интуиция одобряет. Например, для случая, когда масса m(r) никогда не становится слишком большой, давление меняется в зависимости от радиуса в соответствии с ньютоновским правилом:

dp

dr

=-

m(r)

r^2

.

(14.2.2)

Интересный момент связан с полным числом нуклонов. Хотя мы могли бы иметь искушение записать попросту 4drsr^2, нам бы следовало вспомнить и написать соответствующие инвариантные выражения. Правильное выражение есть

N

=

r

0

s

-g

dr

d

d

,

-g

=

e

^/2

e

^/2

r^2sin

,

(14.2.3)

где s есть временной компонент четыре-вектора s. Мы можем вычислить эту величину и провести интегрирование в системе, в которой нуклоны находятся в покое, в этой системе только временной компонент оказывается не равным нулю, так что мы приходим к выводу о том, что

s

s

=

(s)^2

=

g

ss

,

s

=

s

e

^-/2

.

(14.2.4)

Итак, имеем следующий результат для полного числа нуклонов

N

=

4

r

0

dr

sr^2

1

1-2m/r

.

(14.2.5)

Давайте вновь посмотрим на выражение для массы звезды и попытаемся понять его более полным образом. Плотность есть сумма двух членов, энергии, соответствующей массе покоя s, и энергии излучения . Когда мы выписываем явно массу как интеграл по правильным образом выбранным инвариантным элементам, мы видим, что плотность умножается на некоторую величину, из которой вычисляется квадратный корень,

m=m

=

4

r

0

r^2dr

1-2m/r

1-2m/r

.

(14.2.6)