Фейнмановские лекции по гравитации

Эволюция звезды с такой большой массой и обогащённой такими нейтронами может быть совершенно отлична от эволюции нашего Солнца. Я убеждён в том, что совершенно необходимо перед тем, как мы создадим новые теории для объяснения подобных процессов, предпринять серьёзную попытку использования всех знаний нашей существующей физики для того, чтобы понять, что может происходить при столь своеобразных обстоятельствах.

Лекция 14

14.1. Проблема сверхзвёзд в общей теории относительности

В этой лекции я хочу обсудить решение проблемы сверхзвёзд, в которых имеется вещество с массой примерно 10 солнечных масс, что обсуждали в своей работе Фаулер и Уилер [HoFo 63]. Мы берём модель, которая очень проста, но Может, тем не менее, обладать огромным множеством атрибутов реальных процессов. После того, как мы поймём, как обходиться с решением такой простой задачи, мы можем позаботиться об усовершенствованиях в модели. Начальный пункт нашего анализа - это дифференциальное уравнение общей теории относительности, уравнение Эйнштейна

8

GT

=

G

=

R

-

1

2

g

R

.

(14.1.1)

Правая часть этого уравнения есть ”геометрическая” часть, здесь мы подставляем выражения для кривизны через компоненты метрического тензора. Если мы предполагаем статические, сферически симметричные решения, тогда элементы метрического тензора в точности определяются функциями (r) и (r) такими, что

(ds)^2

=

e

(dt)^2

-

e

(dr)^2

-

r^2

sin^2

(d)^2

+

(d)^2

.

(14.1.2)

Левая часть уравнения (14.1.1) есть физическая часть, которая включает в себя тензор энергии-импульса. Если мы предполагаем, что вещество газообразное, этот тензор включает в себя только давление p и плотность в любой точке. При обозначении координат (r,,,t) индексами в порядке (1,2,3,4) и производных по отношению к координате r штрихами, уравнение Эйнштейна сводится к следующей системе уравнений, выраженных на языке функций (r), (r) и давления, и плотности:

G^1

=-

e

^-

'

/

r

-

(e

^-

-1)

/

r^2

=-

8Gp

(14.1.3а)

G^2

=-

e

^-

''

2

-

''

4

+

^2

4

+

('-')

2r

=-

8Gp

(14.1.3б)

G

=-

e

^-

'

/

r

-

(e

^-

-1)

/

r^2

=

8G

(14.1.3в)

Модель, которую мы будем использовать, будет задаваться теми выражениями, которые мы подставим для давления p и плотности . Эти величины представляют давление и плотность, которые могли бы быть действительно измерены наблюдателем, стоящим в какой-либо выделенной точке. Мы не получим правильных решений до тех пор, пока мы не проследим за тем, чтобы наш физический тензор T удовлетворял законам сохранения. Для нашего случая сферической симметрии только радиальная компонента дивергенции тензора имеет значение; мы должны иметь

T^1

r

+

1

2

'

(T^1-T)

+

1

r

(T^1-T^2)

=

0

=-

1

2

'

(p+)-p'

,

(14.1.4)

что по сути дела утверждает то, что давления в радиальном направлении уравновешены, как это и должно быть в нашем статическом решении. Это уравнение (равенства нулю дивергенции) служит тому, чтобы исключить '. Далее мы получаем соотношение для того, чтобы исключить exp(-). Сначала мы перепишем G через новую функцию M(r), как показано в следующих соотношениях

G

=

1

r^2

d

dr

r(1-e

^-

)

.

(14.1.5а)

Если мы положим

M(r)

=

1

2

r(1-e

^-

)

,

e

^-

=

1

-

2M(r)

r

,

(14.1.5б)

тогда

dM

dr

=

4r^2

G

.

(14.1.5в)

Оказывается, что функция M(r) пропорциональна массе звезды, так как это есть интеграл плотности . Тем не менее, интерпретация не является настолько прямой, поскольку имеются особенности координат, через которые измеряется функция . Мы обсудим это ниже. Подставляя выражения для ' и exp(-) в уравнение (14.1.3а), получаем

1

-

2M

r

1

r

dp

dr

=-

(p-)

4Gp

+

M

r^3

.

(14.1.6)

Вместе с дифференциальным уравнением для M(r) и с уравнением состояния, связывающим величины p и , мы имеем систему связанных уравнений, которые могут быть в принципе разрешены для функций M(r), p и ; с подходящими граничными условиями они могли бы описывать сверхзвезду в приближении статического решения.

Какого рода уравнение состояния мы возьмём? Масса, образованная из 10 солнечных масс, является очень сильно разреженной, будучи размазанной по области с галактическими размерами; даже при температуре несколько единиц 10 градусов Кельвина, газовое давление является довольно низким. Тем не менее, оказывается, что плотность излучения, которая пропорционально T, даёт существенную часть энергии массы покоя нуклонной плотности. Мы получаем осмысленное приближение, пренебрегая газовым давлением по сравнению с давлением излучения; в том же самом духе, мы пренебрегаем небольшим увеличением массы нуклона, вызываемым их скоростями. В единицах энергии массы покоя нуклона мы имеем тогда, если s - плотность нуклонов, что

=

s+

,

(14.1.7а)

p

=

1

3

.

(14.1.7б)