Фейнмановские лекции по гравитации

Теперь наша задача состоит в том, чтобы описать частные характеристики тензора T так, чтобы воспроизводились характеристики гравитации. A priori возможно, что тензор T включает в себя градиенты, который и есть вектор k. Если в тензор включены только градиенты, то в результирующей теории нет монополей; простейшими объектами могут быть диполи. Мы хотим, чтобы тензор T был таким, как в нерелятивистском пределе, а плотность энергии появлялась по аналогии с плотностями заряда T. Как хорошо известно, мы имеем в электромагнетизме тензор давления, чья компонента T является в точности плотностью энергии электромагнитного поля. Следовательно, очень вероятно, что имеется некоторый общий тензор, чей компонент T является плотностью полной энергии; это будет задавать ньютоновский закон гравитации в пределе малых скоростей, энергия взаимодействия при этом

-T'T

k^2

.

(3.3.3)

Затем, для того, чтобы иметь правильную релятивистскую теорию, необходимо следовать тому, чтобы амплитуда включала в себя полный тензор T, как мы предполагали в соотношении (3.3.2).

Имеется свойство этого тензора, которое мы не ещё упомянули. След симметричного тензора - инвариантная величина, не обязательно равная нулю. Таким образом, при вычислениях, основываясь на симметричном тензоре с ненулевым следом, мы могли бы взять теорию, которая есть смесь теорий со спином равным 0 и со спином равным 2. Если мы выписываем теорию, использующую этот тензор, мы найдём, когда мы придём к разделению взаимодействия на его поляризации, что очевидно имеется три поляризации вместо двух, которые допустимы для безмассовой частицы со спином 2. Для того, чтобы быть более точными, мы можем получить кроме взаимодействия (3.2.2) другую возможную инвариантную форму, пропорциональную T(1/k^2)T. Мы попытаемся установить соотношения между этими двумя инвариантами таким образом, чтобы не было обмена реальными гравитонами с угловым моментом, равным нулю.

Выпишем в точности все различные члены следующим образом

T'

1

k^2

T

=

1

^2-k^2

(

T'T

-

2T'T

-

2T'T

-

-

2T'T

+

2T'T

+

2T'T

+

+

2T'T

+

T'T

+

T'T

+

T'T

).

(3.3.4)

В электродинамике мы получили упрощение, используя закон сохранения заряда. Здесь мы получаем упрощение, используя закон сохранения энергии, который может быть выражен в импульсном пространстве следующим образом

k

T

=

0.

(3.3.5)

В нашей обычной системе координат, где компоненты k^1 и k^2 равны нулю, получаем связь компонентов нашего тензора с индексами 3 и 4

T

₄

=-

kT

₃

.

(3.3.6)

Используя это соотношение для исключения компонентов с индексом 3, мы находим, что амплитуда разделяется на часть, описывающую мгновенное взаимодействие, имеющую характерный числитель k^2, и запаздывающую часть со знаменателем (^2-k^2). Для ”мгновенного” члена мы получаем

-

1

k^2

T'T

1

-

^2

k^2

-

2T'T

-

2T'T

,

(3.3.7)

и для ”запаздывающего” члена

1

^2-k^2

(

T'T

+

T'T

+

2T'T

).

(3.3.8)

Трансверсальные компоненты тензора T предположительно независимы, так что они представляют сумму трёх независимых произведений или трёх поляризаций. Мы видим, что такая теория содержит смесь спина 0 и спина 2. Для того, чтобы исключить часть, соответствующую спину нуль, мы должны добавить к нашей амплитуде член вида

T'

1

k^2

T'

.

(3.3.9)

В ”запаздывающем” члене добавляются компоненты тензора следующим образом

1

^2-k^2

(

T'

+

T'

)(

T

+

T

).

Мы можем выбрать параметр так, что ”запаздывающий” член содержит только сумму двух независимых произведений. Соответствующее значение параметра равно - 1/2 для того, чтобы сделать запаздывающий член равным

1

^2-k^2

1

2

(

T'

-

T'

)(

T

-

T

)+

2T'T

.

(3.3.10)

Имеется два направления поляризации, которые порождаются этими комбинациями элементов тензора

1

2

(

T

-

T

)

и

2

(

T

).

(3.3.11)

Различная нормализация есть результат симметрии нашего тензора; мы можем восстановить симметрию, записывая

2

(

T

)

=

1

2

(

T

-

T

).

(3.3.11a)

Следовательно, возможное решение типа плоской волны, представляющее наш гравитон, имеет вид

h

=

e

exp(ik

x

)

,

(3.3.12)

где тензор поляризации e имеет следующие ненулевые компоненты

e

=

1

2

,

e

=-

1

2

,

e

=

e

=

1

2

.

(3.3.13)

Наше взаимодействие в общем виде

T'

1

k^2

T

-

1

2

T'

1

k^2

T

может быть записано как T'P_,T, где P_, пропагатор для гравитона описывается следующим соотношением:

P

_,

=

1

2

(

+

-

)

1

k^2

.

Для простоты мы обычно будем предпочитать записывать этот пропагатор как простой множитель 1/k^2 и представлять взаимодействие виртуальными гравитонами, испущенными источником с амплитудой

h

=

1

k^2

T

-

1

2

T

и со связью hT' для поглощения.

Амплитуда для излучения реального гравитона поляризации e, если e, как в соотношении (3.3.13), задаётся внутренним (скалярным) произведением eT.

3.4. Физическая интерпретация в терминах амплитуд

Рис. 3.3.