Фейнмановские лекции по гравитации

Нижний индекс z на скобке напоминает нам, к какой переменной относятся индексы. Теперь умножим дивергенцию, полученную в соотношении (6.1.7), на g(x) и заменим gz на -[,]_zzz. Заметим, что из-за наличия -функции величина [,]_z приводит к тому же эффекту, что и [,]_x. Это означает, что знак скобки может быть вынесен за знак интеграла, приводя нас к выражению, в которое включена только дивергенция ^oT_, и исходный тензор ^oT:

g

(x)

^o

T

_,

(x)

=-

[,]

^o

T

(x)

.

(6.1.9)

Это точное уравнение, которому должен удовлетворять тензор ^oT. В настоящем время мы используем его только в первом порядке малости по h. Мы можем разделить тензор g на два слагаемых +2h и получить уравнение,¹ которое говорит нам, что дивергенция ^oT_, начинается с линейного члена по константе связи :

^o

T

^,

=-

[,]

^o

T

-

2

h

^o

T

_,

,

(6.1.10)

¹ При переводе мы не меняли не очень удачные обозначения Фейнмана, когда обозначает одновременно как индекс, так и множитель, т.е. две совершенно различные величины. (Прим. перев.)

так как знак ”скобка” включает в себя производные, которые делают нулевой порядок тензора g не играющим никакой роли.

Когда мы сравниваем это соотношение с требованием, что новый тензор ^newTⁿT должен иметь нулевую дивергенцию,

ⁿ

T

_,

=

^o

T

_,

+

_,

,

(6.1.11)

и если мы предполагаем, что само выражение для - билинейно по полям, мы видим, что дивергенция _, должна иметь следующее выражение:

_,

=

[,]

^o

T

+

O(^2)

… .

(6.1.12)

Знание дивергенции не определяет для нас . У нас есть дополнительное требование, используя которое мы надеемся вывести из вариации F^3 по отношению к h, согласно соотношению (6.1.2). Если мы возьмём F^3 как сумму по всем возможным независимым произведениям, включающим в себя всевозможные трилинейные произведения полевых компонент и два независимых индекса, по которым берутся производные, то эти два требования определяют величину F^3 однозначно. Мы не будем проводить здесь определение 18 констант, но отметим, что это результат больших и трудоёмких алгебраических вычислений

F^3

=-

h

h

h

_,

+

h

h

h

_,

^,

-

-

2h

h

h

^,

+

2

h

h

_,

h

_,

+

+

1

2

h

h

+

1

4

h

h

h

_,

.

(6.1.13)

Теперь для нас оказывается возможным, используя метод малых возмущений, вычислить все эффекты, которые рассматривались ранее. Для случая движения планет включение выражения для F^3 в интеграл от лагранжиана приводит к следующим выражениям и , которые должны быть использованы для вычислений орбит:

=

+

1

2

^2

…

=

-

3

8

^2

…

=-

2MG/r

.

(6.1.14)

Эти поправки приводят к полному согласию нашей теории с наблюдениями по прецессии перигелия Меркурия, так что последнее оставшееся расхождение между теорией и наблюдениями исчезает.

6.2. Формулировка теории, справедливой во всех порядках

Мы достаточно преуспели в нашей задаче, которую мы поставили перед собой в самом начале, построить полевую теорию гравитации по аналогии с другими хорошо известными полевыми теориями, которые бы адекватно описывали все известные характеристики феномена гравитации. Таким образом, наша воображаемая венерианская точка зрения оказалась плодотворной. Имеются некоторые слабые места в нашей теории; мы могли бы представить себе, что самые трудолюбивые венерианские теоретики могли бы не удовлетвориться теорией, в которой оставлены неопределёнными эффекты третьего порядка малости, и некоторые из них могли бы продолжить исследование функций F и F и т.д., которые должны быть добавлены к интегралу от лагранжиана для того, чтобы сделать теорию согласованной в более высоких порядках. Этот подход есть невероятно сложная процедура вычисления ненаблюдаемых поправок, и мы не будем соревноваться с нашими воображаемыми венерианами в этом отношении.

В физических теориях подчас возникает такая ситуация, что хотя поправки более высокого порядка в полном разложении удручающе скучно вычислять, возможно построить теорию, в которой суммируются все поправки более высокого порядка, для того, чтобы получить ответ, который является достижимым. Таким образом, представим себе честолюбивого и самоуверенного венерианина, который решил сделать попытку вывести полное разложение для функции F=F^2+F^3+F+F+… Мы будем искать функционал F описывающий действие, которое должно быть провариировано, по следующим эмпирическим причинам: по-видимому, не существует достаточно удовлетворительной теории, которая не является выводимой с использованием вариационного принципа, первый этап применения которого заключается в выписывании функционала, связанного с лагранжианом или гамильтонианом (обе формулировки являются эквивалентными) .