Фейнмановские лекции по гравитации

Тогда наша задача становится следующей: найти выражение для функционала F от метрики g такое, что при инфинитезимальных преобразованиях, описываемых соотношениями (6.3.5), которые меняют тензор g на тензор g', функционал F не меняется в первом порядке малости по при любом (x). Методы для решения уравнений, аналогичных исследуемому нами, были разработаны математиками¹, работающими в дифференциальной геометрии (фактически очень близкая задача решается в дифференциальной геометрии), итак мы будем предполагать, как и хорошо образованные венерианские физики, что книги, дающие нам намёки на то, как приступить к решению, являются доступными.

¹ См., например, книгу Веблена [Vebl 27].

Фактически, можно проверить, что преобразование, определяемое соотношением (6.3.5), есть преобразование тензорного поля при инфинитезимальном преобразовании координат x=x'+. Однако, мы будем продолжать играть в нашу игру и попытаемся вывести наши результаты как венериане, не осознающие никакой геометрической интерпретации. Конечно, мы будем возвращаться назад и обсуждать геометрическую точку зрения при обсуждении точки зрения Эйнштейна.

Теперь приступим к нахождению желаемого инвариантного выражения для F. Для того, чтобы найти это выражение, полезно определить матрицу, которая обратна g, используя верхние индексы вместо нижних, что оказывается в данном случае предпочтительным, т.е.

g

g

=

,

(6.3.6)

где теперь

- правильный символ Кронекера, который равен 1, если =, и нулю, если /=.

Обратная к матрице A'=A+B, если B - инфинитезимальна, задаётся следующим выражением:

1

A'

=

1

A

-

1

A

B

1

A

+

1

A

B

1

A

B

1

A

- … .

(6.3.7)

Так как вектор инфинитезимален, мы можем легко построить тензор, обратный к тензору g', согласно правилу, выраженному в соотношении (6.3.7)

g'

=

g

-

_,

g

-

_,

g

-

g

g

g

_,

+ … .

(6.3.8)

Теперь исследуем кратко один инвариант, который может быть легко найден, для того, чтобы понять используемые методы, а в следующем разделе построим более сложный инвариант, который приведёт нас к нашей полной теории.

Рассмотрим, как меняется определитель матрицы, если мы слегка меняем матрицу. Мы используем следующее выражение для определителя:

Det A

=

exp(Tr log A)

.

(6.3.9)

Мы не будем останавливаться здесь для обсуждения доказательства такого равенства;¹ однако для того, чтобы показать, что оно выглядит разумным, мы могли бы заметить, что это утверждение становится тривиальным справедливым утверждением в случае, если матрица записала в диагональном виде:

Det A

=

A

A

A

…

=

=

exp(

log A

+

log A

+…

)=

exp(Tr log A)

.

(6.3.10)

¹ Это равенство является простым следствием из утверждения о существовании матричного логарифма невырожденной матрицы, которое доказано, например, в книгах [Гант 88*, Белл 76*]. (Прим. перев.)

Теперь мы применяем правило, выраженное соотношением (6.3.9), для вычисления определителя матрицы (A+B), где B - инфинитезимальная матрица. Нам необходимо вычислить матричный логарифм матрицы A+B; соответствующее разложение имеет вид

Det

A

1

+

1

A

B

=

Det A·Det

1

+

1

A

B

=

=

Det A

exp

Tr

log

1

+

1

A

B

=

=

Det A

exp

Tr

1

A

B

.

(6.3.11)

Теперь мы используем это правило для того, чтобы вычислить определитель g' и взять логарифм результирующего выражения

log(-Det g')

=

log(-Det g)

+

2

_,

+

g

_,

g

.

(6.3.12)

Произведение матриц g в последнем члене может быть связано с определителем следующим образом:

g

_,

g

=

[log(-Det g)]

_,

(6.3.13)

Наше достижение состоит в том, что мы получили новое соотношение, в которое включены и его градиенты совместно с числами, но не матрицами. Мы положим C=log(-Det g) и перепишем получившееся в результате уравнение как

C'

=

C

+

2

_,

+

C

_,

.

(6.3.14)

Если бы это выражение было бы полной производной, мы могли бы проинтегрировать по всему пространству для того, чтобы получить наш инвариант. Вид последних двух членов наводит на мысль, что exp(C/2) есть интегрирующий множитель. Следовательно, мы ищем инвариант вида exp(C'), регулируя соответствующим образом параметр . Так как вектор - инфинитезимален, то разложение, в котором сохранены только первые члены, даёт

exp(C')

=

exp[(

C

+

2

_,

+

C

_,

)]

=

=

exp(C)

+

exp(C)

(

2

_,

+

C

_,

).

(6.3.15)

Второй член этого выражения имеет вид, который может быть преобразован в полную производную; мы замечаем, что

exp(C)

,

=

exp(C)

_,

+

C

_,

exp(C)

,

(6.3.16)

что есть такая же величина, как и второй член выражения для (6.3.15) при =1/2. Когда мы интегрируем выражение (6.3.15) по всему пространству, то при =1/2 интеграл от второго члена обращается в нуль, и мы приходим к равенству

d

exp(C'/2)

=

d

exp(C/2)

.

(6.3.17)

Инвариантное решение, выраженное через матрицу g, есть, следовательно,

^o

F

=

d

-Det g

.

(6.3.18)

6.4. Лагранжиан теории, справедливой во всех порядках