Фейнмановские лекции по гравитации

Если силы равны нулю всюду, то и символы должны быть равны нулю всюду. Если эти силы не всюду равны нулю, то нет возможности определения ”наилучшей” системы координат. Однако возможно сделать их локально равными нулю (согласно принципу эквивалентности!).

8.4. О соотношениях между различными подходами к теории гравитации

Одна из своеобразных особенностей теории гравитации состоит в том, она имеет и полевую интерпретацию, и геометрическую интерпретацию. Так как эти интерпретации на самом деле являются двумя аспектами одной и той же теории, мы могли бы предположить, что венерианские учёные, после развития их полной полевой теории гравитации, могли бы в конце концов придти к геометрической точке зрения. Мы не можем быть абсолютно уверены в этом, так как никто никогда ещё не смог объяснить индуктивное рассуждение, никто не смог объяснить как продолжить анализ, когда мы знаем очень мало, для того, чтобы знать существенно больше.

В любом случае истина состоит в том, что поле спина 2 имеет геометрическую интерпретацию; это не является чем-то легко объяснимым, это удивительный факт. Геометрическая интерпретация не является действительно необходимой или существенной для физики. Возможно, что такое полное совпадение может быть понято как представление некоторого рода калибровочной инвариантности.

Возможно, что отношения между этими двумя точками зрения на гравитацию могли бы стать ясными после того, как мы обсудим третью точку зрения, исходя из которой, мы должны исследовать общие свойства полевых теорий при преобразованиях. Такая точка зрения будет рассматриваться нами много позже, мы обсуждаем этот вопрос здесь для того, чтобы получить ощущения тех возможных направлений, которые должны быть учтены при попытках понять, как гравитация может быть и геометрией, и полем.

Давайте сейчас и рассмотрим, что такое калибровочная инвариантность. Как обычно утверждается в электродинамике, это означает, что если мы заменяем векторный потенциал A на

A'

=

A

+

X

,

(8.4.1)

уравнения поля и физические эффекты остаются неизменными, выраженными через новый векторный потенциал A'. Этот факт может быть связан со свойством фазовой инвариантности амплитуд. Давайте теперь посмотрим, что происходит с квантово-механическими амплитудами; совершенно ясно, что если мы используем

'

=

exp(ia)

,

при вычислении вероятности, то ничего не меняется в предсказываемой физике. В общем константа a не приводит к появлению различий в предсказаниях. Что же происходит, если вместо константы о мы используем функцию X, которая меняется от точки к точке в пространстве? Уравнения всегда включают в себя градиенты , которые есть

'

=

exp(iX)

(

+

iX

).

(8.4.2)

Однако оператор (-iA') оставляет функцию такой, что она изменилась только по фазе

(-iA')'

=

exp(iX)

(-iA)

.

(8.4.3)

Так что если имеется векторное поле, которое взаимодействует так, как мы предполагали, уравнения являются инвариантными при зависящих от пространства-времени фазовых преобразованиях этих полей.

Теория векторного мезона Янга - Миллса является попыткой распространить идею калибровочного преобразования рассмотрением таким же способом инвариантности ядерного взаимодействия при изменении изотопического спина. Если амплитуда протона представляется величиной , тогда

'

=

exp(ir·a)

,

(8.4.4)

описывает объект, который частично является протоном, частично нейтроном. Если a есть постоянный вектор в изоспиновом пространстве, то инвариантность ядерных сил по отношению к изменениям изотопического спина означает, что новый объект ' действует во всех ядерных реакциях как . Предложение Янга и Миллса состоит в том, что поле должно быть добавлено к лагранжиану таким способом, чтобы пространственно-зависимая фазовая замена (a->X) не приводила к различиям в уравнениях.

Как такие идеи могут быть связаны с гравитацией? Уравнения физики являются инвариантными, когда мы делаем координатные замены с любыми постоянными значениями a

x'

=

x

+

a

.

(8.4.5)

Для того, чтобы сделать формально более похожими фазовые и изоспиновые преобразования, можно было бы воспользоваться импульсным представлением, так что оператор сдвига есть

exp(ip

a

)

.

С другой стороны, возможно исследовать, каким образом уравнения физики могут быть сделаны инвариантными в том случае, когда мы допускаем зависящие от координат в пространстве переменные смещения (a->) Исследование будет проводиться для более полного лагранжиана; новые члены, которые необходимы, являются в точности теми же самыми, что и для гравитационного поля. Таким образом, гравитация является тем полем, которое соответствует калибровочной инвариантности по отношению к преобразованиям смещения.

8.5. Кривизна как величина, относящаяся к касательному пространству