Фейнмановские лекции по гравитации

Всякий раз, когда векторная величина появляется в физической задаче, например векторный потенциал в электродинамике, эта величина будет появляться в качестве или ковариантного, или контравариантного вектора. Но мы можем всегда построить один из другого, используя метрический тензор; мы можем всегда опустить или поднять индексы по своему желанию, умножая на величины g или на компоненты матрицы, обратной к этой матрице. Можно построить тензоры, которые были бы частично ковариантны, частично контравариантны; такие тензоры имеют несколько верхних индексов, несколько нижних, и важно записать эти индексы таким образом, чтобы не было вопроса относительно их порядка

g

T

=

T

(8.1.11)

Для специального типа симметрических тензоров g или g мы можем ослабить это правило, так как поднятие или опускание индекса производит просто -символ Кронекера

g

g

=

=

.

(8.1.12)

Мы не будем утомлять себя тем, чтобы вновь рассматривать доказательства этих соотношений, поскольку они получены много лет тому назад и могут быть найдены во множестве книг. Все они использовались Эйнштейном, который придумал эти обозначения, что упростило работу с ними, и он является ”надёжным малым” (”reliable guy”), когда придумывает подобные штуки. Перемещение индексов, поднятие их или опускание, есть нечто мнемонические, так как это соответствует перемещению индексов в производных, которые определяют эти преобразования, в соотношениях (8.1.3), (8.1.4), (8.1.5) и (8.1.8).

Нет фундаментального физического различия между ковариантными и контравариантными компонентами вектора; они имеют одинаковое физическое содержание и меняется только их представление. Для случая двух измерений мы можем легко показать графически, как представления векторов отличаются. Так как преобразования определяются как инфинитезимальные перемещения, нам нет нужды беспокоиться о кривизне пространства; всё, что здесь заключено, это наличие ортогональности или её отсутствие. Если оси координат не пересекаются под прямым углом, то имеется два способа проектирования физического смещения на оси: или перпендикулярно на ось, или параллельно другим осям, как показано на рис. 8.1. Мы видим, что тензорные компоненты описывают отсутствие ортогональности координат в заданной точке.

Рис. 8.1.

8.2. Уравнения, определяющие инварианты g

Теперь, когда у нас есть лучшее понимание роли метрического тензора, мы можем приступить к изучению того, какие величины могут быть построены из него, причём величины, остающиеся инвариантными при инфинитезимальных координатных преобразованиях.

То, что мы собираемся сделать сейчас, в точности совпадают с тем, что мы делали некоторое время назад при построении лагранжиана. Предположим, что мы делаем небольшое изменение в координатах

x

=

x'

+

(x')

,

(8.2.1)

где предполагаются, что достаточно малы, так что нам необходимо сохранять только члены первого порядка малости по . Тогда для производных справедливы следующие соотношения

x

x'

=

+

x'

.

(8.2.2)

Когда мы вычисляем новые компоненты g' мы получаем произведение двух таких производных

g'

(x')

=

g

(x'+)

+

x'

+

x'

.

(8.2.3)

Если мы оставляем только члены нулевого порядка и первого порядка малости по , то получаем

g'

(x')

=

g

(x')

+

g

x'

+

g

x'

+

g

x'

.

(8.2.4)

Новые компоненты g' равны старым компонентам g плюс некоторые члены порядка Когда теперь мы спрашиваем, какие функции g допускаются, если настаиваем, чтобы их форма осталась инвариантной, мы видим, что мы приходим к той же самой задаче, которую решили в лекции 6. Математическая задача является той же самой как и тогда, когда мы пытались найти лагранжиан, который приводил к сохраняющемуся тензору энергии-импульса.

Таким образом, имеется более чем одна точка зрения, которая приводит к одному и тому же уравнению и которая имеет то же самое физическое содержание. Мы обнаружили, что преобразование, которое возникло тогда, когда мы искали лагранжиан для гравитации, появляется также в решении чисто геометрической задачи. Мы предполагаем, следовательно, что некоторые физические и геометрически звучащие критерии эквивалентны; самосогласованность предыдущего подхода, к которому мы пришли, исходя из требования равной нулю дивергенции, должна быть эквивалентна тому условию, которое мы накладываем сейчас. В чем состоит физическая значимость инвариантов g?

Уравнения движения могут быть выведены из вариационного принципа

ds

=

g

(x)

dx

dx

1/2

=

0.

(8.2.5)

Эти вычисления могут быть проведены до конца путём введения параметра u так что квадратный корень под интегралом становится более точно определённой величиной

du

g

(x)

dx

du

dx

du

1/2

.

(8.2.6)

Когда решение вариационной задачи проведено до конца, получается следующее уравнение геодезических

d^2x

ds^2

=-

dx

ds

dx

ds

,

(8.2.7)

где

=

g

[,]

.

Так как вид этого уравнения остаются неизменным при изменении метрического тензора при произвольном преобразовании, то эти уравнения должны быть инвариантами метрики g, которая содержит в себе физику данной проблемы.

8.3. О предположении, что пространство есть в точности плоское