Феномен науки

Так как нам необходимо здесь обозреть начало наук и искусств, то мы сообщаем, что геометрия, по свидетельству весьма многих, была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было необходимо вследствие разлития реки Нила, постоянно смывавшего границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постоянно становится предметом нашего рассмотрения и, наконец, делается достоянием нашего разума.

Деление знания на несовершенное и совершенное и определенная извинительная интонация по поводу «низкого» происхождения науки — это, конечно, от греческого философа. Египтяне, как и вавилоняне, не знали ничего подобного. Для них знание было чем-то вполне однородным. Они умели делать геометрические построения и знали формулы для площади треугольника и круга, как умели стрелять из лука и знали свойства целебных трав и даты разлива Нила. Геометрии как искусства выводить «истинные» формулы у них не было, она существовала, по выражению Б. Ван дер Вардена, лишь как раздел прикладной арифметики. Очевидно, при получении формул они использовали некоторые наводящие соображения, однако эти соображения мало кого интересовали. На отношение к формуле они не влияли.

9.6. Познания древних в геометрии

Что же знали египтяне из геометрии? — Правильные формулы для площади треугольника, прямоугольника, трапеции. Площадь неправильного четырехугольника, как можно судить по одному сохранившемуся документу, вычислялась так: полусумма двух противолежащих сторон умножалась на полусумму двух других противолежащих сторон. Формула эта грубо неверна (за исключением того случая, когда четырехугольник прямоугольный и когда она не нужна). Ни в каком разумном смысле ее нельзя назвать даже приближенной. Это, по-видимому, первый зафиксированный историей пример утверждения, которое выводится не из сравнения с опытными данными, а из «общих соображений». Площадь круга египтяне вычисляли, возводя в квадрат ⁸/₉ его диаметра. Это соответствует приближенному значению числа π, отличающемуся примерно на 1% от истинного значения.

Объемы параллелепипедов и цилиндров вычислялись умножением площади основания на высоту. Высшим из известных нам достижений египетской геометрии является правильное вычисление объема усеченной пирамиды с квадратным основанием (Московский папирус). Оно следует формуле

V = (a² + ab + b²) × h/3,

где h — высота, a и b — стороны верхнего и нижнего основания.

Наши сведения о познаниях древних вавилонян в математике скудны и отрывочны, но общее представление по ним все-таки составить можно.

Совершенно точно известно, что вавилоняне знали «теорему Пифагора», т. е., конечно, не теорему, а самый факт, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Как и египтяне, они правильно вычисляли площади треугольников и трапеций. Длину окружности и площадь круга они вычисляли, пользуясь значением π = 3, что гораздо хуже, чем египетское приближение. Объем усеченной пирамиды или конуса вавилоняне вычисляли, умножая полусумму площадей оснований на высоту (неверная формула).

9.7. Арифметика с птичьего полета

Ситуации и представления в нервной системе человека моделируют смену состояний окружающей среды. Языковые объекты моделируют смену ситуаций и представлений. В результате теория является «двухэтажной» языковой моделью действительности (рис. 9.5). Схема использования теории такова. Ситуация S_i кодируется языковым объектом L_i. Этот объект, конечно, может состоять из множества других объектов и иметь сколь угодно сложную структуру. Объект L₁ есть имя для S₁. Некоторое время спустя ситуация S₁ сменяется ситуацией S₂. Осуществляя некоторую языковую деятельность, мы преобразуем L₁ в другой объект L₂, и, если наша модель правильна, L₂ есть имя S₂. Тогда, не зная реальной ситуации S₂, мы можем получить о ней представление путем декодирования языкового объекта L₂. Языковая модель определяется, очевидно, как семантикой объектов L_i («материальная часть» по военной терминологии), так и видом языковой деятельности, превращающей L₁ в L₂.

Рис. 9.5. Двухэтажная языковая модель действительности

Рис. 9.6. Действия над целыми числами