Феномен науки

Сравнивая вавилонскую позиционную систему с современной, мы видим, что неопределенность в множителе 60 — результат отсутствия знака нуль, который мы приписали бы нужное число раз в конце целого числа или начале дробного. Другим результатом отсутствия нуля является еще более серьезная неопределенность в интерпретации числовой записи, которая соответствует тому случаю, когда мы ставим нули в промежуточных разрядах. В самом деле, как отличить в вавилонской записи число 3601 = 1 × 60² + 0 × 60 + 1 от числа 61 = 1 × 60 + 1? Оба эти числа изображаются двумя единицами. Иногда неопределенность такого рода устранялась путем отодвижения чисел друг от друга с оставлением свободного места для недостающего разряда. Но этот метод не применялся систематически и во многих случаях большой пробел между числами ничего не означал. В астрономических таблицах эпохи Селевкидов встречается обозначение отсутствующего разряда с помощью знака, аналогичного нашей точке (разделитель фраз). В древневавилонскую эпоху ничего подобного мы не находим. Как же умудрялись древние вавилоняне избегать путаницы?

Полагают¹, что разгадка состоит в следующем.

Ранние математические тексты вавилонян, дошедшие до нас, представляют собой сборники задач и их решений, созданные несомненно как учебные пособия. Их цель — обучить практическим приемам решения задач. Но ни в одном из текстов не описывается, как производить арифметические действия, в частности такие сложные для своего времени, как умножение и деление. Следовательно, предполагалось, что ученики каким-то образом умеют это делать. Так как совершенно невероятно, чтобы вычисления производились в уме, естественно предположить, что вавилоняне пользовались каким-то счетным прибором типа абака. На абаке числа выступают в своем натуральном, стихийно позиционном виде, а специальный знак для нуля не нужен, ибо бороздка, соответствующая пустому разряду, просто остается без камешков. Представление числа на абаке было основной формой задания числа, и в этом представлении не было никакой неопределенности. Числа, которые приводятся в клинописных математических текстах, играют роль поэтапных ответов, призванных контролировать правильность хода решения. Ученик делал выкладки на абаке и сверялся с глиняной табличкой. Ясно, что такому контролю отсутствие знака для пустых разрядов нисколько не препятствовало. Когда распространились объемистые астрономические таблицы, служащие уже не для контроля, а в качестве единственного источника данных, стали употреблять и разделительный знак для обозначения пустых разрядов. Однако свой «нуль» вавилоняне никогда не ставили в конце числа: очевидно, они его воспринимали именно как разделитель, но не как полноправное число.

Познакомившись с египетской и вавилонской системами записи дробей и действий над ними, греки для астрономических вычислений выбрали вавилонскую, ибо она была несравненно лучше. Но в записи целых чисел они сохранили свою алфавитную систему. Таким образом, греческая система, употреблявшаяся в астрономии, оказалась смешанной: целая часть числа изображалась в десятичной непозиционной системе, дробная часть — шестидесятиричной позиционной.

Не слишком логичное решение для создателей логики! С их легкой руки мы и до сих пор считаем часы и градусы (угловые) десятками и сотнями, а делим их на минуты и секунды.

Зато греки ввели в позиционную систему современный знак 0 — нуль, произведя его, как полагает большинство специалистов, от первой буквы слова ουδεν — «ничто». При записи целых чисел (кроме числа 0) этот знак, естественно, не находил применения, ибо алфавитная система, которой пользовались греки, не была позиционной.

Современную систему записи чисел изобрели индийцы в начале VI в.н.э. Вавилонский позиционный принцип и греческий знак нуль для обозначения пустоты они применили не к основанию 60, а к основанию 10. Система получилась и последовательной, и экономной, и не противоречащей традиции, и чрезвычайно удобной для вычислений.

Индийцы передали свою систему арабам. В Европе позиционная система счисления появилась в XVI в. с переводом знаменитой арабской арифметики ал-Хорезми (ал-Хваризми). Она вступила в жестокую борьбу с традиционной римской системой и в конце концов одержала победу. Однако еще в XVI в. в Германии был издан и выдержал много изданий учебник арифметики, в котором используются исключительно «немецкие», т. е. римские цифры, или, лучше сказать, числа, так как в то время цифрами называли только знаки индийской системы. В предисловии автор пишет: «Я изложил эту счетную книгу обычными немецкими числами на благо и пользу непосвященному читателю (которому сразу трудно будет выучить цифры)». Десятичные дроби в Европе стали употреблять начиная с Симона Стевина (1548–1620).

9.5. Прикладная арифметика