Feynmann 2

Сначала давайте разберемся с кинематикой вращения. Изменение угла со временем очень похоже на изменение по­ложения при одномерном движении; для плоского вращения мы можем говорить об угловом положении и угловой скорости. Между этими двумя движениями — плоским вращением и одномерным перемещением — существует очень интересная связь: почти каждая величина в одном случае имеет свой аналог в другом. Прежде всего угол q, указывающий, насколько повернулось тело, соответствует пройденному точкой расстоя­нию s. Угловая скорость w=dq/dt, которая показывает, с какой быстротой изменяется угол, соответствует обычной скорости v=ds/dt, описывающей быстроту изменения положения. Если угол измеряется в радианах, то угловая скорость w равна какому-то числу радиан в секунду. Чем больше угловая ско­рость, тем быстрее вращается объект и тем быстрее изменяется угол. Если продифференцировать угловую скорость по вре­мени, то получим величину a=dw/dt, которую мы будем на­зывать угловым ускорением. Оно может служить аналогом обычного ускорения.

Теперь нам следует связать динамику вращения с дина­микой частиц, из которых сделано тело, т. е. выяснить, как движется каждая данная частица, если угловая скорость со­ставляет столько-то радиан в секунду. Для этого давайте возьмем какую-то частицу, расположенную на расстоянии r от оси, и будем, как обычно, говорить, что в данный момент времени она находится в определенном положении Р(х, у) (фиг. 18.1).

Фиг. 18.1. Кинематика двумер­ного вращения.

Через промежуток времени Dt тело целиком по­вернется на угол Dq, а вместе с ним повернется и наша частица. Хотя расстояние от нее до оси вращения О остается тем же самым, она уже переместится в другую точку, Q. Первое, что хотелось бы знать, это насколько изменятся расстояния х и y. Если обозначить через r длину ОР, то длина PQ будет равна rDq (просто по определению угла). Тогда изменение расстояния х будет равно проекции rDq на ось х

Dz=-PQsinq =-гDqy/r=-y/Dq. (18.6)

Аналогично,

Dy=xDq. (18.7)

Если тело вращается с угловой скоростью w, то, деля обе части равенства (18.6) и (18.7) на Dt, найдем компоненты скорости частицы

v_x=-wx и v_y=wy. (18.8)

Если же нам требуется абсолютная величина скорости, то мы просто пишем

Не удивительно, что абсолютная величина скорости получи­лась равной wr; это же очевидно; ведь полное пройденное рас­стояние равно rDq, а поэтому расстояние, пройденное за 1 сек, будет rDq/Dt, или rw.

Перейдем теперь к рассмотрению динамики вращения. Здесь следует ввести новое понятие — силу. Давайте посмотрим, нельзя ли изобрести нечто, играющее ту же роль, что и сила в линейном движении. Это нечто мы будем называть моментом силы, или просто моментом. Обычно под силой мы понимаем нечто, заставляющее покоящееся тело двигаться, а то, что заставляет тело вращаться, есть «вращающая», или «крутящая», сила; ее мы называем моментом. Таким образом, качественно момент силы — это кручение; но что такое момент силы коли­чественно? Количественную теорию момента можно получить, изучая работу, затраченную на поворот тела. Этот подход очень хорош и для определения силы: если мы знаем, какая требуется работа, чтобы совершить данное перемещение, то знаем и силу. Чтобы продолжить соответствие между угловыми и линейными величинами, мы должны приравнять работу, которая производится при повороте тела на какой-то угол, к произведению момента на этот угол. Другими словами, при таком определении момента теорема о работе имеет абсолютный аналог: работа есть сила на перемещение, или момент на угол. Это сразу говорит нам, что такое момент количественно. Рас­смотрим, например, твердое тело, вращающееся вокруг оси, на которое действуют различные силы. Сконцентрируем сначала наше внимание на одной силе, приложенной к некоторой точке (х, у). Какую работу мы затрачиваем, поворачивая тело на некоторый малый угол Dq? Нетрудно понять, что она равна

DW=F_xDx+F_yDy. (18.10)

Теперь нужно только подставить выражения (18.6) и (18.7) для Dx; и Dy и получить

DW=(xF_y-yF_x) Dq, (18.11)

т. е. работа, которую мы проделали, равна углу, на который было повернуто тело, умноженному на какую-то странную комбинацию сил и расстояний. Эта «странная комбинация» и есть момент. Таким образом, определяя изменение работы как момент, умноженный на угол поворота, мы получаем формулу, выражающую момент через силы. (Это понятно. По­скольку момент не является полностью новым понятием, не зависящим от механики Ньютона, то он должен определенным образом выражаться через силу.)