Feynmann 2a

образом, средняя мощ­ность

равна

Применяя метод комплексных чисел и нашу теорему о том, что <А²>=¹/₂A²₀, легко найти эту среднюю мощность. Так как

, то . Следовательно, средняя мощность равна

=¹/₂gw²x²₀. (24.4)

Если перейти к электрическим цепям, то dx/dt надо заменить на ток I (I — это dq/dt, где q соответствует х), а gm — на сопро­тивление R. Значит, скорость потери энергии (мощности силы) в электрической цепи равна произведению сопротивления на средний квадрат силы тока

<Р>=R2>=R^l/₂I²₀. (24.5)

Энергия, естественно, переходит в тепло, выделяемое сопро­тивлением; это так называемые тепловые потери, или джоулево тепло.

Интересно разобраться также в том, много ли энергии может накопить осциллятор. Не путайте этого вопроса с вопросом о средней мощности, ибо хотя выделяемая силой мощность сна­чала действительно накапливается осциллятором, потом на его долю остается лишь то, что не поглотило трение. В каждый мо­мент осциллятор обладает вполне определенной энергией, по­этому можно вычислить среднюю запасенную энергию . Мы уже вычислили среднее значение (dx/dt)², так что

Если осциллятор достаточно добротен и частота w близка к w₀, то ЅхЅ — большая величина, запасенная энергия очень велика и можно накопить очень много энергии за счет небольшой силы. Сила производит большую работу, заставляя осциллятор рас­качиваться, но после того, как установилось равновесие, вся сила уходит на борьбу с трением. Осциллятор располагает большой энергией, если трение очень мало, и потери энергии невелики даже при очень большом размахе колебаний. Доб­ротность осциллятора можно измерять величиной запасенной энергии по сравнению с работой, совершенной силой за период колебания.

Что это за величина — накопленная энергия по сравнению с работой силы за цикл? Ее обозначили буквой Q. Величина Q — это умноженное на 2p отношение средней запасенной энер­гии к работе силы за один цикл (можно рассматривать работу не за цикл, а за радиан, тогда в определении Q исчезнет 2p)

Пока Q не слишком велика — это плохая характеристика системы, если же Q довольно большая величина, то можно сказать, что это мера добротности осциллятора. Многие пыта­лись дать самое простое и полезное определение Q; разные оп­ределения немногим отличаются друг от друга, но если Q очень велика, то все они согласуются друг с другом. При самом общем определении по формуле (24.7) Q зависит от w. Если мы имеем дело с хорошим осциллятором вблизи резонансной частоты, то (24.7) можно упростить, положив w = w₀, тогда Q=w₀/g, такое определение Q было дано в предыдущей главе. Что такое Q для электрической цепи? Чтобы найти эту ве­личину, надо заменить m на L, mg на R и mw²₀ на 1/С (см. табл. 23.1). Тогда q в точке резонанса равна Lw/R, где w — ре­зонансная частота. В цепи с большой Q запасенная цепью энергия велика по сравнению с работой за один цикл, произ­водимой поддерживающей колебания в цепи машиной.

§ 2. Затухающие колебания

Вернемся к основной теме — переходным решениям. Пе­реходными решениями называются решения дифференциаль­ного уравнения, соответствующие ситуации, когда внешняя сила не действует, но система тем не менее не находится в покое. (Конечно, лучше всего решать задачу, когда сила не действует, а система покоится, покоится — ну и пусть покоится!) Соответ­ствующие переходным решениям колебания можно вызвать так: заставить силу поработать, а потом выключить ее. Что тогда случится с осциллятором? Сначала подумаем, как будет вести себя система с очень большой Q. Если сила действовала долго, то запасенная энергия была постоянной и работа тратилась лишь для того, чтобы поддержать ее. Предположим теперь, что мы выключили силу, тогда трению, которое раньше поглощало энергию поставщика, питаться больше нечем — кормильца-то нет. И трение начинает пожирать запасенную осциллятором энергию. Пусть добротность системы Q/2p=1000. Это значит, что работа, произведенная за цикл, равна 1/1000 запасенной энергии. Пожалуй, разумно предположить, что при не поддерживае­мых внешней силой колебаниях за каждый цикл будет теряться одна тысячная часть имеющейся к началу цикла энергии. Будем считать, что при больших Q изменение энергии описывается угаданным нами приближенным уравнением (мы еще вернемся к этому уравнению и сделаем его совсем верным!)

Уравнение это приближенное, потому что оно справедливо только для больших Q. За каждый радиан система теряет 1/Q часть запасенной энергии Е. Значит, за промежуток времени dt энергия уменьшится в (wdt/Q раз (частота появляется при переводе радианов в настоящие секунды). А какая это частота? Предположим, что система устроена очень жестко, поэтому даже при действии силы она сколько-нибудь заметно колеблется толь­ко со своей собственной частотой. Поэтому будем считать, что w — это резонансная частота w₀. Таким образом, из уравнения (24.8) следует, что запасенная энергия меняется

следующим образом:

Теперь нам известно значение энергии в любой момент. Какой будет приближенная формула, определяющая амплитуду коле­баний как функцию времени? Той же самой? Нет! Потенциаль­ная энергия пружины изменяется как квадрат смещения, кинетическая энергия — как квадрат скорости; это приводит к тому, что полная энергия пропорциональна квадрату сме­щения. Таким образом, смещение (амплитуда колебаний) будет уменьшаться с половинной скоростью. Иначе говоря, мы ожидаем, что решение в случае затухающего переходного дви­жения будет выглядеть как колебание с частотой, близкой к ре­зонансной частоте w₀; амплитуда этого колебания будет умень­шаться как ехр(-gt/2)

Эта формула и фиг. 24.1 дают представление о том, чего следует ожидать, а теперь приступим к точному анализу движе­ния, т. е. к решению дифференциального уравнения движения.

Фиг. 24.1. Затухающие колебания.

Как же решить уравнение (24.1), если выкинуть из него внешнюю силу? Будучи физиками, мы интересуемся не столько методом, сколько самим решением. Поскольку мы люди уже опытные, попытаемся представить решение в виде экспоненци­альной кривой, х=Аexp(iat). (Почему мы так поступили? Оттого, что экспоненту легче всего дифференцировать!) Подставим это выражение в (24.1), помня о том, что каждое дифференцирование х по времени сводится к умножению на ia [напомним, что F(t)=0]. Сделать это очень легко, и наше уравнение примет вид

( -a²+iga+w²₀)Ае^iat=0. (24.11)

Левая часть равенства должна быть равна нулю все время, но это возможно только в двух случаях: а) А=0, однако это даже и не решение: ведь тогда все покоится, или б)

Если мы сможем решить это уравнение и найти a, то мы найдем и решение, амплитуда которого А не обязательно равна нулю!

Чтобы не думать о том, как извлечь квадратный корень, предположим, что g меньше w₀, и поэтому w²₀-g²/4 — положи­тельная величина. Беспокоит другое: почему мы получили два решения! Им соответствуют

и

Займемся пока первым решением, предположив, что мы ничего не знаем о том, что квадратный корень принимает два значе­ния. В этом случае смещение х равно x₁=Aexp(ia₁t), где А — произвольная постоянная. Чтобы сократить запись, введем специальное обозначение для входящего в a_t квадратного корня:

Так, и , или, если воспользоваться замечательным свойством экспоненты,

Итак, система осциллирует с частотой w_g , которая в точности не равна частоте w₀, но практически близка к ней, если система достаточно добротна. Кроме того, амплитуда колебаний экспо­ненциально затухает! Если взять действительную часть (24.16), то мы получим

Это решение очень напоминает угаданное нами решение (24.10), вот только частота немного другая, w_g. Но это лишь небольшая поправка, значит, первоначальная идея была правильной.

И все-таки не все благополучно! А не благополучно то, что су­ществует второе решение.

Этому решению соответствует a₂, и оно отличается от пер­вого лишь знаком w_g

Что все это значит? Скоро мы докажем, что если x₁ и х₂— воз­можные решения (24.1) при F(t)=0, то х₁+х₂—тоже решение этого уравнения! Таким образом, общее решение имеет вид

Теперь можно спросить: «А, собственно, зачем нам беспокоить себя еще одним решением, если нас вполне устраивало первое? К чему эти дополнительные решения, если мы все равно должны взять только действительную часть?» Мы знаем, что нужно взять действительную часть, но откуда математика знает, что мы хо­тим взять действительную часть? Когда у нас была внешняя сила F(t), то мы ее дополнили искусственной силой, и она каким-то образом управляла мнимой частью уравнения. Но когда мы по­ложили F(t)=0, то соглашение о том, что, каково бы ни было х, нужно взять только его действительную часть, стало нашим лич­ным делом, и математическое уравнение об этом ничего не знало. В мире физики есть только действительные решения, но реше­ние, которому мы так радовались, комплексно. Уравнению не из­вестно, что мы делаем совершенно неожиданный шаг и отбираем только действительную часть, и оно предлагает нам еще, так сказать, комплексно сопряженное решение, чтобы, сложив оба решения, мы получили настоящее действительное решение; вот для чего мы взяли еще и a₂. Чтобы х было действительным, Ввхр(-iw_gt) должно быть комплексно сопряженным к Aexp(iw_gt) числом, тогда мнимая часть исчезнет. Таким образом, В долж­но быть комплексно сопряжено с А, поэтому наше решение имеет вид

Значит, наши колебания — это колебания с фазовым сдвигом и, как полагается, с затуханием.

§ 3. Переходные колебания в электрических цепях

Посмотрим, как выглядят переходные колебания. Для этого соберем цепь, изображенную на фиг. 24.2.

Фиг. 24,2. Электрическая цепь для демонстраций переходных колебаний.

В этой цепи разность потенциалов между концами индуктивности L поступает в осцил­лоскоп. Неожиданное включение рубильника S включает допол­нительное напряжение и вызывает в осцилляторной цепи переходные колебания. Эти колебания аналогичны колебаниям механического осциллятора, вызванными неожиданным ударом. Сама цепь представляет собой электрический аналог механи­ческого осциллятора с затуханием, и мы можем наблюдать коле­бания при помощи осциллоскопа. Он покажет нам кривые, анализом которых мы и займемся. На фиг. 24.3—24.6 представ­лены кривые затухающих колебаний, полученные на экране осциллоскопа. На фиг. 24.3 показаны затухающие колебания в цепи с большой Q, т. е. с малым значением g.

Фиг. 24.3. Затухающие коле­бания.

В такой цепи ко­лебания затухают не очень быстро; мы видим довольно длинную синусоиду с медленно убывающим размахом.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если мы будем уменьшать Q, так что колебания должны затухать быстрее. Чтобы уменьшить Q, увеличим сопротивление цепи R. При повороте ручки сопротивления колебания действительно зату­хают скорее (фиг. 24.4).

Фиг. 24.4. Колебания затухают быстрее.

Если еще увеличить сопротивление, то колебания затухнут еще быстрее (фиг. 24.5).

Фиг, 24.5. Колебания почти исчезли.

Но если сопротив­ление увеличить сверх некоторого предела, колебаний мы вооб­ще не увидим. А может быть, нам просто отказывают глаза? Увеличим еще сопротивление и получим тогда кривую, пред­ставленную на фиг. 24.6; по ней можно лишь с натяжкой сказать, что в цепи произошли колебания, ну разве что одно.

Фиг. 24.6. Колебаний нет.

Можем ли мы математически объяснить это явление?

Сопротивление механического осциллятора, конечно, про­порционально g. В нашем случае g — это R/L. Теперь, если уве­личивать g, то в столь приятных нам решениях (24.14) и (24.15) наступает беспорядок; когда g/2 становится больше w₀, реше­ния приходится записывать по-другому:

Это снова два решения, которые приводят нас к решениям exp(ia₁t) и ехр(ia₂t). Подставив теперь a₁, получим

Никаких колебаний. Чисто экспоненциальное убывание. То же самое дает и второе решение

Заметим, что квадратный корень не может превысить g/2; даже если w₀=0, оба члена равны. Если же w²₀ отличается от g/²/4, то квадратный корень меньше g//2 и выражение в круглых скобках всегда положительно. Это очень хорошо! Почему? Да потому что если бы это выражение было отрицательным, то е пришлось бы возводить в положительную степень и мы по­лучили бы возрастающее со временем решение. Но при увели­чении в цепи сопротивления колебания не могут возрастать, зна­чит, мы избегли противоречия. Итак, мы получили два решения; оба решения экспоненциально затухают, но одно из них стре­мится «умереть» гораздо скорее. Общее решение, конечно, пред­ставляет собой комбинацию обоих решений, а значения коэф­фициентов А и В зависят от того, как начинаются колебания, каковы начальные условия. В нашей цепи случилось так, что А — отрицательное число, а В — положительное, поэтому на экране осциллоскопа мы увидели разность двух экспонент.

Давайте обсудим, как найти коэффициенты А и В (или А и A*), если известны начальные условия. Предположим, что в момент t=0 нам известны смещение х=х₀ и скорость dx/dt=v₀. Если в соотношения

подставить значения t=0, х=х₀, dx/dt=v₀ и воспользо­ваться тем, что е⁰=еⁱ⁰=1, то мы получим

x₀=A+A*=2A_R,

Значит,

Таким образом, зная начальные условия, мы полностью определили А и А*, а значит, и кривую переходного решения. Можно записать решение и по-другому. Вспомним, что

e^iq+e^-iq=2cosq и e^iq- e^-iq=2isinq, тогда

где wg=+Ц(w²₀-(g²/4). Мы получили формулу затухающих колебаний. Такая формула нам не понадобится, однако отметим ее особенности, справедливые и в более общих случаях.

Прежде всего поведение системы, на которую не действует внешняя сила, описывается суммой (суперпозицией) временных экспонент [мы записали их в виде exp(iat)]. Такое решение хорошо передает истинное положение вещей. В общем случае a — это комплексное число, и его мнимая часть соответствует затуханию колебаний. Наконец, тесная математическая связь синусоидальных и экспоненциальных функций, о которой го­ворилось в гл. 22, физически часто проявляется в переходе от колебаний к чисто экспоненциальному затуханию при крити­ческих значениях некоторых параметров системы (в нашем случае это было сопротивление g).

Глава 25

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЗОР

§ 1. Линейные дифференци­альные уравнения

§ 2. Суперпозиция решений

§ 3. Колебания в линейных системах

§ 4. Аналогии в физике

§ 5. Последовательные и параллельные сопротивления

§ 1. Линейные дифференциальные уравнения

В этой главе мы снова вернемся к некоторым аспектам наших колебательных систем, только постараемся теперь увидеть нечто более общее, стоящее за спиной каждой частной системы. Изучение каждой колебательной системы своди­лось к решению дифференциального уравнения

Эта комбинация «операций» над переменной х обладает интересным свойством: если вместо х подставить (х+у), получится сумма одинаковых операций над х и y, а умножение х на число а сводится к умножению на это число первона­чальной комбинации. Это легко доказать. Что­бы не переутомиться, записывая все буквы, вошедшие в (25.1), давайте введем «скоропис­ные» обозначения. Обозначим всю левую часть уравнения (25.1) символом L(х). Увидев такой символ, вы должны мысленно представить себе левую часть уравнения (25.1). Поэтому, соглас­но этой системе, символ L(x+y) будет озна­чать следующее:

(Подчеркнем букву L, чтобы не спутать этот символ с обычной функцией.) Иногда мы будем употреблять термин операторная запись, но со­вершенно безразлично, какими словами это называть, просто-напросто это «скоропись». Наше первое утверждение, что

L(x+y)=L(x)+L(y), (25.3)

следует из соотношений а(х+у)=ах+ау, d(x+y)/dt=dx/dt+-dy/dt и т. д.

Легко доказать, что для постоянного а

L(ax)=aL(x). (25.4)

[Соотношения (25.3) и (25.4) тесно связаны одно с другим, потому что, подставив в (25.3) х+х, мы получим (25.4) для част­ного значения а=2 и т. д.]

Решая более сложные задачи, можно получить L, в котором содержится больше членов и более высокие производные. Обыч­но первым делом интересуются, справедливы ли соотношения (25.3) и (25.4). Если они выполняются, то задачу называют линейной. В этой главе мы изучим некоторые свойства систем, следующие только из того факта, что система линейная. Это поможет нам понять общность некоторых свойств изученных ранее частных систем.

Давайте изучим некоторые свойства линейных дифферен­циальных уравнений, причем полезно помнить о хорошо зна­комом нам частном уравнении (25.1). Первое интересное свой­ство: предположим, что мы решаем дифференциальное уравне­ние для переходных движений: свободных колебаний без дейст­вия внешних сил. Нам предстоит решить уравнение

L(x)=0. (25.5)

Предположим, что мы как-то исхитрились одолеть это уравне­ние и нашли его частное решение х₁. Это значит, что нам из­вестна функция x₁, для которой L(x₁)=0. После этого можно за­метить, что ax₁— тоже решение нашего уравнения; можно умножить частное решение уравнения на любую постоянную и получить новое решение. Иначе говоря, если какое-либо ре­шение позволяет частице продвинуться на определенное рас­стояние, то она может совершить и более длинный рейс. Дока­зательство: L(ax₁)=aL(x₁)=a·0=0.

Предположим теперь, что нам удалось все-таки найти не одно частное решение x₁, но и второе х₂ (напомним, что когда мы в поисках переходного решения подставляли x=exp(iat), то мы нашли два значения a, т. е. два решения: x₁ и х₂). Пока­жем теперь, что комбинация x₁+x₂ — тоже решение. Иными словами, если положить x=x₁+x₂, то х — это опять решение уравнения. Почему? Потому что если L(x₁)=0 и L(x₂)=0, то L(x_t+x₂)=L(x₁)+L(x₂)=0+0=0. Таким образом, мы вправе складывать отдельные решения, описывающие движения ли­нейной системы.

Продолжая в том же духе, мы можем сложить шесть первых и два вторых решения; ведь если x₁ есть решение, то ax₁ — тоже решение. Другими словами, любая сумма двух решений, на­пример ax₁+bx₂, удовлетворяет уравнению. Если нам посча­стливится найти три решения, то мы увидим, что любая комби­нация трех решений снова удовлетворяет уравнению, и т. д. Поток таких решений можно ограничить независимыми реше­ниями; в случае осциллятора мы получили только два таких решения. Число независимых решений в общем случае зависит от того, что называется числом степеней свободы. Мы не будем сейчас подробно обсуждать этот вопрос, но в случае дифферен­циального уравнения второго порядка имеются лишь два неза­висимых решения. Если мы найдем оба эти решения, то можно построить общее решение уравнения.

Посмотрим, что будет, когда на систему действует внешняя сила. Предположим, что нам встретилось уравнение

L(x)=F(t) (25.6)

и мы нашли его частное решение. Назовем его решением Джо x_Д, т. е. L(x_Д)=F(t). Хотелось бы найти еще одно решение этого уравнения. Добавим к решению Джо какое-нибудь решение свободного уравнения (25.5), например x₁. Тогда, вспомнив о (25.3), получим

L(x_Д+x_l)=L(x_Д)+L(x₁)=F(t)+0=F(t). (25.7)

Следовательно, добавив к решению уравнения (25.6) любое «свободное» решение, мы получим новое решение. Свободное ре­шение называют еще переходным решением.

Если неожиданно включить внешнюю силу, то движение осциллятора не сразу будет описываться равновесным (синусо­идальным) решением: сначала к нему будут примешиваться пе­реходные решения, которые, если подождать подольше, в конце концов «вымрут». Равновесное решение «выживет», потому что только оно соответствует внешней силе. В конце концов это бу­дет единственным решением, но начальные движения системы зависят от того, какие обстоятельства сопутствуют включе­нию силы.

§ 2. Суперпозиция решений

Перейдем теперь к другой интересной проблеме. Предполо­жим, что нам задана какая-нибудь внешняя сила F_a (например, периодическая сила с частотой w=w_а, но наши выводы будут верны для любой зависимости силы от времени) и мы нашли движение, соответствующее этой силе (переходные движения можно учитывать или не учи­тывать, это неважно). Пред­положим, что мы решили еще одну задачу — нашли движе­ние в случае действия силы F_b. После этого предположим, что кто-то вбежал в комнату и сказал: «На контрольной за­дают задачу с силой F_a+F_b. Что нам делать?» Конечно, мы решим эту задачу — ведь мы сразу обнаружим одно замечательное свойство: сумма реше­ний х_а и х_b, получаемых в том случае, если брать силы по от­дельности, будет решением новой задачи. Для этого надо только вспомнить о (25.3):

L(x_a+x_b)=L(x_a)+L(x_b)=F_a(t)+F_b(t). (25.8)

Это пример того, что называют принципом суперпозиции для линейных систем, и это очень важная вещь. Дело обстоит так: если мы сможем представить сложную силу в виде суммы не­скольких более простых сил и сможем решить уравнение для каждой силы в отдельности, то мы сможем решить и первона­чальное уравнение, потому что для этого надо просто объеди­нить куски решения так же, как мы объединяли отдельные силы, чтобы получить полную силу (фиг. 25.1).

Фиг. 25.1. Пример принципа суперпозиции для линейных си­стем.

Еще один пример принципа суперпозиции. В гл. 12 (вып. 1) говорилось об одном из важнейших фактов, вытекающих из за­конов электричества. Если нам задано распределение зарядов q_a, можно найти электрическое поле Е_в, порождаемое этими заря­дами в точке Р. Другое распределение зарядов q_b порождает в этой же точке поле E_b. Оба эти распределения, действуя вме­сте, породят в точке Р поле Е, которое представляет собой сумму полей Е_а и Е_b. Иначе говоря, поле, соответствующее совокуп­ности многих зарядов,— это векторная сумма полей, соответ­ствующих отдельным зарядам. Аналогия с предыдущим приме­ром бросается в глаза: ведь если мы знаем результат действия отдельных сил, то отклик на силу, являющуюся суммой этих сил, будет суммой отдельных откликов.

Фиг. 25.2. Принцип суперпо­зиции в электростатике.

Причина справедливости принципа суперпозиции в электри­честве состоит в том, что основные законы электричества, опреде­ляющие электрическое поле (уравнения Максвелле), — это линейные дифференциальные уравнения, обладающие свойством (25.3). Силам в этих уравнениях соответствуют заряды, порождающие электрическое поле, а уравнения, определяющие электрическое поле по заданным зарядам,— линейные уравнения.

Чтобы придумать еще один пример принципа суперпозиции, спросите себя, как вам удается настроить свой радиоприемник на определенную радиостанцию, хотя одновременно работает очень много станций. Сигналы радиостанций — это колеблю­щиеся электрические поля очень высокой частоты, действую­щие на антенну радиоприемника. Амплитуда этих колебаний, правда, меняется, их модулирует голос диктора, но скорость этих изменений очень мала и об этом можно пока забыть. Когда вы слышите: «Станция работает на частоте 780 килогерц», это значит, что частота излучаемого антенной радиостанции элект­ромагнитного поля равна 780 000 колебаний в секунду и это поле с точно такой же частотой раскачивает электроны в ан­тенне вашего приемника. Но ведь в то же самое время поблизо­сти может работать и другая радиостанция на другой частоте, скажем на частоте 550 кгц. Эта станция тоже раскачивает электроны вашей антенны. Как же отделяются сигналы, посту­пающие в приемник с частотой 780 кгц, от сигналов, имею­щих частоту 550 кгц? Ведь вы же не слышали голоса обоих дикторов одновременно.

Первая часть электрической цепи радиоприемника — это линейная цепь. По принципу суперпозиции ее отклик на элект­рическое поле F_а+F_b равен х_а+х_b. По всему выходит, что нам придется слушать обоих дикторов сразу. Но вспомним, что в резонансной цепи кривая отклика х на единичную силу F за­висит от частоты примерно так, как это изображено на фиг. 25.3.

Фиг. 25.3. Резонансная кривая с острым максимумом.

В цепи с очень большим значением Q отклик имеет очень острый максимум. Предположим, что обе станции имеют примерно одинаковую мощность, поэтому обе силы имеют примерно оди­наковую амплитуду. Отклик равен сумме откликов х_а и х_b, но на фиг. 25.3 х_а громаден, а х_b очень мал. Таким образом, хотя оба сигнала одинаковы по силе, в приемнике они проходят через остро резонансную цепь, настроенную на частоту w_а (частоту передач одной из станций), и отклик на эту частоту (станцию) значительно больше отклика на все остальные. Поэтому, не­смотря на то что на антенну действуют оба сигнала, полный отклик почти целиком составлен из частоты w_а, и мы можем выб­рать ту станцию, какую пожелаем.

Несколько слов о механизме настройки. Как мы настраиваем радиоприемник? Мы изменяли частоту w₀, меняя L или С цепи, потому что частота цепи зависит от комбинации L и С. Боль­шинство радиоприемников устроено так, что в них меняется зна­чение С. Поворачивая ручку настройки приемника, мы изменяем собственную частоту цепи. Пусть какому-то положению ручки соответствует частота w_с; если нет радиостанций, работающих на этой частоте, приемник молчит. Вы продолжаете изменять емкость С цепи, пока не построите кривую отклика с резонан­сом при частоте w_b, тогда вы услышите другую станцию. Вот так и настраивается радиоприемник; все дело в принципе супер­позиции, в сочетании с резонансным откликом.

Чтоб закончить обсуждение, давайте подумаем, как посту­пить при анализе линейных задач с заданной силой, когда сила очень сложно зависит от времени. Можно поступать по-разному, но есть два особенно удобных общих метода решения таких за­дач. Первый метод: предположим, что мы можем решить зада­чу в некоторых частных случаях, например в случае синусои­дальных сил разных частот. Решать линейные уравнения в таких случаях — детская забава. Пусть нам и встретился этот «детский» случай. Теперь встает вопрос, нельзя ли представить любую силу в виде суммы двух или более «детских» сил? Мы уже показали на фиг. 25.1 довольно хитрую зависимость силы от времени; если туда добавить еще несколько синусоид, то ре­зультирующая кривая будет выглядеть еще сложнее. Таким образом, простенькие «детские» силы могут породить очень сложную силу. Верно и обратное: практически каждая кривая может быть представлена в виде бесконечной суммы синусоидаль­ных волн разной длины волн (или частоты). Таким образом, мы знаем, как представить заданную силу F в виде синусоидальных волн, поэтому решение х можно представить в виде суммы F синусоидальных волн, каждая из которых умножается на эф­фективное отношение х к F. Такой метод решения называют ме­тодом преобразования, Фурье, или анализом (разложением) Фурье. Мы не будем сейчас делать такого разложения; пока до­статочно только идеи.

Очень интересен другой способ решения сложных задач. Предположим, что кто-то после больших умственных усилий решил заданную нам задачу в случае одной частной силы — импульсной. Сила внезапно и быстро действует на систему, затем выключается и все опять спокойно. Нам теперь достаточно решить такую задачу лишь в случае единичной силы, потом умножением на подходящее число мы сможем получить любые силы. Мы знаем, что осциллятор откликается на импульсную силу затухающими колебаниями. А как быть в случае другой силы, например силы, изображенной на фиг. 25.4?

Фиг. 25.4. Сложную силу можно представить как последователь­ность коротких импульсов.

Такую силу можно представить в виде последовательных ударов молотком. Сначала всюду стоит тишина, потом кто-то берет в руки молоток и внезапно раздаются равномерные уда­ры — удар, удар, удар, удар, ... и опять все тихо. Иначе говоря, непрерывно действующую силу можно представить в виде ряда последовательных импульсов, быстро следующих один за дру­гим. Мы знаем последствия одного импульса, а последствием серии импульсов будет ряд затухающих колебаний; нарисуйте кривую колебаний для первого импульса, затем, немного от­ступя, такие же кривые для второго импульса, третьего и т. д. Потом сложите все кривые. Таким образом математически можно представить полное решение в случае произвольной силы, если можно решить задачу для импульса. Ответ для любой силы можно получить путем интегрирования. Это метод функции Грина. Функция Грина — это отклик системы на отдельный импульс, а метод функции Грина — это метод ана­лиза действия силы суммированием откликов на импульсы.

Физические принципы, лежащие в основе обоих методов, очень просты; они просто напрашиваются, если понять смысл линейного уравнения, но математические методы содержат до­вольно сложные интегрирования и т. д.; мы мало подготовлены, чтобы прямо атаковать эти методы. К этому вы еще вернетесь, когда поднабьете руку в математике. Но сама идея методов, право, очень проста.

Наконец, скажем еще, почему линейные системы так важны. Ответ прост: потому что мы умеем решать линейные уравнения! Поэтому большую часть времени мы будем решать линейные задачи. Вторая (и главная) причина заключается в том, что основные законы физики часто линейны. Например, уравнения Максвелла для законов электромагнетизма — линейные урав­нения. Великие законы квантовой механики, насколько нам они известны, тоже сводятся к линейным уравнениям. Вот почему мы так много времени уделяем линейным уравнениям: если мы поняли линейные уравнения, мы готовы в принципе понимать очень многие вещи.

Упомянем еще другие ситуации, когда возникают линейные уравнения. Когда отклонения малы, многие функции можно приближенно заменить линейными. Например, точное уравне­ние движения маятника гласит

d²q/dt²=-g/Lsinq. (25.9)

Это уравнение решается при помощи эллиптических функций, но легче его решить численно, как мы это делали в гл. 9 (вып. 1) при изучении ньютоновых законов движения. Большинство нелинейных уравнений вообще можно решить лишь численно. Для малых углов sinq практически равен q, и в этом случае можно перейти к линейному уравнению. На этом примере мож­но сообразить, что есть много обстоятельств, при которых ма­лые эффекты линейны (здесь это отклонения маятника на малые углы). Другой пример: если на пружине качается небольшой грузик, сила пропорциональна растяжению пружины. Если сильно потянуть за пружину, она может и порваться, значит, в этом случае сила совсем иначе зависит от расстояния! Линей­ные уравнения очень важны. Они настолько важны, что физики и инженеры, пожалуй, половину своего времени тратят на ре­шение линейных уравнений.

§ 3. Колебания в линейных системах

Давайте вспомним, о чем мы говорили в нескольких послед­них главах. Физику колебательных движений очень легко за­темнить математикой. На самом-то деле здесь физика очень про­ста, и если на минуту забыть математику, то мы увидим, что понимаем почти все, что происходит в колебательной системе.

Во-первых, если мы имеем дело только с пружинкой и грузи­ком, то легко понять, почему система колеблется — это следст­вие инерции. Мы оттянули массу вниз, а сила тянет ее назад; наступает момент, когда сила равна нулю, но грузик не может остановиться мгновенно: у него есть импульс, который застав­ляет его двигаться. Теперь пружинка тянет грузик в другую сторону, грузик начинает двигаться взад и вперед. Итак, если бы не было трения, то, несомненно, получилось бы колебатель­ное движение, и так оно и есть на самом деле. Но достаточно незначительного трения, чтобы размах следующих колебаний стал меньше, чем раньше.

Что случится потом, после многих циклов? Это зависит от ха­рактера и величины трения. Предположим, что мы придумали такое устройство, что при изменении амплитуды сила трения оказывается пропорциональной другим силам — инерции и натяжению. Иначе говоря, при малых колебаниях трение сла­бее, чем при колебаниях с большой амплитудой. Обычно сила трения таким свойством не обладает, так что можно предполо­жить, что в нашем случае действуют силы трения особого рода — силы, пропорциональные скорости; тогда для больших колеба­ний эти силы будут больше, а для малых — меньше. Если у нас именно такой вид трения, то в конце каждого цикла система будет находиться в тех же условиях, что и в начале цикла, только всего будет меньше. Все силы будут меньше в тех же пропорциях: сила пружинки немного ослабнет, инерциальные эффекты будут меньше. Ведь теперь и ускорения грузика будут меньше, и сила трения ослабеет (об этом мы позаботились, соз­давая наше устройство). Если бы мы имели дело с такими си­лами трения, то увидели бы, что каждое колебание в точности повторяет первое, только амплитуда его стала меньше. Если после первого цикла амплитуда составляла, например, 90% пер­воначальной, то после второго цикла она будет равна 90% от 90% и т. д., т. е. размах колебаний после каждого цикла умень­шается в одинаковое число раз. Кривая, ведущая себя таким образом,— это экспоненциальная функция. Она изменяется в одинаковое число раз на любых интервалах одинаковой длины. Иначе говоря, если отношение амплитуды одного цикла к амплитуде предыдущего равно а, то такое же отношение для вто­рого цикла равно а², затем а³ и т. д. Таким образом, амплитуда колебаний после n циклов равна

А=А₀аⁿ. (25.10)

Но, конечно, n~t, поэтому общее решение будет произведением какой-нибудь периодической функции sinwt или соswt на ам­плитуду, которая ведет себя примерно как b^t. Если b положи­тельно и меньше единицы, то его можно записать в виде е^-c.

Вот почему решение задачи о колебаниях при учете трения бу­дет выглядеть примерно как

ехр(-ct)coswt. Это очень просто.

Что случится, если трение не будет таким искусственным; например обычное трение о стол, когда сила трения по­стоянна по величине, не зависит от размаха колебаний и меняет свое направление каждые полпериода? Тогда уравнения движе­ния станут нелинейными; решить их трудно, поэтому придется прибегнуть к описанному в гл. 2 численному решению или рас­сматривать по отдельности каждую половину периода. Самым мощным, конечно, является численный метод; с его помощью можно решить любое уравнение. Математический анализ ис­пользуется лишь для решения простых задач.

Надо сказать, что математический анализ вообще не такое уж могучее средство исследования; с его помощью можно ре­шить лишь простейшие возможные уравнения. Как только урав­нение чуть усложняется, его уже нельзя решить аналитически. Численный же метод, с которым мы познакомились в начале курса, позволяет решить любое уравнение, представляющее физический интерес.

Пойдем дальше. Что можно сказать о резонансной кривой? Как объяснить резонанс? Представим сначала, что трения нет и мы имеем дело с чем-то, что может колебаться само по себе. Если подталкивать маятник каждый раз, когда он пройдет мимо нас, то очень скоро маятник начнет раскачиваться, как сумас­шедший. А что случится, если мы закроем глаза и, не следя за маятником, начнем толкать его с произвольной частотой, с ка­кой захотим? Иногда наши толчки, попадая не в ритм, будут замедлять маятник. Но когда нам посчастливится найти вер­ный темп, каждый толчок будет достигать маятника в нужный момент и он будет подниматься все выше, выше и выше. Таким образом, если не будет трения, то для зависимости амплитуды от частоты внешней силы мы получим кривую, которая выгля­дит, как сплошная линия на фиг. 25.5.

Фиг. 25.5. Резонансная кривая, отражающая разнообразные виды трения.

Качественно мы по­няли резонансную кривую; чтобы найти ее точные очертания, пожалуй, придется прибегнуть к помощи математики. Кривая стремится к бесконечности, если w®w₀, где w₀— собственная частота осциллятора.

Предположите, что существует слабое трение. Тогда при не­значительных отклонениях осциллятора влияние трения сказы­вается слабо и резонансная кривая вдали от максимума не из­меняется. Однако около резонанса кривая уже не уходит в бесконечность, а просто поднимается выше, чем в остальных ме­стах. Когда амплитуда колебаний достигает максимума, работа, совершенная нами в момент толчка, полностью компенсирует потери энергии на трение за период. Таким образом, вершина кривой закруглена, и она уже не уходит в бесконечность. Чем больше трение, тем больше сглажена вершина кривой. Кто-нибудь может сказать: «Я думал, что ширины резонансных кривых зависят от трения». Так можно подумать, потому что ре­зонансные кривые рисуют, принимая за единицу масштаба вер­шину кривой. Однако если нарисовать все кривые в одном мас­штабе (это прояснит дело больше, чем изучение математических выражений), то окажется, что трение срезает вершину кривой! Если трение мало, мы можем подняться высоко по резонансной кривой; когда трение сгладит кривую, мы на том же интервале частот поднимаемся на меньшую высоту, и это создает ощу­щение ширины. Таким образом, чем выше пик кривой, тем ближе к максимуму точки, где высота кривой равна половине максимума.

Наконец, подумаем, что произойдет при очень большом тре­нии. Ясно, что, если трение очень велико, система вообще не осциллирует. Энергии пружинки едва-едва хватит на борьбу с силами трения, и грузик будет медленно ползти к положению равновесия.

§ 4. Аналогии в физике

Продолжая обзор, заметим, что массы и пружинки — это не единственные линейные системы; есть и другие. В частности, существуют электрические системы (их называют линейными цепями), полностью аналогичные механическим системам. Мы не старались до конца выяснить, почему каждая часть электри­ческой цепи работает так, а не иначе; это нам еще трудно по­нять. Можно просто поверить, что то или иное поведение каж­дого элемента цепи можно подтвердить экспериментально.

Возьмем для примера простейшее устройство. Приложим к куску проволоки (сопротивлению) разность потенциалов V. Это значит, что если от одного конца проволоки до другого проходит заряд q, то при этом совершается работа qV. Чем вы­ше разность потенциалов, тем большая работа совершается при «падении» заряда с высокопотенциального конца проволоки на низкопотенциальный. Заряды, проходя с одного конца прово­локи на другой, выделяют энергию. Но зарядам не так-то просто плыть вдоль проволоки: атомы проволоки оказывают сопротивление потоку, и это сопротивление подчиняется закону, справедливому почти для всех обычных материалов: ток I про­порционален приложенной к проволоке разности потенциалов. Иначе говоря, число зарядов, проходящих через проволоку за 1 сек, пропорционально силе, с которой их толкают:

V=IR=R(dq/dt), (25.11)

Коэффициент R называют сопротивлением, а само уравнение— законом Ома. Единица сопротивления — ом; он равен отноше­нию одного вольта (1 в) к одному амперу (1 а). В механических устройствах очень трудно отыскать силу трения, пропорцио­нальную скорости, а в электрических цепях — это дело обычное и закон Ома справедлив для большинства металлов с очень высокой точностью.

Нас интересует, много ли совершается работы за 1 сек при прохождении зарядов по проволоке (эту же величину можно назвать потерей мощности или выделяемой зарядами энергией)? Чтобы прогнать заряд q через разность потенциалов V, надо со­вершить работу qV; таким образом, работа за 1 сек равна V(dq/dt), или VI. Это выражение можно записать иначе: IR·I=I²R. Эту величину называют тепловыми потерями; вследствие закона сохранения энергии, такое количество теплоты про­изводит в 1 сек сопротивление проволоки. Эта теплота накаляет проволоку электрической лампы.

У механических устройств есть, конечно, и другие интересные свойства, например, такие, как масса (инерция). В электриче­ских цепях, оказывается, тоже существуют аналоги инерции. Можно построить прибор, называемый индуктором, а свойство, которым он обладает, носит название индуктивность. Ток, попа­дающий в такой прибор, не хочет останавливаться. Чтобы изме­нить ток, к этому прибору нужно приложить разность потенци­алов. Если по прибору течет постоянный ток, то падения по­тенциалов нет. Цепи с постоянным током ничего «не знают» об индуктивности; эффекты индуктивности обнаруживаются толь­ко при изменениях тока. Описывающее эти эффекты уравнение гласит;

V=L(dI/dt)=L(d²q/dt²), (25.12)

а индуктивность измеряется в единицах, которые называются генри (гн). Приложенная к прибору с индуктивностью в 1 гн разность потенциалов в 1 в изменяет ток на 1 а/сек. Уравнение (25.12), если хотите,— электрический аналог закона Ньютона: V соответствует F, L соответствует т, а I — скорости!

Все последующие уравнения, описывающие обе системы, выводятся одинаково, потому что мы просто можем заменить буквы в уравнении для одной системы и получить уравнение для другой системы; любой вывод, сделанный при изучении од­ной системы, будет верен и для другой системы.

Какое электрическое устройство соответствует пружинке, в которой сила пропорциональна растяжению? Если начать с F=kx и заменить F на V, a х на q, то получим V=aq.Мы уже знаем, что такое устройство существует; более того, это единственный из трех элементов цепи, работу которого мы понимаем. Мы уже знакомились с парой параллельных пластинок и обнаружили, что если зарядить пластинки равными, но противоположными по знаку зарядами, то поле между пластинками будет про­порционально величине заряда. Работа, совершаемая при пе­реносе единичного заряда через щель от одной пластинки к дру­гой, прямо пропорциональна заряду пластинок. Эта работа слу­жит определением разности потенциалов и равна линейному ин­тегралу электрического поля от одной пластинки к другой. По исторически сложившимся причинам постоянную пропор­циональности называют не С, а 1/С, т. е.

V=q/C. (25.13)

Единица емкости называется фарадой (ф); заряд в 1 кулон, по­мещенный на каждой пластинке конденсатора емкостью в 1 ф, создает разность потенциалов в 1 в. Вот все нужные аналогии. Теперь можно, заменив m на L, q на х и т. д., написать уравне­ние для резонансной цепи

Все, что мы знаем об уравнении (25.14), можно применить и к уравнению (25.15). Переносится каждое следствие; анало­гов так много, что с их помощью можно сделать замечательные вещи.

Предположим, что мы натолкнулись на очень сложную механическую систему: имеется не одна масса на пружинке, а много масс на многих пружинках, и все это перепутано. Что нам делать? Решать уравнения? Можно и так. Но попробуем соб­рать электрическую цепь, которая будет описываться теми же уравнениями, что и механическое устройство! Если мы собрались анализировать движение массы на пружинке, почему бы нам не собрать цепь, в которой индуктивность пропорциональна массе, сопротивление пропорционально тg, 1/С пропорциональ­но k? Тогда электрическая цепь, конечно, будет точным анало­гом механического устройства в том смысле, что любой отклик q на V (V соответствует действующей силе) в точности соответст­вует отклику х на силу! Перепутав в цепи великое множество сопротивлений, индуктивностей и емкостей, можно получить цепь, имитирующую сложнейшую механическую систему. Что в этом хорошего? Каждая задача, механическая или электриче­ская, столь же трудна (или легка), как и другая: ведь они в точ­ности эквивалентны. Открытие электричества не помогло решить математические уравнения, но дело в том, что всегда легче собрать электрическую цепь и изменять ее параметры.

Предположим, что мы построили автомобиль и хотим узнать, сильно ли его будет трясти на ухабах. Соберем электрическую цепь, в которой индуктивности скажут нам об инерции колес, об упругости колес представление дадут емкости, сопротивле­ния заменят амортизаторы и т. д. В конце концов мы заменим элементами цепи все части автомобиля. Теперь дело за ухабами. Хорошо, подадим на схему напряжение от генератора — он смо­жет изобразить любой ухаб; измеряя заряд на соответствую­щем конденсаторе, мы получаем представление о раскачке колеса. Измерив заряд (это сделать легко), мы решим, что авто­мобиль трясет слишком сильно. Надо что-то сделать. То ли ос­лабить амортизаторы, то ли усилить их. Неужели придется переделывать автомобиль, снова проверять, как его трясет, а потом снова переделывать? Нет! Просто нужно повернуть ручку сопротивления: сопротивление номер 10 — это аморти­затор номер 3; так можно усилить амортизацию. Трясет еще сильнее — не страшно, мы ослабим амортизаторы. Все равно трясет. Изменим упругость пружины (ручка номер 17). Так мы всю наладку произведем с помощью электричества, много­кратным поворотом ручек.

Вот вам аналоговая вычислительная машина. Так называют устройства, которые имитируют интересующие нас задачи, описываемые теми же уравнениями, но совсем другой природы. Эти устройства легко построить, на них легко провести измере­ния, отладить их, и... разобрать!

§ 5. Последовательные и параллельные сопротивления

Обсудим, наконец, еще один важный вопрос, хотя он не сов­сем подходит по теме. Что делать с электрической цепью, если в ней много элементов? Например, когда индуктивность, сопротив­ление и емкость соединены, как показано на фиг. 24.2 , то все заряды проходят через каждый из трех элементов так, что связывающий элементы ток во всех точках цепи одинаков. Поскольку ток всюду одинаков, падение напряжения на соп­ротивлении равно IR, на индуктивности равно L(dI/dt) и т. д. Полное падение напряжения получается суммированием частичных падений, и мы приходим к уравнению (25.15). Исполь­зуя комплексные числа, мы решили это уравнение в случае равновесного отклика на синусоидальную силу. Мы нашли, что V=ZI (Z называется импедансом цепи). Зная импеданс, легко найти ток в цепи I, если к цепи приложено синусоидальное нап­ряжение V.

Предположим, что нужно собрать более сложную цепь из двух кусков, импедансы которых равны Z₁ и Z₂; соединим их по­следовательно (фиг. 25.6, а) и приложим напряжение.

Фиг. 25.6. Импедансы, соеди­ненные последовательно (а) и па­раллельно (б).

Что слу­чится? Задача немного сложнее предыдущей, но разобраться в ней нетрудно: если через Z₁ течет ток I₁, то падение напряже­ния на Z₁ равно V₁=IZ₁, а падение напряжения на Z₂ будет V₂ = IZ₂. Через оба элемента цепи течет одинаковый ток. Пол­ное падение напряжения вдоль такой цепи равно V=V₁+V₂=(Z₁+Z₂)I. Таким образом, падение напряжения в такой цепи мощно записать в виде V=IZ_s, a Z_s— импеданс системы, состав­ленной из двух последовательно соединенных элементов, равен сумме импедансов отдельных элементов

Z_s=Z₁+Z₂. (25.16)

Но это не единственный способ решения вопроса. Можно со­единить отдельные элементы параллельно (фиг. 25.6,б). При та­ком соединении, если соединительные провода считать идеаль­ными проводниками, к обоим элементам приложено одинаковое внешнее напряжение, а сила тока в каждом элементе не зависит от другого элемента. Ток через Z₁ равенI₁=V/Z₁, ток в Z₂ равен /₂=V/Z₂. Напряжение в обоих случаях одинаково. Полный ток через концы цепи равен сумме токов в отдельных частях цепи:

I=V/Z₁+V/Z₂. Это можно записать и так:

Таким образом,

Многие сложные цепи иногда становятся более понятными, если расчленить их на куски, выяснить, чему равны импедансы отдельных частей, а затем шаг за шагом следить за соединением частей, помня о только что выведенных правилах. Если мы соб­рали цепь из большого числа произвольно соединенных эле­ментов и создаем в этой цепи разности потенциалов при помощи небольших генераторов, импедансом которых можно пренебречь (когда заряд проходит через генератор, то потенциал возрастает на V), то при анализе цепи можно использовать такие правила:

1) сумма токов, протекающих через любое соединение, равна нулю; ведь притекший к любому соединению ток должен обязательно вытечь из него;

2) если заряд, двигаясь по замкнутой петле, вернулся в то место, откуда начал путешествие, полная работа должна быть равна нулю.

Эти правила называются законами Кирхгофа. Систематиче­ское применение этих правил часто облегчает анализ работы сложных цепей. Мы к ним вернемся, когда будем говорить о законах электричества.

* В новейших супергетеродинных приемниках дело, конечно, об­стоит сложнее. Усилители приемника настроены на определенную промежуточную частоту; осциллятор с переменной настраивающейся частотой связан с входным сигналом нелинейной связью, порождая новую частоту (равную разности частот сигнала и осциллятора) —промежуточную частоту, которая и усиливается. Об этом мы поговорим в гл. 50 (вып. 4).

* Решения, которые нельзя выразить линейно одно через другое, называются независимыми решениями.