Feynmann 3

Рассмотрим сначала простейший пример преломляющей поверхности, разделяющей две среды с разными показателями преломления (фиг. 27.2). Случай произвольных показателей

Фиг. 27.2. Фокусировка на преломляющей поверхности.

пусть разберет читатель самостоятельно; нам важно рассказать об идее, задача же достаточно проста и ее можно решить в лю­бом частном случае. Итак, пусть слева скорость света равна 1, а справа 1/n, где n — показатель преломления. Свет в стекле идет медленнее в n раз.

Теперь представим себе точку О на расстоянии s от лицевой поверхности стекла и другую точку О' на расстоянии s' внутри стекла и попытаемся выбрать кривую поверхность так, чтобы каждый луч, вышедший из О и попавший на поверхность в Р, приходил в точку О'. Для этого нужно придать поверхности такую форму, чтобы сумма времени прохождения света на пути от О к Р (т. е. расстояние ОР, деленное на скорость света, равную единице) плюс n-О'Р, т.е. время на пути от Р к О', было по­стоянной величиной, не зависящей от положения точки Р. Это условие дает уравнение для определения поверхности. В ре­зультате получается весьма сложная поверхность четвертого порядка (читатель может вычислить ее для собственного удоволь­ствия с помощью аналитической геометрии). Проще рассмотреть специальный случай s® Ґ, когда кривая получается второго порядка и ее легче определить. Интересно сравнить эту кри­вую с кривой для фокусирующего зеркала (когда свет приходил из бесконечности), которая, как вы помните, оказалась параболой.

Итак, нужную поверхность сделать нелегко; чтобы сфокуси­ровать свет от одной точке в другую, нужна довольно сложная поверхность. Практически такие сложные поверхности даже не пытаются создать, а пользуются компромиссным решением. Мы не будем собирать все лучи в фокус, а соберем только лучи, достаточно близкие к оси 00'. Раз идеальная форма поверхности столь сложна, возьмем вместо нее сферическую поверхность, которая имеет нужную кривизну у самой оси, и пусть далекие лучи отклоняются от оси, если они того хотят. Сферу изготовить намного проще, чем другие поверхности, поэтому выберем сферу и рассмотрим поведение лучей, падающих на сферическую по­верхность. Будем требовать точной фокусировки только для тех лучей, которые проходят вблизи от оси. Иногда эти лучи называ­ют параксиальными, а наша задача — найти условия фокуси­ровки параксиальных лучей. Позже мы обсудим ошибки, свя­занные с отклонением лучей от оси.

Итак, считая, что Р близко к оси, опустим перпендикуляр PQ длиной h. Если бы наша поверхность была плоскостью, проходящей через Р, то время, затрачиваемое на пути от О к Р, превышало бы время на пути от О к Q, а время на пути от Р к О' превышало бы время от Q к О'. Поверхность стекла должна быть кривой, потому что только в этом случае весь излишек времени компенсируется задержкой при прохождении пути от V к Q! Далее, излишек времени на пути ОР есть h²/2s, а излишек времени на отрезке О'Р есть nh²/2s'. Это лишнее время, которое должно компенсироваться временем на пути VQ, накапливается на пути в среде, а не в вакууме. Другими словами, время на пути VQ в n раз больше соответствующего времени в вакууме, а поэтому лишнее время на этом отрезке есть (n-l)VQ. Ну, а какова длина VQ? Если С есть центр сферы с радиусом R, то с помощью уже знакомой нам формулы выводим, что длина VQ есть h²/2R. В результате мы получаем закон, (27.2)

который связывает длины s и s' и определяет радиус кривизны R искомой поверх­ности:

(27.3)

Если мы хотим сфокусировать свет из точки О в точку О', то эта формула позволяет вычислить требуемый радиус кривизны поверхности.

Интересно, что та же линза с таким же радиусом кривизны R будет фокусировать и на других расстояниях, т. е. она является фокусирующей для любой пары расстояний, для ко­торых сумма обратной величины одного расстояния и обратной величины другого, умноженного на n, есть постоянное число. Таким образом, данная линза (если учитывать только паракси­альные лучи) является фокусирующей не только для точек О и О', но и для бесконечного числа пар точек, если эти пары удов­летворяют соотношению 1/s+n/s' = постоянная, характеризую­щая данную линзу.