Feynmann 3a

Раз уж мы начали говорить о теории относительности, при­ведем еще и третий способ доказательства, который покажется, пожалуй, более общим. (Суть дела остается прежней, ибо не играет роли, каким способом получен результат!) В теории от­носительности имеется связь между положением в пространстве и временем, определяемым одним наблюдателем, и положением и временем, определяемым другим наблюдателем, движущимся относительно первого. Мы уже выписывали эти соотношения (гл. 16). Они представляют собой преобразования Лоренца, прямые и обратные:

(34.15)

Для неподвижного наблюдателя волна имеет вид cos(cot-kx); все гребни, впадины и нули описываются этой формой. А как будет выглядеть та же самая физическая волна для движущегося наблюдателя? Там, где поле равно нулю, любой наблюдатель при измерении получит нуль; это есть релятивистский инвариант. Следовательно, форма волны не меняется, нужно только напи­сать ее в системе отсчета движущегося наблюдателя:

 

Произведя перегруппировку членов, получим

(34.16)

Мы снова получим волну в виде косинуса с частотой w' в ка­честве коэффициента при t' и некоторой другой константой k' — коэффициентом при х'. Назовем k' (или число колебаний на 1 м) волновым числом для второго наблюдателя. Таким об­разом, движущийся наблюдатель отметит другую частоту и другое волновое число, определяемые формулами

(34.17)

(34.18)

Легко видеть, что (34.17) совпадает с формулой (34.13), полу­ченной нами на основании чисто физических рассуждений.

§ 7. Четырехвектор (w, k)

Соотношения (34.17) и (34.18) обладают весьма интересным свойством: новая частота w' линейно связана со старой частотой w и старым волновым числом k, а новое волновое число представ­ляется в виде комбинации старого волнового числа и частоты. Далее, волновое число есть скорость изменения фазы с расстоя­нием, а частота — скорость изменения фазы со временем, и сами соотношения обнаруживают глубокую аналогию с пре­образованиями Лоренца для координаты и времени: если со сопоставить с t, a k с х/с², то новое w' сопоставляется с t', a k' — с координатой х'/с². Иначе говоря, при преобразовании Лоренца w и k изменяются так же, как t и х. Эти величины w и k составляют так называемый четырехвектор. Четырехкомпонентная величина, преобразующаяся как время и координа­ты, и есть четырехвектор. Здесь все правильно, за исключением одного — четырехвектор имеет четыре компоненты, а у нас фигурируют только две! Как уже говорилось, со и k подобны времени и одной координате пространства; для введения двух остальных координат надо изучить распространение света в трехмерном пространстве.

Пусть задана система координат х, у, z и волна движется в пространстве с волновым фронтом (фиг. 34.11). Длина волны есть К, а направление распространения волны не совпадает ни с одной осью координат.

Фиг. 34.11. Плоская волна, движущаяся под углом.

Какой вид имеет формула движения для такой волны? Ответ очевиден: это cos (a>t-ks), где k = 2п/X a s (расстояние вдоль направления движения вол­ны) — проекция вектора положения на направление движе­ния. Запишем это следующим образом: пусть r есть вектор точки в пространстве, тогда s есть г-е_k, где e_k — единичный вектор в направлении движения волны. Иначе говоря, s равно rcos(r-e_k), проекции расстояния на направление движе­ния. Следовательно, наша волна описывается формулой cos(wt-ke_k·r).

Оказывается очень удобным ввести вектор k, называемый волновым вектором', величина его равна волновому числу 2p/l, а направление совпадает с направлением распространения волны

(34.19)

Благодаря введению этого вектора волна приобретает вид cos(wt-k·r), или cos(wt-k_xx-k_yy-k_zz). Выясним смысл про­екций k, например k_x. Очевидно, k_x есть скорость изменения фазы в зависимости от координаты х. Фиг 34.11 подсказывает нам, что фаза меняется с ростом х так, как если бы вдоль х бежала волна, но соответствующая ей длина волны оказывается больше по величине. «Длина волны в направлении х» больше истинной на множитель, равный секансу угла a между осью х и направле­нием движения истинной волны:

(34.20)

Следовательно, скорость изменения фазы, обратно пропорцио­нальная X_х, в направлении х оказывается меньше на множитель cos а; но этот же множитель содержит и k_x, равный модулю k, умноженному на косинус угла между k и осью х!

Итак, мы выяснили смысл волнового вектора, описывающего распространение волны в трехмерном пространстве. Четыре величины со, k_x, k_y, k_z преобразуются в теории относительности как четырехвектор, причем со соответствует времени, a k_x, ky, k_z соответствуют х, у и z и компонентам четырехвектора.