Feynmann 5b

Что получается, когда мы понижаем температуру до кри­тического значения? Если кристаллическая решетка состоит из элементарных ячеек вида, изображенного на фиг. 11.9, то, очевидно, можно выбрать цепочки ионов вдоль вертикальных линий. Одна из них состоит попеременно из ионов кислорода и титана. Имеются и другие цепочки, состоящие либо из ионов бария, либо из ионов кислорода, но расстояния между ионами вдоль таких линий оказываются больше. Используем простую модель, вообразив ряд ионных цепочек (фиг. 11.10, а). Вдоль цепочки, которую мы назовем главной, расстояние между ионами равно а, что составляет половину постоянной решетки; поперечное

расстояние между одинако­выми цепочками равно 2а.

Фиг. 11.10. Модели сегнетоалектрика.

а — антисегнетоэлектрик; б — нормальный сегнетовлектрик.

В промежут­ке имеются менее плотные цепочки, которые мы пока не будем рассматри­вать. Чтобы немного упростить наш анализ, предположим еще, что все ионы главной цепочки одинаковы. (Упроще­ние не очень значительное, потому что все важные эффекты еще останутся. Это просто одна из хитростей теорети­ческой физики. Сначала решают видо­измененную задачу, потому что так в первый раз ее легче понять, а затем, разобравшись, как все происходит, вносят все усложнения.)

Попробуем теперь выяснить, что будет происходить в нашей модели. Предположим, что дипольный момент каждого иона равен р, и пусть мы хотим вычислить поле вблизи одного из ионов в цепочке. Мы должны найти сумму полей от всех остальных ионов. Сначала вычислим поле от диполей только в одной вертикальной цепочке; об остальных цепочках поговорим поз­же. Поле на расстоянии r от диполя в направлении вдоль его оси дается формулой

(11.32)

Для точки вблизи любого иона про­чие диполи, расположенные на одина­ковом расстоянии кверху и книзу от него, дают поля в одном и том же на­правлении, поэтому для всей цепочки получаем

(11.33)

Не представляет большого труда пока­зать, что если бы наша модель была подобна кубическому кристаллу, т. е. если бы следующая идентичная линия проходила на расстоянии а, число 0,383 превратилось бы в ¹/₃ (~0,333). Другими словами, если бы соседние линии проходили на расстоянии а, они вносили бы в нашу сумму всего лишь —0,050. Однако следующая глав­ная цепочка, которую мы рассмотрим, находится на расстоянии 2а, и, как вы помните из гл. 7, поле, создаваемое периодической структурой, спадает с расстоянием экспоненциально. Поэтому эти линии вносят в сумму гораздо меньше —0,050, и мы можем просто пренебречь всеми остальными цепочками.

Теперь нужно выяснить, какова должна быть поляризуе­мость а, чтобы привести в действие механизм разгона. Предпо­ложим, что индуцированный момент р каждого атома цепочки в соответствии с уравнением (11.6) пропорционален действую­щему на него полю. Поляризующее поле, действующее на атом, мы получаем из E_{цепочка} с помощью формулы (11.32). Итак, мы имеем два уравнения:

Имеются два решения: когда Е и р оба равны нулю и когда Е и р не равны нулю, но при условии, что

Таким образом, если a достигает величины a³/0,383, устанавли­вается постоянная поляризация, поддерживаемая своим соб­ственным полем. Это критическое равенство должно достигать­ся для титаната бария как раз при температуре Т_с. (Заметьте, что если бы поляризуемость a была больше критического зна­чения для слабых полей, то она уменьшится при больших полях и в точке равновесия установится полученное нами ра­венство.)

Для ВаТiO₃ промежуток a равен 2·10^-8 см, поэтому мы должны ожидать значения a=21,8·10^-24 см³. Мы можем сравнить эту величину с известными величинами поляризуе­мости отдельных атомов. Для кислорода a = 30,2·10^-24 см³. (Мы на верном пути!) Но для титана a = 2,4·10^-24см³. (Слиш­ком мало.) В нашей модели нам, видимо, следует взять среднее. (Мы могли бы рассчитать снова цепочку для перемежающихся атомов, но результат был бы почти такой же.) Итак, a_средн = 16,3·10^-24 см³, что недостаточно велико для установ­ления постоянной поляризации.