Feynmann 5b

Фиг. 13.6. Контурный интег­рал от тангенциальной со­ставляющей В равен поверхно­стному интегралу от нормаль­ной составляющей вектора

(СX B).

Мы получили этот результат с помощью теоремы Стокса, со­гласно которой интеграл по любому замкнутому пути от любого векторного поля равен поверхностному интегралу от нормаль­ной компоненты ротора этого вектора (интеграл берется по дюбой поверхности, натянутой на данный контур). Применяя эту же теорему к вектору магнитного поля и используя обо­значения, показанные на фиг. 13.6, получаем

(13.14)

Найдя rot В из уравнения (13.13), имеем

(13.15)

Интеграл от j по S, согласно (13.5), есть полный ток I через поверхность S. Поскольку для постоянных токов ток через S не зависит от формы S, если она ограничена кривой Г, то обыч­но говорят о «токе через замкнутую петлю Г». Мы имеем, та­ким образом, общий закон: циркуляция В по любой замкнутой кривой

равна току I сквозь петлю, деленному на e₀с²:

(13.16)

Этот закон, называемый законом Ампера, играет такую же роль в магнитостатике, как закон Гаусса в электростатике. Один лишь закон Ампера не определяет В через токи; мы долж­ны, вообще говоря, использовать также С·В=0. Но, как мы увидим в следующем параграфе, он может быть использован для нахождения поля в тех особых случаях, которые обладают некоторой простой симметрией.

§ 5. Магнитное поле прямого провода и соленоида; атомные токи

Можно показать, как пользоваться законом Ампера, опреде­лив магнитное поле вблизи провода. Зададим вопрос: чему равно поле вне длинного прямолинейного провода цилиндри­ческого сечения? Мы сделаем одно предположение, может быть, не столь уж очевидное, но тем не менее правильное: линии поля В идут вокруг провода по окружности. Если мы сделаем такое предположение, то закон Ампера [уравнение (13.16)] говорит нам, какова величина поля. В силу симметрии задачи поле В имеет одинаковую величину во всех точках окружности, концентрической с проводом (фиг. 13.7). Тогда можно легко взять линейный интеграл от B·ds. Он равен просто величине В, умноженной на длину окружности. Если радиус окружности равен r, то

Полный ток через петлю есть просто ток I в проводе, поэтому

или

(13.17)

Напряженность магнитного доля спадает обратно пропорцио­нально r, расстоянию от оси провода. При желании уравнение (13.17) можно записать в векторной форме. Вспоминая, что В направлено перпендикулярно как I, так и r, имеем

(13.18)

Фиг. 13.7. Магнитное поле вне длинного провода с током I.

Фиг. 13.8. Магнитное поле длинного соленоида.

Мы выделили множитель 1/4pe₀с², потому что он часто по­является. Стоит запомнить, что он равен в точности 10^-7 (в си­стеме единиц СИ), потому что уравнение вида (13.17) исполь­зуется для определения единицы тока, ампера. На расстоянии 1 м ток в 1а создает магнитное поле, равное 2·10^-7 вебер/м².

Раз ток создает магнитное поле, то он будет действовать с некоторой силой на соседний провод, по которому также про­ходит ток. В гл. 1 мы описывали простой опыт, показывающий силы между двумя проводами, по которым течет ток. Если про­вода параллельны, то каждый из них перпендикулярен полю В другого провода; тогда провода будут отталкиваться или при­тягиваться друг к другу. Когда токи текут в одну сторону, провода притягиваются, когда токи противоположно направле­ны,— они отталкиваются.

Возьмем другой пример, который тоже можно проанализи­ровать с помощью закона Ампера, если еще добавить кое-какие сведения о характере поля. Пусть имеется длинный провод, свернутый в тугую спираль, сечение которой показано на фиг. 13.8. Такая спираль называется соленоидом. На опыте мы наблюдаем, что когда длина соленоида очень велика по сравнению с диаметром, то поле вне его очень мало по сравне­нию с полем внутри. Используя только этот факт и закон Ам­пера, можно найти величину поля внутри.

Поскольку поле остается внутри (и имеет нулевую дивер­генцию), его линии должны идти параллельно оси, как пока­зано на фиг. 13.8. Если это так, то мы можем использовать закон Ампера для прямоугольной «кривой» Г на рисунке. Эта кривая проходит расстояние L внутри соленоида, где поле, скажем, равно В₀, затем идет под прямым углом к полю и возвращается назад по внеш­ней области, где полем можно пренебречь.

Фиг. 13.9. Магнитное поле вне соленоида.

Линей­ный интеграл от В вдоль этой кривой равен в точ­ности B₀L, и это должно равняться 1/e₀с², умноженному на полный ток внутри Г, т. е. на NI (где N — число витков соленоида на длине L). Мы имеем

Или же, вводя n — число витков на единицу длины соленоида (так что n=N/L), мы получаем

(13.19)