Feynmann 7

Мы можем снова воспользоваться этим выражением для опре­деления эллипсоида инерции. Кроме того, снова можно восполь­зоваться энергетическими соображениями и показать, что этот тензор симметричен, т. е. I_ij=I_ji.

Тензор инерции твердого тела можно написать, если извест­на форма тела. Нам нужно только выписать полную кинетиче­скую энергию всех частиц тела. Частица с массой m и скоростью v обладает кинетической энергией ¹/₂mv², а полная кинетиче­ская энергия равна просто сумме

S¹/₂mv²

по всем частицам тела. Но скорость v каждой частицы связана с угловой скоростью wтвердого тела. Предположим, что тело вращается относительно центра масс, который мы будем счи­тать покоящимся. Если при этом r — положение частицы отно­сительно центра масс, то ее скорость v задается выражением wXr. Поэтому полная кинетическая энергия равна

к. э.=S¹/₂m(wX г)². (31.18)

Единственное, что нужно теперь сделать,— это переписать wXr через компоненты w_х, w_y , w_z и координаты х, у, z, а за­тем сравнить результат с уравнением (31.17); приравнивая коэффициенты, найдем I_ij. Проделывая всю эту алгебру, мы пишем:

Умножая это уравнение на m/2, суммируя по всем частицам и сравнивая с уравнением (31.17), мы видим, что I_xx, напри­мер, равно

Это и есть та формула для момента инерции тела относительно оси х, которую мы получали уже раньше (гл. 19, вып. 2).

Ну а поскольку r² =x²+y²+z², то эту же формулу можно написать в виде

I_xx=Sm(r²-x²). Выписав остальные члены тензора инерции, получим

Если хотите, его можно записать в «тензорных обозначе­ниях»:

где через r_i обозначены компоненты (х, у, z) вектора положе­ния частицы, а 2 означает суммирование по всем частицам. Таким образом, момент инерции есть тензор второго ранга, элементы которого определяются свойствами тела и который связывает момент количества движения L с угловой ско­ростью w:

Для любого тела независимо от его формы можно найти эл­липсоид энергии, а следовательно, и три главные оси. Относи­тельно этих осей тензор будет диагональным, так что для лю­бого объекта всегда есть три ортогональные оси, для которых момент количества движения и угловая скорость параллельны друг другу. Они называются главными осями инерции.

§ 5. Векторное произведение

Сами того не подозревая, вы пользуетесь тензором второго ранга уже начиная с гл. 20 (вып. 2). В самом деле, мы опреде­лили там «момент силы, действующий в плоскости», например t_xy, следующим образом:

t_xy=xF_y-yF_x.

Обобщая это определение на три измерения, можно написать

t_ij=r_iF_j-r_jF_i. (31.22)

Как видите, величина t_ij — это тензор второго ранга. Один из способов убедиться в этом — свернуть t_ij с каким-то век­тором, скажем с единичным вектором е, т. е. составить

Если эта величина окажется вектором, то t_ij должен преобра­зовываться как тензор — это просто наше определение тензора. Подставляя выражение для t_ij, получаем

Поскольку скалярные произведения, естественно, являются скалярами, то оба слагаемых в правой части — векторы, как и их разность. Так что t_ij-— действительно тензор.

Однако t_ij принадлежит к особому сорту тензоров, он антисимметричен, т. е.

t_ij=-t_ji.

Поэтому у такого тензора есть только три разные и неравные нулю компоненты: t_xy, t_yz и t_zz. В гл. 20 (вып. 2) нам удалось показать, что эти три члена почти «по счастливой случайности» преобразуются подобно трем компонентам вектора; поэтому мы могли тогда определить вектор

t=(t_x,. t_y, t_z) = (t_yz, t_zx, t_xy).

Я сказал «по случайности» потому, что это происходит только в трехмерном пространстве. Например, для четырех измерений антисимметричный тензор второго ранга имеет шесть различных ненулевых членов, и его, разумеется, нельзя заменить векто­ром, у которого компонент только четыре.

Точно так же как аксиальный вектор t==rXF является тен­зором, по тем же соображениям тензором будет и любое век­торное произведение двух полярных векторов. К счастью, они тоже представимы в виде вектора (точнее, псевдовектора), что немного облегчает нам всю математику.

Вообще говоря, для любых двух векторов а и b девять ве­личин a_ib_j образуют тензор (хотя для физических целей он не всегда может быть полезен). Таким образом, для вектора по­ложения r величины r_ir_j являются тензором, а поскольку d_ij. тоже тензор, то мы видим, что правая часть (31.20) действитель­но является тензором. Подобным же образом тензором будет и (31.22), так как оба члена в правой части — тензоры.

§ 6. Тензор напряжений