Feynmann 7

Как же эта точка зрения согласуется с выражением (36.7)? Прежде всего намагниченность М внутри материала постоянна, так что все ее производные равны нулю. Это согласуется с на­шей геометрической картиной. Однако М на поверхности на самом деле не постоянна, она постоянна вплоть до поверхности, а затем неожиданно падает до нуля. Таким образом, непосред­ственно на поверхности возникает громадный градиент, который в соответствии с выражением (36.7) даст огромную плотность тока. Предположим, что мы наблюдаем за тем, что происходит вблизи точки С на фиг. 36.2. Если выбрать направления осей х и у так, как это показано на фигуре, то намагниченность М будет направлена по оси z. Выписывая компоненты уравнения (36.7), мы получаем

Хотя производная dM_z/dy в точке С равна нулю, производная dM_z/dx будет большой и положительной. Выражение (36.7) говорит, что в отрицательном направлении оси у течет ток огромной плотности. Это согласуется с нашим представлением о поверхностном токе, текущем вокруг цилиндра.

Теперь мы можем найти плотность тока в более сложном случае, когда намагниченность в материале меняется от точки к точке. Качественно нетрудно понять, что если в двух сосед­них областях намагниченность различная, то полной компен­сации циркулирующих токов не происходит, поэтому полный ток внутри материала не равен нулю. Именно этот эффект мы и хотим получить количественно.

Прежде всего вспомните, что в гл. 14, § 5 (вып. 5), мы вы­яснили, что циркулирующий ток I создает магнитный момент

m=IА, (36.9)

где А— площадь, ограниченная контуром тока (фиг. 36.3).

Фиг. 36.3. Дипольный момент mкон тура тока равен IA.

Рассмотрим маленький прямо­угольный кубик внутри намаг­ниченного материала (фиг. 36.4).

Фиг. 36.4. Небольшой намагничен­ный кубик эквивалентен циркули­рующему поверхностному току.

Пусть кубик будет так мал, что намагниченность внутри него можно считать однородной. Если компонента намагниченности этого кубика в направлении оси z равна М_z, то полный эффект будет таким, как будто по вертикальным граням течет поверх­ностный ток. Величину этого тока мы можем найти из ра­венства (36.9). Полный магнитный момент кубика равен про­изведению намагниченности на объем:

m=M_z(abc),

откуда, вспоминая, что площадь равна ас, получаем

I=М_zb.

Другими словами, на каждой из вертикальных поверхностей величина тока на единицу длины по вертикали равна М_z.

Представьте теперь два таких маленьких кубика, располо­женных рядом друг с другом (фиг. 36.5).

Фиг. 36.5. Если на­магниченность двух соседних кубиков раз­лична, то на их гра­нице течет поверх­ностный ток.

Кубик 2 несколько смещен по отношению к кубику 1, поэтому его вертикальная компонента намагниченности будет немного другой, скажем M_z+DМ_z. Теперь полный ток на поверхности между этими двумя кубиками будет слагаться из двух частей. По кубику 1 в положительном направлении по оси у течет ток I₁, а по кубику 2 в отрицательном направлении течет ток I₂. Полный поверхностный ток в положительном направлении оси у будет равен сумме

I=I₁-I₂=М_zb-(М_z+DМ_z)b=-DM_zb.

Величину DМ_г можно записать в виде произведения произ­водной от M_z по х на смещение кубика 2 относительно кубика 1, которое как раз равно а:

DM_z=(дM_z /дx)а. Тогда ток, текущий между двумя кубиками, будет равен

I=(-дM_z/дx)ab.

Чтобы связать ток I со средней объемной плотностью тока j, необходимо понять, что этот ток на самом деле размазан по некоторой области поперечного сечения. Если мы вообразим, что такими маленькими кубиками заполнен весь объем мате­риала, то за такое сечение (перпендикулярное оси х) может быть выбрана боковая грань одного из кубиков. Теперь вы видите, что площадь, связанная с током, как раз равна площади ab одной из фронтальных граней. В результате получаем

Наконец-то у нас начинает получаться ротор М.

Но в выражении для j_y должно быть еще одно слагаемое, связанное с изменением x-компоненты намагниченности с изме­нением z. Этот вклад в j происходит от поверхности между двумя маленькими кубиками, поставленными друг на друга (фиг. 36.6).

Фиг. 36.6. Два кубика, распо­ложенных один над другим, то­же могут давать вклад в j_y.

Воспользовавшись только что проведенными рассуждениями, мы можем показать, что эта поверхность будет давать в величину j_y вклад, равный dM_x/dz. Только эти поверх­ности и будут давать вклад в y-компоненту тока, так что пол­ная плотность тока в направлении оси у получается равной

Определяя токи на остальных гранях куба или используя тот факт, что направление оси z было выбрано совершенно произ­вольно, мы можем прийти к заключению, что вектор плотности тока действительно определяется выражением .

j=СXM.