Feynmann 9

Теперь мы хотели бы кое на что обратить ваше внимание. Предположим, что физика всей системы молекулярного иона водорода сама по себе симметрична. Этого могло бы и не быть — это зависит, например, от того, что находится с нею рядом. Но если система симметрична, то с необходимостью должна быть справедлива следующая идея. Предположим, что вначале, при t=0, система находится в состоянии |1>, а через промежуток времени t мы обнаруживаем, что система оказалась в более сложном положении — в какой-то линейной комбинации обоих базисных состояний. Вспомните, что в гл. 6 (вып. 8) мы привыкли представлять «эволюцию во времени» умножением на оператор U^. Это означает, что система через мгновение (скажем для опреде­ленности, через 15 сек) окажется в каком-то ином состоянии.

Например, это состояние на Ц ²/₃ может состоять из состояния |1> и на iЦ¹/₃ из состояния |2>, и мы бы написали

|y на 15-й секунде>=.(15.4)

Теперь спросим: что же произойдет, если вначале мы запустим систему в симметричном состоянии |2> и при тех же условиях подождем 15 сек? Ясно, что если мир симметричен (что мы и предполагаем), то обязательно получится состояние, симметрич­ное с (15.4):

|y на 15-й секунде>=

Те же идеи схематично изображены на фиг. 15.2.

Фиг. 15.2. Если в симметричной системе чистое состояние |1> развивается во вре­мени так, как показано в части (а), то чистое состояние |2> будет во времени развиваться так, как показано в части (б).

Итак, если физика системы симметрична относительно некоторой плоскости и мы рассчитали поведение того или иного состояния, то нам также известно поведение состояния, которое получилось бы после отражения исходного состояния в плоскости симметрии.

То же самое можно высказать чуть более общо, т. е. чуть более отвлеченно. Пусть Q^ — любая из множества операций, которые вы можете произвести над системой, не меняя физики. К примеру, за Q^ мы можем принять операцию отражения в пло­скости, расположенной посредине между двумя атомами моле­кулы водорода. Или в системе с двумя электронами можно было бы под Q^ подразумевать операцию обмена двумя электронами. Третьей возможностью явилась бы в сферически симметричной системе операция поворота всей системы на конечный угол вокруг некоторой оси; от этого физика не изменится. Конечно, в каждом отдельном случае мы бы обозначали Q^ по-своему. В частности, через R^_y (q) мы обычно будем обозначать операцию «поверни систему вокруг оси у на угол q». Под Q^ мы просто понимаем один из названных операторов или любой другой, который оставляет всю физическую ситуацию неизменной.

Оператор Q^ мы будем называть оператором симметрии для системы.

Вот вам еще примеры операторов симметрии. Если у нас имеется атом, а внешнее магнитное или внешнее электрическое поле отсутствует, то после поворота системы координат вокруг любой оси физическая система остается той же самой. Опять-таки молекула аммиака симметрична относительно отражения в пло­скости, параллельной той, в которой лежат три атома водорода (пока нет электрического поля). Если есть электрическое поле, то при отражении надо было бы обратить и поле, а это меняет всю физическую задачу. Но пока внешнего поля нет, молекула симметрична.

Теперь рассмотрим общий случай. Положим, мы начали с состояния |y₁>, а через некоторое время или под влиянием других физических условий оно превратилось в состояние |y₂>. Напишем

[Посмотрите на формулу (15.4).] Теперь вообразите, что над всей системой мы проводим операцию Q^. Состояние |y₁> преобра­зится в состояние |y'₁>, которое также записывается в виде Q^|y₁>. А состояние |y₂> превращается в |y'₂>=Q^|y₂>. И вот, если физика симметрична относительно Q^ (не забывайте про это, если это отнюдь не общее свойство системы), тогда, подождав в тех же условиях то же время, мы должны получить

[Как в (15.5).] Но вместо |y'₁> можно написать Q^|y₁>, а вместо |y₂> написать Q^ |y₂>, так что (15.7) переписывается в виде

Теперь, если |y₂> заменить на U^ |y₁> [см. (15.6)], то получим

Нетрудно понять, что это значит. В отношении атома водорода это означает, что «отразить и после немного подождать» [правая часть (15.9)] — это то же самое, что «немного подождать, а после отразить» [левая часть (15.9)]. Они должны совпасть, если толь­ко U^ при отражении не меняется.

А поскольку (15.9) справедливо при любом исходном со­стоянии | y ₁>, то на самом деле это уравнение для операторов