Философия без дураков

Эта формула – про что? Она лежит в основе современной теории вероятности, и она про что угодно. Точнее всего сказать, что она про то, как должно работать (если по уму) наше познание. Логика науки действительно работает как-то так, когда мы мыслим хорошо и точно – мы приближаемся к этому методу.

В этой формуле:

P – вероятность.

A – наше убеждение в чем-либо.

B – свидетельство, как-то влияющее на убеждение (например, результаты опыта или буквально свидетельские показания).

P (A) – априорная вероятность факта или события. Можно также сказать, начальное убеждение.

P (A/B) – апостериорная вероятность. То, насколько событие вероятно с учетом свидетельства В.

P (B/A) – вероятность свидетельства в случае истинности А.

P (B) – вероятность получить данное свидетельство.

Как вообще происходит процесс познания? Как правило, о чем бы мы ни задумались (о погоде, природе, повышении цен и своей зарплаты, наступлении коммунизма, бытии Божьем), у нас уже есть какое-то смутное представление, какая-то вероятность. Возможно, взятая с потолка. Многие скажут, что взять нечто с потолка – не лучшее начало. Конечно, не лучшее. Но лучше так, чем никак. Первый ход в этой партии может быть сколь угодно странен: «Бог существует с вероятностью 50 %», «цена вырастет с вероятностью 80 %», «Маша согласится с вероятностью 30 %». Но если дальше верно учитывать новые свидетельства и, главное, не бояться их получать, мы довольно быстро проясним ситуацию и с ценой, и с Машей, и даже с Богом. И главное, не так уж важно, с какой нулевой гипотезы мы начали – важно, честно ли пошли по пути, и все честные пути по мере прохождения будут сходиться к одной цифре.

Давайте поясним на самом простом примере, как это работает. Взять ли зонт, выходя из дома? У всех разное отношение к дождю и к ношению зонта вхолостую. Допустим, пороговое значение, при котором мы возьмем зонт, – 20 %-ная вероятность дождя, или менее 80 % вероятности «без осадков», что можно записать как 0,8. Есть статистика по данному месяцу в данном месте – без осадков 60 % всех дней, то есть 0,6. Это наша априорная гипотеза. И если у нас есть только она, без зонта сегодня не обойтись, как и всегда.

Но допустим, у нас есть дополнительное свидетельство – прогноз погоды. Предположим, что синоптики у нас так себе и, давая прогноз на дискретное событие (вроде дождь / без осадков), они правы лишь в 70 % случаев. Вы видели много их прогнозов и сами вывели эти 70 %. Прогноз синоптиков «сегодня без осадков». Вопрос, брать ли зонт?

Иными словами, нам нужно вывести P (A/B), зная все остальное. Тогда в числителе у нас 0,7 × 0,6 = 0,42. Это вероятность всех ситуаций, при которых прогноз «без осадков» совпадает с их реальным отсутствием. Это число надо поделить на P (B). Но P (B) = P (B/A) × P (A) + P (B/not A) × P (not A). То есть сумму всех вероятностей, когда синоптики дают такой прогноз, включая те случаи, когда он ошибочный. В знаменателе будет 0,6 × 0,7 + 0,4 × 0,3 = 0,54. Дальше 0,42/0,54 = 0,777. Это меньше, чем пороговое значение 0,8, значит, зонт берем.

Вообще, вывод такой: в данном месяце не обращать внимание на прогнозы погоды, пока их точность не повысится или пока не вырастет ваша толерантность к осадкам. Вы при любом прогнозе должны носить свой зонт, пока вам настолько неприятен дождь.

Это простой пример того, как наука считает довольно сложные вещи. Главная фишка в том, что одних результатов опыта мало. Мы меняем наши убеждения на основании опыта, но нужно учитывать: а – вес априорных убеждений, б – погрешность свидетельств. Тогда, если мы выбиваем из мира достаточно свидетельств, наша картина мира меняется куда надо независимо от начальной точки.

И что, мы предлагаем проделывать такие вычисления по любому мало-мальски значимому поводу? Скажем больше: они уже вершатся без нашего ведома. Наш мозг – это байесианский компьютер на углеродной основе, примерно вот таким он и занят. Зачастую – бессознательно. Выслушав прогнозы синоптиков о ясной погоде, он почему-то все равно выбирает зонт…

Но мы обещали показать, в чем заключается Абсолютная Истина и почему это очень-очень плохо. Как минимум, это просто скучно, как максимум – плохо совместимо с выживанием человечества. Напомним формулу P (A/B) = P (B/A) × P (A) / P (B), где P (A) = 1. Говоря простым языком, это априорная вероятность, взятая за 1, или, если кому-то так больше нравится, за 100 %.

Легко увидеть, что это исключает дальнейшее познание. Если P (A) = 1, ни одно свидетельство ничего не изменит, мы получили окончательный ответ. Или хуже того – мы начали с окончательного ответа. Если P (A) = 1, то P (not A) = 0, и P (B) = P (B/A) × P (A) + P (B/not A) × P (not A) = P (B/A) × P (A). Числитель всегда равен знаменателю, и независимо от любых свидетельств P (A/B) = 1.

Если с языка цифр перевести на русский, то…