Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

Основное достоинство гармонического анализа (который, как утверждает теорема Фурье, может быть применен всегда) состоит в том, что он позволяет с помощью простого математического описания разлагать сложные движения на серию гармонических колебаний. Гармонический анализ находит широкое применение в физике и технике, им пользуются специалисты в области телефонной связи, радиоинженеры, составители таблиц, предсказывающих океанские приливы, и т. д., а в наши дни и физики-теоретики, которые описывают поведение атомов и электронов с помощью гармонических составляющих.

Фиг. 272. Гармонический анализ.

_{а — составление «волнового пакета» путем сложения простых гармонических составляющих. Для этого синтеза необходимы гармоники всех частот (т. е. всех длин волн) от нуля до бесконечности. Мы получим короткий волновой пакет без возмущений до и после него. Важнейшие гармоники попадают в центральный «диапазон» частот (или длин волн), за пределом которого амплитуда гармоник должна быть еще меньше. Чем уже этот диапазон частот, тем длиннее волновой пакет, тем больше в нем укладывается длин волн;} 

_{б — разложение ограниченного цуга волн на составляющие. Если направить непрерывный поток волн на какую-либо преграду и убрать ее на короткое время, то можно ожидать, что за ней будет ограниченный цуг волн, который можно разложить на бесконечно большое число гармонических составляющих бесконечно малой амплитуды. Важнейшие гармонические составляющие попадают в центральный «диапазон» частот. Чем короче исходный цуг волн, тем шире получается этот диапазон частот гармоник при разложении;} 

_{в — частицы и волны. Согласно нашим современным представлениям, все движущиеся частицы (электроны, ядра и т. д.) обладают волновыми свойствами. Частицу можно рассматривать как своего рода волновой пакет. Волна, входящая в состав волнового пакета, характеризует положение частицы и ее движения. Квадрат амплитуды волны в пределах пакета указывает вероятность нахождения частицы в этом месте, а длина волны определяет количество движения частицы по формуле mv = h/λ. Если мы хотим точно указать положение движущейся частицы, то должны ограничить связанную с ней волну коротким цугом волн, т. е. коротким волновым пакетом. Но такой волновой пакет будет представлен целым набором гармонических составляющих, т. е. возможные значения количества движения будут лежать в широких пределах. Значит, мы не можем точно указать количество движения частицы. Если же мы захотим точно задать количество движения, то должны будем ограничиться узким интервалом длин волн гармоник, Поэтому нам придется охарактеризовать положение частицы протяженным волновым пакетом, а оно будет в высшей степени неопределенным.}

Применение математического анализа и формула маятника

Начнем с движения, определяемого соотношением

s = A∙sinkt