Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

Задача 1. Ошибки в сомножителях

а) (Арифметическая задача.) Длина прямоугольного участка 400 м, а ширина 300 м. Измерения выполнены неточно, они дали значения 408 м на 309 м.

Вычислите истинную площадь поля.

Вычислите площадь поля по результатам измерений.

Выразите ошибку, допущенную при измерении длины участка, в процентах от длины. Найдите также ошибку в процентах, допущенную при измерении ширины.

Выразите ошибку в определении площади участка в процентах от площади.

Чтобы найти площадь участка, мы умножаем его длину на ширину. Какое правило нужно применить для определения ошибки, допущенной при вычислении площади в приведенном примере? Как мы должны поступить: перемножить ошибки, допущенные при измерении длины и ширины участка, или сложить эти ошибки?

б) (Более формальный подход.) Рассмотрите задачу следующим образом:

Результат определения длины

408 м или (400) + (2 % от 400).

Мы можем записать это в виде

400 + (²/₁₀₀)∙400

и представить произведением 400∙(1 + ²/₁₀₀)

Точно так же запишите ширину участка. Вычислите площадь участка по полученным результатам измерений, перемножив длину и ширину, записанное в виде произведений:

(400∙(1 + ²/₁₀₀))∙(300 + ())

Это дает

400∙300∙()()

или

120 000∙()()

Величина 120 000 кв. м характеризует истинную площадь. Поэтому произведение ()(), будучи представлено суммой (1 + некоторое число), прямо дает ошибку в процентах при определении площади. Преобразуйте произведение ()() к сумме вида (1 + некоторое число), как это делается в алгебре. Точно так же, как запись 400∙(1 + ²/₁₀₀) указывает ошибку 2 % в измерении длины, 400 м, результат такого преобразования покажет, что ошибка в определении площади равна…%.

в) (Алгебраический вариант.) Размеры прямоугольного земельного участка X м на Y м. Длина участка завышена при измерении на x % и равна по данным измерений Х + (x/100)∙Х м; ширина завышена на у%.

Разложите длину и ширину, найденные при измерениях, на множители, как в задаче (б). Перемножьте обе величины, чтобы найти площадь. В полученном результате нужно выделить ту часть, которую можно истолковать как ошибку в процентах, допускаемую при определении площади. [Обратите внимание на то, что ошибка не равна в точности величине, вычисляемой по приведенному выше простому правилу. Произведение ()(), приведенное к сумме (1 + некоторое число), содержит еще одну очень малую дробь со знаменателем 10 000. Эта дробь представляет собой чрезвычайно малую добавку к ошибке, и ею можно пренебречь. Убедитесь в этом сами, подставив конкретные числа; например, возьмите 2 вместо х и 3 вместо у.]

г) (Геометрический вариант.) Нарисуйте прямоугольный участок поля. Удлините стороны прямоугольника так, чтобы длина увеличилась на х%, а ширина — на у%, и очертите новые границы участка. Какую долю первоначальной площади составляют добавочные полоски?

Задача 2. Ошибки в сомножителях со знаками плюс и минус

Предположим, что в задаче 1 при обмере участка длина оказалась завышенной, а ширина заниженной. Покажите в общем виде с помощью алгебраических преобразований или на примере с конкретными числами, что ошибка в процентах при вычислении площади равна разности ошибок в определении длины и ширины или алгебраической сумме этих ошибок, если ошибку заниженного результата измерений считать отрицательной.

Задача 3. Ошибки в двух и более одинаковых сомножителях

Предположим, что прямоугольный участок в приведенных выше задачах представляет собой квадрат. Если землемер это знает, он измеряет лишь одну сторону квадрата X (с ошибкой х%) и для определения площади возводит результат измерения в квадрат.

1. Какова ошибка в процентах при таком подсчете площади?

2. Вообще если произведение содержит сомножитель X², то ошибка х% сомножителя X приводит к ошибке в произведении, равной…%.

3. Если произведение содержит величину X³, то ошибка х% сомножителя X приводит к ошибке в произведении, равной…%.

4. Если произведение содержит величину Xⁿ, то ошибка х% сомножителя X приводит к ошибке в произведении, равной…%.

Задача 4. Ошибки в квадратных корнях

Предположим, что произведение содержит в качестве множителя √Х.

Как повлияет ошибка в X, равная х%, на точность произведения? Попытайтесь сообразить, какой будет ответ, воспользовавшись одним из следующих способов:

1. Запишите √Х в виде X^1/2 и примите в качестве допущения, что правило решения четвертого вопроса задачи 3 применимо и в том случае, когда n — дробное число.

2. Если множитель √Х фигурируете произведении дважды, то мы получаем √Х∙√Х, или (√Х)², т. е. X. Значит, ошибка в X, равная х%, дает ошибку х% в произведении. Поэтому если множитель √Х встречается только один раз, то мы полагаем, что ошибка составит… %.

_{…текст не читается…}

сталкиваются, например, при разделении изотопов урана для получения атомной энергии. См. задачу в гл. 30[169].)

Задача 5. Ошибки в делителях

Предположим, нам нужно вычислить частное X/Y. Если значение Y завышено на у%, то как это отразится на частном? Предположим, мы увеличили X на столько же процентов, что и Y. Тогда частное будет, равно