Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

Грубое округление с целью быстро получить приближенный ответ дает

Масса Солнца/Масса Земли ~= 200 000/1 или 300 000/1 или 400 000/1

в зависимости от того, как именно производить округление. Это наверняка неправильный, вернее «неточный», ответ по сравнению с точностью исходных данных. Все, что можно на самом деле сказать, это то, что ответ лежит где-то между 100 000 и 500 000.

Но в данном случае этого достаточно: ответ показывает, что масса Земли составляет ничтожную долго массы Солнца, поэтому Земля едва ли в состоянии как-нибудь повлиять на движение других планет, скажем Марса, вокруг Солнца.

Приближенная оценка и приемы быстрого счета

Чтобы произвести грубую оценку, имеет смысл в силу самого ее существа пользоваться лишь приближенными вычислениями. Для ускорения процесса вычислений исходные данные округляют.

Способ округления всех чисел до ближайшей степени числа 10 может оказаться слишком грубым. При таком способе вместо 8 нужно взять 10, вместо 67 взять 100, а вместо 1453 взять 1000. В тех случаях, когда числа близки к 10 или какой-нибудь степени 10, этого достаточно. Так, вместо любого из чисел 8, 9, 10, 11 или 12 следует написать ровно 10, а вместо числа 1193 написать 1000. Округление 73 до 100 представляется слишком грубым; если же округлить 73 до 70, то получается много малых чисел, вроде 7, которые приходится умножать и делить, а это все же неудобно — нужен более смелый оценочный расчет. Поэтому, производя приближенную оценку, необходимо при округлении чисел пользоваться следующими двумя правилами.

Правило I.Если число близко к числу 10 в соответствующей степени, то его округляют до этой степени 10.

Правило II.Если число существенно отличается от числа 10 в соответствующей степени, то его округляют до ближайшей степени 2 или до произведения числа 2 в некоторой степени на число 10 в соответствующей степени. В соответствии с этим правилом вместо числа 7 берут 2³, вместо 4200 — 2²х10³, вместо 67 берут 2³х10¹ или еще лучше 2⁶(=64) вместо 3–2²(=4), или еще лучше 2⁵/10(= 32/10).

В некоторых случаях есть возможность выбора: например, 8 можно записать в виде 2³ или округлить до 10. Число 27,3 можно округлить до произведения 2 на 10 или до произведения 2²х10 (на самом деле число 27,3 лежит примерно посредине) или еще лучше до 2⁵. Умелый вычислитель округлит 27,3 до числа 25, которое равно 100/4, или 10²/2². Еще более искусный вычислитель, которому нужно возвести множитель 27,3 в квадрат, округлит его один раз в сторону увеличения до 2²х10, а второй раз в сторону уменьшения до 2х10. Однако такой прием не дает экономии времени, если только он не будет прочно усвоен.

Одновременное применение правил I и II, кажущееся на первый взгляд странным, дает надежные приблизительные ответы. Применение этих правил приводит к результату, содержащему числа 10 и 2 в соответствующих степенях: полученный результат может быть затем превращен в простой окончательный ответ. Советуем вам запомнить степени числа 2, приведенные здесь в таблице.

Обратите внимание, что 2¹⁰ ~= 1000, т. е. 10³. Это дает удобный способ избавляться от огромных степеней числа 2 в конечном результате. Если представить все числа в стандартной форме записи, то первую цифру числа, лежащего между единицей и десятью, можно округлить до 1, 2, 4, 8 или 10; остальная часть представляет собой степень числа 10. Это очень грубое приближение. Для лучшего приближения берут первые две цифры и округление производят до одного из следующих чисел в соответствии с правилами I или II:

10 16 20 32 40 64 80 100.

Пример:

(Примечание. Честности ради мы округлили все множители в числителе, а также в знаменателе в сторону увеличения.)

Это неплохая оценка. Расчет с использованием более сложных приемов приближенных вычислений дал бы результат, более близкий к точному значению 330 000.