Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

z = 2,34 х 10⁶ и w = 7,8 х 10³

то их порядки величины будут

z ~ 10⁶ и w ~ 10⁴.

Вы несомненно найдете применение знакам  в своей работе, чем бы вы ни занимались, и привыкнете проводить между ними различие. Заметьте, что символы эти не вполне установившиеся. Некоторые авторы и издатели заменяют символ  другими знаками.

Пропорциональная зависимость — ключ ко многим законам

Выражая наши знания о природе в виде простых законов, мы прежде всего ищем постоянство в явлениях: масса тела остается постоянной, полный электрический заряд тоже, количество движения сохраняется неизменным, все электроны одинаковы. Почти столь же простой и плодотворный принцип выражает прямая пропорциональность между величинами, при которой две измеряемые величины возрастают в одинаковой пропорции: удлинение пружины при увеличении нагрузки, сила и ускорение, давление и плотность газа.

Мы говорим, что для пружины (в пределах действия закона Гука)

УДЛИНЕНИЕ пропорционально НАГРУЗКЕ

или

УДЛИНЕНИЕ изменяется прямо пропорционально[171] НАГРУЗКЕ.

Это записывают в виде

УДЛИНЕНИЕ ~ НАГРУЗКА.

Как и процентам, в элементарных курсах часто отводят особое место пропорциям и функциональной зависимости, и эти понятия кажутся чем-то таинственным и труднодоступным. Не будь этого, их считали бы очевидными с точки зрения здравого смысла. Рассмотрим несколько простых примеров.

Пример В. Предположим, что при снабжении картофелем некоего лагеря недельные потребности определяются следующим образом:

для лагеря на 100 человек требуется 200 кг картофеля

… 200… 400…

… 300… 600…

… 500… 1000…

Масса картофеля возрастает пропорционально размерам хозяйства. Это простейший тип соотношения между двумя величинами, с которым мы так часто встречаемся в физике[172].

Можно сформулировать это соотношение несколькими способами:

1) МАССА КАРТОФЕЛЯ пропорциональна ЧИСЛУ ЛЮДЕЙ;

2) МАССА КАРТОФЕЛЯ изменяется прямо пропорционально ЧИСЛУ ЛЮДЕЙ;

3) МАССА КАРТОФЕЛЯ ~ ЧИСЛУ ЛЮДЕЙ (это сокращенная запись формулировок 1 и 2);

4) МАССА КАРТОФЕЛЯ = (ПОСТОЯННАЯ)∙(ЧИСЛО ЛЮДЕЙ).

Варианты 1 и 2 (и их математическая запись — вариант 3) — это просто попытки дать формулировку простым в очевидным вещам. «Две величины возрастают в одинаковой пропорции. Если удвоить одну из них, то удваивается вторая, если утроить одну, — утраивается вторая, и т. д.».

Имея это в виду, можно легко решать задачи, не вычисляя «постоянную», содержащуюся в записи варианта 4. Например, известно, что для 100 человек требуется 200 кг картофеля. Сколько потребуется его для 600 человек? Для вшестеро большего числа людей требуется в 6 раз больше продовольствия: 1200 кг.

Пример Г. Объем шара изменяется пропорционально третьей степени радиуса. Шар увеличен так, что радиус его стал в 5 раз больше первоначального. Что произойдет с его объемом? Если радиус увеличивается в 5 раз по сравнению с первоначальным, то величина (радиус)³ возрастает в 5³ раз по сравнению с первоначальным значением (поскольку R³ = R∙R∙R и 5R∙5R∙5R = 5³∙R³). Следовательно, объем возрастает По сравнению с первоначальным в 125 раз. Это должно быть следствием здравого смысла, дли которого вовсе не нужно обращаться к соотношению 4/3πR³.

«Коэффициент пропорциональности»

Формулировка 4