Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

Задача 11

Камень падает из состояния покоя с постоянным ускорением 9,8 м/сек/сек. (Дано: ускорение постоянно, сопротивлением воздуха в данном случае пренебречь.)

а) Какова будет скорость камня через 3 сек после начала падения?

б) Какое расстояние пролетит камень за 3 сек?

А. Арифметический метод

а) Ускорение 9,8 м/сек/сек означает, что скорость камня увеличивается на ____∙____ (единиц) за каждую секунду.

За 3 сек падения приращение скорости камня составит ____ м/сек.

Поскольку камень начинает падать из состояния покоя, его конечная скорость равна ____ м/сек.

б) Скорость возрастает от ____ м/сек (в начале движения) до ____ м/сек.

Средняя скорость равна ¹/₂ (____ + ____) или ____ м/сек.

Расстояние, пройденное с такой средней скоростью а 3 сек, равно (____)∙(____), или ____ м.

Б. Алгебраический метод

а) Ускорение а = 9,8 м/сек/сек; время t = 3 сек, начальная скорость v₀ = 0. Подставляя эти значения в формулу v = v₀  + at, получаем

Конечная скорость v = ___ + ___ = ____ м/сек.

б) Подставляя приведенные выше значения в формулу s получаем s = v₀t + ¹/₂at², получаем s = ____ + ¹/₂ _____ = ____ м

Примечание. Пользуясь методами алгебры, всегда сначала записывайте «формулу», как это было сделано выше. Кроме того, выписывая значения, которые ей собираетесь подставлять в формулу, записывайте после числа соответствующие наименования. Например, «t = 3 сек», а не «t = 3».

Задача 12

Мяч выпускают из рук со скоростью 3 м/сек и предоставляют ему возможность свободно падать в момент пуска часов.

а) Какова будет скорость мяча через 3 сек падения?

б) Какой путь пролетит мяч за 3 сек?

А. Арифметический метод

а) Ускорение 9,8 м/сек/сек означает, что скорость мяча возрастает на ____ (единиц) за каждую секунду.

За 3 сек падения приращение скорости мяча составит ____ м/сек.

Поскольку начальная скорость мяча равна 8 м/сек и направлена вниз, его конечная скорость будет равна ____ м/сек.

б) Скорость возрастает от____ м/сек в начале движения до конечной скорости _____ м/сек.

Средняя скорость равна [(____) + (____)]/2 или ____ м/сек.

Расстояние, которое мяч пролетит за 3 сек, обладая этой средней скоростью, равно ____ м.

А. Алгебраический метод

а) Ускорение а = 9,8 м/сек/сек направлено вниз; начальная скорость v₀ = 3 м/сек направлена вниз; время перемещения t = 3 сек.

Подставляя эти значения в формулу v = v₀ + at, получаем

Конечная скорость v = ____ + ____ = ____ м/сек.

б) Подставляя приведенные выше значения в формулу s = v₀t + ¹/₂at², получаем:

Расстояние s = ____ + ¹/₂ _____ = ____ м

Задача 13

Находясь на верху башни, человек бросает вверх мяч со скоростью 3 м/сек в момент пуска часов.

а) Какова будет скорость мяча по прошествии 3 сек?

б) На сколько ниже начальной точки своего движения окажется дающий мяч через 3 сек?

Замечание. В этом случае мяч движется сначала вверх, причем все более и более медленно, обладая направленным вниз ускорением 9,8 м/сек/сек, что равносильно направленному вверх замедлению. Мяч достигает наивысшей точки движения (обладая тем же самым направленным вниз ускорением), после чего он падает (по-прежнему с тем же самым направленным вниз ускорением). В вопросах (а) и (б) ничего не говорится о наивысшей точке движения, и если ускорению и скорости приписать знаки + и — для направлений вниз и вверх, то алгебраический метод позволит правильно учесть переход через наивысшую точку и даст результирующее расстояния s. Поэтому, несмотря на то, что вам, может быть, показали методы, в которых сначала нужно вычислить длину пути до наивысшей точки, а затем перемещение вниз, не пользуйтесь этими методами — обратите внимание на приводимые ниже соображения.)

A. Арифметический метод

а) Ускорение 9,8 м/cек/сек означает, что за каждую секунду приращение направленной вниз скорости мяча составляет ____ ____.

Приращение направленной вниз скорости мяча за 3 сек составляет ____ м/сек. Но начальная скорость мяча равна 3 м/сек и направлена вверх, поэтому если учесть приращение скорости, направленной вниз, то конечная скорость мяча должна быть равна ____ м/сек и направлена вниз.

б) Чтобы вычислить результирующее расстояние, пройденное мячом при падении, необходимо знать среднюю скорость, направленную вниз.

Скорость мяча сначала направлена вверх, а в конце рассматриваемого промежутка времени — вниз. Чтобы правильно найти среднюю скорость, мы не можем просто сложить два числа, выражающие значение скорости, и разделить полученный результат пополам, так нужно было бы сделать, если бы мяч был брошен вниз, как в предыдущей задаче.

Б. Алгебраический метод

Ускорение а = +9,8 м/сек/сек (плюс означает «вниз»), начальная скорость v₀ = -3 м/сек (минус, поскольку скорость направлена вверх), время перемещения t = 3 сек.

а) Подстановка в формулу v = v₀ + at дает

Конечная скорость v = ____ + ____ = ____ м/сек.

б) Подстановка в формулу s = v₀t + ¹/₂at² дает

Расстояние s = ____ + ¹/₂ _____ = ____ (вверх?/вниз?).

Задача 14 (самая важная)

На дереве на высоте 15 м над землей сидит птица. Человек, стоящий на земле как раз под нею, бросает в птицу вертикально вверх камень, сообщая ему начальную скорость 20 м/сек, направленную вверх.

Через какой промежуток времени камень достигнет птицы?

А. Арифметический метод

Решение, основанное на правилах арифметики и соображениях здравого смысла или каком-либо одном из этих способов, оказывается, почти безнадежно громоздким. Можно било бы определить, где находится «наивысшая точка» и когда она будет достигнута, а затем, решать задачу, отправляясь от этой точки. Алгебраический метод более удобный и более интересный. Трудность заключается в том, что неизвестна скорость камня в момент, когда он достигнет птицы.

Б. Алгебраический метод

Здесь мы должны условиться о различии между направлениями вверх и вниз. Неважно, какому из них вы припишете знак +, пока вы будете придерживаться, сделанного выбора. (Испробуйте оба варианта: вы придете к одним и тем же уравнениям и получите одни и те же ответы в обоих случаях.) Представляется более удобным приписать знак + всем расстояниям, скоростям и ускорениям, направленным вверх. Мы будем решать задачу при этом условии. В этом случае (направленное вниз) ускорение следует записать в виде -9,8 м/сек/сек.

Тогда v₀ = +20 м/сек; s = +15 м; а = -9,8 м/сек/сек. Мы хотим определить время t, за которое камень достигнет птицы, сидящей на высоте 15 м над землей.

Подстановка в соотношение s = v₀t + ¹/₂at² дает

____ = (____)t + ¹/₂(____)t².

Это обычное квадратное уравнение. Подобно решению всякого квадратного уравнения, решение его дает два ответа. Упростите и решите его любым методом.

Ответы: t = ____ сек, или t = ____ сек. Один ответ дает время полета брошенного камня до попадания в птицу. Выскажите свои соображения о значении другого ответа.

Каким образом наш верный слуга — математика при столь ограниченных указаниях мог бы поступить иначе, чем дать оба ответа?