Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

Задача 7. Доказательство с помощью математического анализа

В пределе скорость v представляет собой изменение расстояния в единицу времени ds/dt, а ускорение а — изменение скорости в единицу времени dv/dt, или d/dt(ds/dt), или d²s/dt². Покажите, что если а постоянно, то справедливо каждое из следующих утверждений:

1) интегрирование dv/dt = a приводит к выражению v = v₀ + at (где v₀ — постоянная, значение v в момент времени t = 0);

2) интегрирование соотношения v = v₀ + at приводит к соотношению s = v₀t + ¹/₂at² (Указание. Вспомните, что v = ds/dt);

3) интегрирование dv/dt = a приводит к соотношению v² = v²₀ + 2as. (Указание. Попробуйте умножить обе части этого соотношения на v.)

Задача 8. Графики движения

На фиг. 15 показаны расположенные друг под другом три графика движения предмета по прямой. График I изображает зависимость пройденного расстояния от времени; график II — зависимость скорости от времени; график III — зависимость ускорения от времени. На всех трех графиках масштаб времени одинаков, а начало координат лежит на одной вертикальной прямой. Изображенные графики относятся к движению предмета с постоянным ускорением, начинающемуся при s = 0 (показано буквой А) и скорости v = 0 (показано буквой В) в момент времени t = 0. Для более сложных движений все три линии могут быть кривыми.

1) В общем случае произвольного движения график одной или более величин может быть получен из графика для некоторой другой из трех указанных величин по значениям наклона касательных. Какой (каких) именно? Объясните, почему.

Фиг. 15.К задаче 8.

2) В общем случае график одной или более величин может быть получен из графика другой из трех величин путем измерения площади под кривыми. Какой (каких) именно? Объясните, почему.

3) Мотоциклист стартует из положения покоя и движется в течение 6 сек с ускорением 4,5 м/сек²; в течение 10 сек он движется с постоянной скоростью, а затем тормозит и останавливается за 4 сек, двигаясь с постоянным замедлением. Начертите для этого движения три графика: I, II, III,

4) На фиг. 16 показан график II для движения автомобиля. Перечертите его и добавьте графики I и III.

Фиг. 16.

5) На фиг. 17 показан график III для движения тележки. Перерисуйте его и добавьте графики I и II.

Фиг. 17.

6) На фиг. 18 показан график I для движения груза длинного маятника по его траектории, близкой к прямой. Перерисуйте его и добавьте графики II и III. (Задача сложная. Над ней стоит как следует подумать.)

Фиг. 18.

ПРИЛОЖЕНИЕ II. ИЗМЕРЕНИЕ g