Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

Задача 6.Доказательство без математического анализа

Галилей не имел возможности воспользоваться математическим анализом, он предпочитал геометрию и рассматривал равномерно ускоренное движение следующим образом. Представим себе график скорости движущегося тела, откладываемый по вертикали в зависимости от времени, откладываемого по горизонтали. Если, тело движется с постоянным ускорением, его скорость должна возрастать с течением времени равномерно. График скорости должен представлять собой прямую линию. Она не обязательно должна проходить через начало координат, она может идти от начальной скорости v₀ при t = 0, достигая некоторого значения v в момент времени t.

Посмотрим теперь, что произойдет за некоторый очень короткий промежуток времени Δt, когда скорость равна, скажем, v₁. (Разумеется, v все время возрастает, но мы можем в качестве v₁ взять среднее за короткий промежуток времени Δt.) Тогда тело проходит за этот промежуток времени расстояние [(v₁)∙(Δt)]. Но на графике величина [(v₁)∙(Δt)]— это произведение [(высота)∙(ширина)] маленькой вертикальной полоски с основанием Δt, доходящей до прямой, которая представляет собой наш график. На фиг. 14, а площадь этой вертикальной полоски заштрихована.

Следовательно, полное расстояние, пройденное телом, определяется полной площадью всех таких вертикальных полосок, т. е. заштрихованной площадью на фиг. 14, б.

1) Если, как показано на фиг. 14, б, боковые стороны заштрихованной геометрической фигуры равны v₀ и v, а основание — промежутку времени t, то каким выражением определяется площадь фигуры? (Изложите кратко ваши геометрические соображения.)

2) Если боковые стороны равны v₀ и v + at (что следует из определения ускорения), то каким выражением определяется площадь фигуры? (Изложите кратко ваши рассуждения.)

3) Запишите ответы на первые два вопроса в виде выражений для s — расстояния, пройденного телом за время t.

4) Предположим теперь, что ускорение не постоянно, а, начиная с некоторого меньшего значения, возрастает до некоторого большего значения, так что скорость по-прежнему изменяется за время t от v₀ до v, но не равномерно.

а) Начертите новый график для этого случая.

б) Будут ли для него применимы выражения, полученные в качестве ответа на вопросы 1 и 2?

в) Какое слабое место было в прежних рассуждениях в приложении I, основанных на алгебре, которое теперь отсутствует?

Фиг. 14. К задаче 6.