Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах

Если число точек невелико, центростремительные силы, действующие на эти точки, легко определить: в точке 1 это Fц1, B точке 2 – сумма двух сил (Fц1 + Fц2), а в точке 3 она максимальна – сумма трех сил (Fц1 + Fц2 + Fц3). Отсюда легко перейти к случаю, когда масса распределена по длине связи равномерно.

Так и с вращающимся кольцом – если представить, что его заменяет многоугольник из невесомых нитей с помещенными в вершинах углов грузами т (рис. 10, а), то выделив один из грузов (рис. 10, б), можем определить силы Fсв, действующие на груз (их реакции действуют на нить):

где Fц = m?2R или mv2/R, что следует из формулы (2.4).

Распределив грузы т по нити равномерно, получим массивное кольцо плотностью ?, обладающее прочностью связи (рис. 11). Для простоты вычислений отбросим нижнюю половину кольца и обозначим через F растягивающие усилия, действующие с его стороны на верхнее полукольцо. Учитывая, что центр масс верхнего полукольца С расположен на расстоянии 2R/? вверх от центра О, нормальное ускорение этого центра масс:

Записываем второй закон Ньютона в проекции на направление нормального ускорения:

Учитывая, что напряжения ? = F/S, где S – площадь сечения кольца, масса полукольца М = ??RS, и что линейная скорость v = ?R, записываем с учетом (3.6):

Таким образом, получаем формулу (3.3).

Следовательно, вращающееся кольцо будет растягиваться с силой F и напряжениями ? даже без контакта с каким-нибудь другим телом. Аналогичным образом возникают напряжения во вращающихся телах любой конфигурации, например, в движущихся гибких массивных замкнутых связях – ремнях, цепях, а также маховиках – накопителях кинетической энергии.

Рис. 10. Схематичное представление вращающегося кольца: а – замкнутый вращающийся многоугольник с помещенными в вершинах углов точечными массами; б – силы, действующие на отдельный груз.

Рис. 11. Схема для определения напряжений во вращающемся кольце.

3.5. Вопрос. Как накопить во вращающемся маховике наибольшую кинетическую энергию?

Ответ. Кинетическая энергия вращающегося тонкого кольца массой т, как и для прямолинейно движущейся массы, пропорциональна квадрату его линейной (окружной) скорости:

Ведь и в том и в другом случаях масса т движется с одной и той же скоростью v. Разница лишь в том, что в случае прямолинейного движения в движущемся теле не возникает никаких напряжений, а при вращении кольца (как и ремня, цепи, любой плоской массивной замкнутой связи), в нем возникают напряжения, не зависящие от радиуса кольца и определяемые формулой (3.3). Следовательно, в прямолинейно движущейся массе можно беспредельно (в рамках классической механики) повышать скорость и кинетическую энергию. Во вращающейся же массе, в данном случае кольце, мы жестко лимитированы прочностью материала, причем и кинетическая энергия и напряжения в материале пропорциональны квадрату окружной скорости.

А если это будет не кольцо, а тело иной формы? Удастся ли при той же прочности материала накопить большую кинетическую энергию? Для анализа этого вопроса удобнее всего выразить энергию и прочность через удельные показатели – удельную энергоемкость е = Е/т и удельную прочность х = ?/?. Тогда для маховика в виде вращающегося кольца:

Для маховиков других форм коэффициент k будет принимать другие значения. Например, для диска с очень маленьким центральным отверстием он будет равен 0,3; для диска вообще без отверстия – 0,6. Самой лучшей формой маховика для накопления кинетической энергии является диск равной прочности. Такую форму имеют, например, диски паровых и газовых турбин – толстые в центре и тонкие на периферии.

3.6. Вопрос. Можно ли создать энергоемкий маховик с переменным моментом инерции?

Ответ. Устройство, изображенное на рис. 6, в принципе позволяет как накапливать кинетическую энергию, так и изменять момент инерции. Но из-за низкой прочности такая конструкция будет иметь ничтожную удельную энергоемкость. Если изготовить маховик из резины, то в процессе вращения его момент инерции будет расти тем более, чем больше угловая скорость маховика. К кинетической энергии при этом добавится потенциальная, накопленная при растяжении резины.

Но интерес представляют не маховики с «пассивным» изменением момента инерции, а те, у которых этот показатель можно менять принудительно. Для чего же это может потребоваться?

При постоянном кинетическом моменте маховика можно увеличивать момент инерции за счет уменьшения угловой скорости и наоборот. Пример – человек с гантелями в руках на так называемой платформе Жуковского – диске, закрепленном на стойке на подшипниках (рис. 12, а, б).

Рис. 12. Человек на платформе (скамье) Жуковского: а – с разведенными в сторону руками и большим моментом инерции; б – со сдвинутыми к центру руками и минимальным моментом инерции